Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Построим плоскость, касающуюся сферы в точке М . Далее проведем прямую через точку Р, и произвольную точку М сферы. Точку У, в которой эта прямая пересечет плоскость, ставим в соответствие точке М. Полученное соответствие взаимно однозначно (рис. 13). Рд Рис. !2 Рис. 13 91 50. Отобразим сначала всю сферу на сферу с выколотой точкой (это можно сделать тем же способом, каким круг отображался на круг с выколотым центром, см. решение задачи 44). Затем сферу с выколотой точкой отображаем на плоскость с помощью стереографической проекции.
5!. Помещаем центр круга в точку О и устананливаем взаимно однозначное соответствие между точками отрезка ОМ (где М— произвольная точка границы звездной области) и точками того радиуса ОВ, который лежит на луче ОМ; соответствие устанавливаем так, чтобы точка О соответствовала самой себе. 52. Выделим в множестве А иррациональных чисел какую-либо последовательность попарно различных чисел, например )'2, 2)'2, 3)Г2, ..., п )~'2, ..., рассмотрим множество )ч всех действительных чисел и множество Ц всех рациональных чисел; рациональные числа занумеруем: г„г„г„..., г„, ...; множество всех чисел вида п)Г2 обозначим через Е; множество всех иррациональных чисел, не представимых в виде п к'2 (а ) О, целое), обозначим через С. Тогда А = С () (., г = С () ((- () 4)) Элементы множества Е ставим'во взаимно однозначное соответствие элементам множества (.
() 9, например, следующим способом; 2)'2 3) 2 4)/2." (2й — )))'2 2й)''2 ... Ь()ф г, )~2 г, 2~/2... гл Й)'2 Точки множества С ставим в соответствие сами себе. В итоге получится взаимное однозначное соответствие между А и Я. 53. а) Каждой точке (Ь, 0) прямоугольника )а, Ь[ Х )с, Ы~ ста- вим в соответствие точку (х, у) квадрата1 — —, — ~ х ) — — ", — ~ следующим образом: я ~ — а и ч — а л= — — +л, у= — — +я —. 2 ь — а' 2 л — с б) Каждой точке (х, у) квадрата ~ — — "; — 1х 1 — — "; 2 2г ) 2 2[ ставим в соответствие точку (Х, У) плоскости следующнм образом: Х = (д х, У = (д у.
в) См. а) и 6). 54. Не все: не получится ни одной точки, разложение которой и бесконечную десятичную дробь содержит нули на всех четных местах, начиная с некоторого номера; например, не получится точка 0,35703070... Итак, это не будет взаимно однозначным соответствием между точками квадрата)0, Ц х )О, Ц и промежутка)0, Ц. Однако это соответствие является взаимно однозначным между точ- ками квадрата и точками некоторого подмножества промежутка ]О, Ц. 55. Перенумеруем все рациональные числа отрезка [О, Ц; г„г„..., г„, ...
(1) Все точки квадрата с рациональными координатами расположим в следующую таблицу: (г„г,) (г„г,) (г„г,) ... (гз гз) (гз гз) (гн 'з) . ° (гз 11) (гз 14) (гз зз) ". (7~4 гз) (г4 гз) (г4 гз) Выпишем все точки из этой таблицы в одну последовательность в следующем порядке; сначала (г„г,), затем точки, у которых сумма индексов абсциссы и ординаты равна 3; точки, у которых сумма индексов равна 4, и т. д., т. е. (гз, гз), (гз, гз), (гз, гз), (гз, гз), (гз, гД, (гз, гз), (гз, г4), (гз, гз), ° .. (2) Теперь устанавливаем взаимно однозначное соответствие между членами последовательности (1) и членами последовательности (2) обычным способом: и-му члену последовательности (1) ставим в соответствие и-й член последовательности (2).
56. У к а з а н и е. Установите взаимно однозначное соответствие между множеством всех квадратов ]и, и + Ц х ]л, л + Ц и множеством всех промежутков ]р, р + Ц (где и, л, р — всевозможные целые числа). Затем установите взаимно однозначное соответствие между множеством точек квадрата ]и, и + Ц х ]л, л + Ц с рациональными координатами и множеством рациональных тачек соответствующего промежутка. 5!. У к а з а н и е. Всякий многочлен с рациональнымн коэф фициентамн можно представить в виде частного от делений многвчлена с целыми коэффициентами на натуральное число. 58. Установим сначала взаимно однозначное соответствие между совокупностью всех конечных подмножеств натурального ряда н множеством всех двоично рациональных точек промежутка [О; 1[: каждому конечному множеству (ь„л„..., пз) (где нз < л, < ... ...
< л ) ставим в соответствие двоичную дробь, у которой на местах с номерамн л,, им ..., лз после запятой стоят единицы, а на остальных местах — нули; например, множеству (2, 3, 5) соответствует двоичная дробь 0,01!01, т. е. двоично рациональная точка !3 — + — + — =-— 24 24 2' 32 После того как такое соответствие установлено, остается только перенумеровать все двоична рациональные точки промежутка [О, 1[. Это можно сделать, например, следукицим образом: 0 ! ! 3 ! 3 3 7 ! 3 3 7 9 !! и 2 ' 21 ' 21 ' 24 ' 24 ' 2з ' 2з ' 24 ' 24 ' 24 ' 24 ' 21 ' 24 ' 24 ' 99 Тем самым множество двоично рациональных чисел промежутка [О; 1с поставлено во взаимно однозначное соответствие с множеством всех натуральных чисел.
69. Каждой последовательности натуральных чисел п„и„п„..., пм ... ставим в соответствие возрастающую последовательность натуральных чисел т,<т,<т,«...т <..., где тз —— пв, тв=и +пм та=ив+ив+ив, ..., тв — — из+... ...+и, ... Это соответствие взаимно однозначно. 60. Последовательности п, < и, < пв « ... пв < ... ставим в соответствие бесконечную двоичную дробь, у которой после запятой на местах с номерами и„ п„ и„ ..., и, ... стоят единицы, а на остальных местах — нули (ср. с решением задачи 58). Глава 61, МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВ 61. Множество счетно.
62. Множество счет'но. 64. Множества счетны (см. для случая р = 2 решение задачи 58). 65. Множество счетно. 66. Обозначим через Е„(п ) 1) множество тех элементов из Е, ( которые превосходят —, а через  — множество всех отличных от л нуля элементов из Е. Ясно, что () Е„= В. Если бы В было несчети иым, то хотя бы одно из Е„, например Е, тоже было бы несчетным. Но тогда конечные суммы из Е будут сколь угодно велики (так как сумма р элементов из Е„превосходит —, а — стремится Р Р п0 по к бесконечности при р-~+аа). Итак, В не может быть несчетным.
Значит, оно конечно или счетно. 67. Заметим, что каждая точка разрыва х, монотонно возрастающей функции 1 (х) является точкой разрыва первого рода. Действительно, так как функция ) (х) монотонна и ограничена на ("а, х,(", то она имеет предел при х-~- х, — 0; аналогично этому проверяется, что функция Г (х) имеет предел и при х — х, + О.
Назовем скачком фУнкции в точке РазРыва х, Разность Г (хв + + О) — 1(х, — О) этих пределов. В каждой точке разрыва монотонно возрастающей функции скачок положителен. Легко проверить, что множество точек разрыва, в которых скачок больше а (где а — какое-либо положительное число), конечно, а число этих г'(ь) — г (а) точек не больше чем ) ~~ .
Обозначим через Ев множество точек Я разрыва со скачком, большим чем —. Множество Е всех точек раз»' рыва равно объединению всех Е: Е =Е» 0 Е» [) Еа [) " [) Е» 0 Так как все Е» конечны, то Е не более чем счетно. Для монотонно убывающей иа [а, 6! функции доказательство аналогично. 68. Обозначим через А, множество точек разрыва функции на отрезке [ — 1, Ц.
Множество А всех точек разрыва (на всей числовой прямой) равно объединению всех А,: А = А, () А, 0 ... () А; Ц ...; каждое А! не более чем счетно (см. задачу 67). Объединение счетного числа таких слагаемых также является не более чем счетным множеством. Итак, А не более чем счетно.
69. Положим Е„= Е П~ —, +со ~. Ясно, что ()Е„= Е, так 1 и л как () Е. = [) (ЕП~ — + ~ ~ = Е П ~ 0~ —, + =ЕП)0, + о[ = Е. Если бы все Е„были не более чем счетны, то и их объединение, т. е. множество Е, было бы не более чем счетно; но Е по условию несчетно. Следовательно, по крайней мере одно из Е„несчетно. ! ! 1 70. Неверно.
Пример. Е= !1,—,—,—,, —, ...~. Са- 2 3 4 л мо множество Е бесконечно; однако для любого т > О множество Е П )т, +со[ конечно. 71. Можно. В качестве а можно взять любое положительное число, отличное от всех чисел ~ х, — х; ~ (где (х„х„х„..., хо ... )— данное множество Е). Различных чисел ~ х, — х! ~ счетное множество. Поэтому всегда найдется число а > О, отличное ат всех ~ х; — х!!. 72. Можно. См. решение задачи 71. 73.
Разобьем прямую на счетное множество отрезков точками О, ~1, ~-2, ~3, ... Каждый отрезок содержит не более одной точки данного множества; следовательно, между точками множества Е и некоторой совокупностью построенных отрезков существует взаимно однозначное соответствие. Значит, множество Е не более чем счетно. 74. У к а з а н и е. Разбейте плоскость прямыми х = сопз! и а у = сопз1 на счетное множество квадратов со стороной =. Да- 1' 2 лес см, решение задачи 73. 75.
Обозначим заикнутый круг радиуса г буквой А, открытый круг с тем же центром и того же радиуса буквой В, а замкнутый круг радиуса — ' с тем же центром буквой С. Тогда А ~ В:э С. 2 Множества А и С эквиваленты (взаимно однозначное соответствие 1О1 между ними устанавливается с помощью преобразования подобия.
Из эквивалентности множеств А и С вытекает (на основании теоремы Кантора — Бернштейна), что А эквивалентно В. 76. Если А — вся плоскость,  — замкнутый квадрат, С— включенный в него открытый квадрат, то А:» В ~ С. Но А эквивалентно С (см. задачу 53, в). Следовательно, А эквивалентно В. 78. См. задачу 58. 79. Мощность континуума (см. задачу 60). 80.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
