Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Докажем, что такой интервал (для данной точки х,) единственный. Если бы нашлись два таких интервала ]а„р,~ и ]а„~,(, причем, например, х, < р, < р„то (), принадлежало бы интервалу ]ам р,( и, значит, входило бы в Е вопреки предположению. Аналогично не может быть а„< а, или а, < а,. Единственность доказана. Интервал, входящий в Е, концы которого не принадлежат Е, и будет сосглавляюп(им интераалом для Е. Множество составляющих интервалов не более чем счетно; фиксируя в каждом составляющем интервале по одной рациональной точке, мы получаем взаимно однозначное соответствие между множеством всех составляющих интервалов и некоторым подмножеством рациональных чисел (а это подмножество конечно или счетно).
213. Необходимость очевидна. Докажемдостаточн ость. Пусть ]а„Ь,(, ... — смежные интервалы множества Е причем оии яе имеют попарно общих концов, Допустим, что Е имеет изолированную точку х,. Тогда существует такое е > О, что ]х, — е, к, ( с СЕ и ]х„х, + е~ ~ СЕ. Но тогда ]х, — е, х,( и ]х„х, + е( включаются в некоторые смежные интервалы с общим концом к,.
что противоречит условию. Итак, Е не имеет изолированных точек„кроме того, Е замкнуто. Значит, Š— совершенное мно. жеста о. 214. Допустим, что ~а, Ь] = Р () Ф, где Р и Ф замкнуты, не- пусты к не пересекаются. Каждое из множеств Р, Ф„будучи замкнутым„непустым и ограниченным снизу числовым мяожеством, обладает наименьшей точкой. При этом у одного нз них, скажем, у множества Р, этой точкой служит а. Пусть с — наименьшая точка множества Ф. Тогда с > а (так как Р (] Ф = ку); значит, (а, с( ~ Р, а потому и (а, с] с:. Р (так как Р замкнуто). Следовательно, с с Р 0 Ф; вопреки тому, что Р и Ф не пересекаются.
215. Допустим, что (а, Ь] .=- Р, () Р, () ..., где Р, (1 = 1, 2, ...) — непустые попарно не пересекающиеся замкнутые множества. Пусть Р„,— множество с наименьшим номером, для которого ]а, Ь [() Р„Ф И. Так как Р„не совпадает совсемотрезком ~а, Ь]; то н ]а, Ь ( () СР„Ф И.
Поэтому на интервале ]а, Ь( найдется точка а,„являющаяся концом некоторого смежного интервала множества Р„. Обозначим через 1, интервал, одним из концов которого служит эта точка, и такой, что 1, с: СР„, 1, с: ]а, Ь(. Далее, среди множеств Р„+,, Р„+„... кайдем множество Р„ с иаименыиим номером, для которого 1, (] Р„~ Я (и, значит, 1, () () (Р, () ... () Р„,) = 9). Легко видеть, что тогда и 1, () СР„~ Ф 8. Действительно, если бы интервал 1, целиком содержался в Р„, то и точка и„входила бы в Р„(в силу замкнутости Р'„); но иг а, с г'„, а множества Е„и Е„не пересекаются.
Итак, 1, [( Е„чь Ф Ы и 1, (] СЕ„Ф. 8. Поэтому на интервале1, найдется точка ам являющаяся концом смежного интервала множества Г . Но тогда л,' существуетинтервал1„одним из концов которого служит точка ам и такой, что!,с СЕ, 1,с1,. Продолжая таким же образом далее, получим в результате убывающую последовательность интервалов 1, =]а, Ь[, 1„1м такую, что 1 с 1, „и строго возрастающую последовательность номеров я„л„... такую, что 1» П (Е1 Ц " Ц Еп'„-д == Ы (й = (, 2, ").
Тогда должна существовать точка, принадлежащая всем интервалам 1 (а именно общая точка отрезков 1, й =1, 2, ...). Эта точка ие принадлежит ни одному из множеств Е„, хотя принадлежит отрезку [а, Ь]. Следовательно, [а, Ь] чь Ц Ео что противоречит до- ~'=! пущению. 216. Если ]а, Ь[ = Ц Еь где Е, — попарно не пересекающиеся непустые замкнутые множества, то [а Ь] = (а) Ц (Ь) Ц (Ц г;)* что противоречит результату задачи 218.
217. Утверждения задач 216 и данной равносильны, поскольку ]а, Ь[ и Я' гомеоморфны. 218. Можно, например, следующим образом: пусть с, — середина 1~ смежного интервала первого ранга (т. е. с, = — ), с, — середина 21 смежного интервала второго ранга, лежащего справа от с, (т. е 17 8( середина интервала ~ —, — ~), и вообще с„+, — середина смежного )з' з~' интервала (й + ()-го ранга, лежащего справа от сд. Тогда канторово множество Р разбивается на следующие попарно не пересекающиеся непустые замкнутые множества: Р = (1) Ц (Р П [О, сд]) Ц (Р П [с„сз]) Ц " Ц Ц (Р П [сь, с~+1]) Ц 219. Множество [а, Ь] П Е замкнуто.
Докажем, что оно не содержит изолированных точек. Пусть х, 6 [а, Ь] П Е. Так как а КЕ, Ь ГЕ, то х, — внутренняя точка отрезка [а, Ь]. Опишем произвольную окрестность Ъ' (х,)с: с:[а, Ь]. В этой окрестности найдется точка х ч Е, отличная от х . Но х ч [а, Ь] П Е. Следовательно, в произвольной окрестности точки х, нашлась отличная от х, точка х 6 [а, Ь] () Е; значит, х не является изолированной точкой множества [а, Ь] [) Е. Итак, [а, Ь] [( Š— совершенное множество.
220. Рассмотрим любой интервал Ь на примой. По условию существует х % Ь П СЕ. Так как СЕ открыто, то Ь [) СЕ тоже открыто и существует интервал Ь', содержащий точку х, такой, что Ь с:. с Ь П СЕ.Отсюда Ь' с Ь, Ь'[) Е = Я и,значит, Еннгде неплотно. 221. Рассмотрим два случая: 1) концы интервала и и р оба не принадлежат Е; 2) хотя бы один из этих концов принадлежит Е. В первом случае имеет месторавенство1а, р[ () Е = [а, р1 () Е; в правой части этого равенства стоит совершенное множество (см. задачу 2!9); следовательно, и множество 3а, р [() Е является совершенным. Рассмотрим второй случай: пусть а ч Е, р б Е (если бы только одна из точек а, р принадлежала Е, доказательство было бы аналогичным).
Так как Е нигде не плотно, то на любом интервале )и, а'[ найдутся точки, не принадлежащие Е. Отсюда следует, что существует последовательность точек а, > а, » ... а„> ..., не принадлежащих Е, сходящаяся к и. Из тех же соображений вытекает, чтонайдется последовательностьточекЬ, < Ь, « ...
Ь„< ..., не принадлежащих Е, сходящаяся к р; при этом всегда можно считать, что а, < Ь, (рис. 17). Но тогда )а, р[Д Е является объединением следующих множеств: 3а„Ь, [ Д Е, Дам а~ [[) Е, Да„аз [() Е, Дая аа [() Е. " и З~ы Ьз [() Е~ Уз Ьз [() Е З~з Ьх [() Е~ ". Все эти множества совершенные (см.
первый случай). Если среди них лишь конечное число непустых, то их объединение, т. е. Эа, р [() Е, также совершенное множество; в противном же случае )я, р [() Е есть объединение счетной совокупности попарно не пересекающихся непустых совершенных множеств. 222. Заметим сначала, что Р ' Я = Р () СЯ, где СЯ вЂ” открытое множество. Пусть СЯ = [)3ап ~[„где 3я„~,[ — составо ляющие интервалы. Тогда Р ~, Я = () (3ап р,. [() Р).
Согласно предыдущей задаче, каждое множество 3ап р, [Д Р либо совершенное, либо есть объединение счетной совокупности попарно не пересекающихся непустых совер1пенных множеств; но тоГда и их объединение Р ', Я является либо совершенным, либо объединением счетной совокупности попарно не пересекающихся непустых совершенных множеств. 223.
Пусть А = [) Е„, где ń— нигде не плотные совершенные множества. Множество А можно записать следующим образом: =Ег 0 (Ез ~,Е1)0(Еа~ (Ег0Еа))0"' 0 (Еп '~(ОЕ;)) 0" (1) Слагаемые правой части попарно не пересекаются; каждое из них является либо нигде не плотным совершенным множеством, либо непустой разностью двух нигде не плотных совершенных; во втором а„а,а,а, Ь! Ь~бзЬ4Ьг Рис. 17 124 о Рис, 18 случае на основании предыдущей задачи оно представимо в виде объединения счетной совокупности попарно не пересекающихся непустых совершенных множеств. Отсюда следует (в силу равенства (1)), что и множество А представимо в виде объединения счетной совокупности попарно не пересекающихся нигде не плотных совершенных множеств. 224.
Множество Р замкнуто (как дополнение к открытому), и никакие два его смежных интервала, по построению, не иметот общих концов. Следовательно, 0 — совершенное множество (см. задачу 213). Докажем, что Р нигде не плотно на прямой. Возьмем произвольный интервал ! = 1а, (з1. Если он не содержит точек из О, то в качестве интервала, содержащегося в 1 и полностью свободного от точек множества О, берем сам этот интервал. Если же имеется точка х е О, содержащаяся в 1, то мы можем найти отрезок какого-либо достаточно высокого ранга и, содержащий х, и включающийся в 1 (такой найдется, так как длина каждого отрезка 1т 1 п-го ранга равна — ~. Возьмем интервал длины — с центром в за~ За+1 середине этого отрезка (рис.
18). Этот интервал не содержит точек из Р и вместе с тем содержится в 1. 225. Смежный интервал первого ранга состоит из всех чисел, в троичном разложении которых первый знак обязательно равен единицее. Каждый смежный интервал второго ранга состоит из всех чисел, в троичном разложении которых (при фиксированном первом знаке, отличном от единицы) второй знак обязательно равен единице. Вообще каждый смежный интервал я:го ранга состоит из всех чисел, в троичном разложении которых (при фиксированных первых й — 1 знаках, отличных от единицы) на й-м месте обязательно стоит единица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
