Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 22
Текст из файла (страница 22)
1. Если ф (х) н ф (х) интегрируемы по Риману на [а, Ь], то для любых чисел а, р имеет место ь ь ь (аф (х) + рф(х)) йх = а~ ср (х) йх+ () ] ф(х) йх. в в в Интеграл Лебега от ограниченной функции. Пусть ) (ху — ограниченная измеримая функция, определеннаи на измеримом множестве* Е евклидова пространства и принимающая значения строго между А и В: А < ! (х) < В для всех х р Е.
Разобьем отрезок [А, В) оси Оу точками А = уь < у! < уг « ... у„= = В и построим следующие суммы: и и г = ~ уг,пмп я = ч~ ', у!тли г=! г=! где е! = Е (уг-! < г< (х) < у;). Зги суммы называются соответственно нижней и еерхпеб суммами Лебега. Наибольшая длина отрезков [уг,, у!) при данном разбиении называется шагал! разбиения и обозначается Л. Если существует общий предел верхних и нижних сумм Лсбега при стремлении шага разбиения )с к нулю, то функция г (х) называется интегрируемая ло Лебггу на множестве Е и этот общий предел сумм Лебега называется интегралом Лебега от !' (х) по множеству Е; (1.) ~ [ (х) бх = ! пп ~~' у! ттг! = !пп ~ у! те! Е х о;, х-ог (когда ясно, что речь идет об интеграле Лебега, то знак (Е) перед обозначением интеграла часто опускают).
Множество Е называется при этом областью иитеграрогания. Если, в частности, областью вптегрирования является отрезок [а, Ь), то интеграл Лебега по этому множеству записывают в виде Ь Ь (1.) ) г (х) бх, или ) г'(х) бх. а а Т е о р е и а. Всякая ограниченная измеримая иа Е функ<(ия интггрирпгма по Лебегу иа этом множестве (предполагается, что Š— множество конечной меры). Свойства интеграла Лебега. 1.
Если функция [(х) интегрируема по Риману на отрезке [а, Ьз. то оиа нитегрируема и по Лебегу на этом отрезке, причем эти интегралы равны друг другу: ь ь ((с) ~ г (х) бх = (1.) ) г (х) дх. а а Таким образом, интеграл Лебега на отрезке является обобщением интеграла Римана. 2. Если Ь ( !' (х) ( К всюду на Е, то Ь ° тЕ ( ((Е) ) Г (х) <(х ~ (К ° тЕ. л 3. Если Множество Е конечной меры разбито на конечную или счетную совокупность попарно не пересекающихся. измеримых множеств Ех, то дли любой измеримой ограниченной на Е функции 1 (х) имеет место ~ г'(х) <(х = ~ч ! 1 г' (х) <(х Е ь е (это свойство интеграла Лебега называется <лолиоб аддитигиостьюь). 4.
Если ф (х) и ф (х) ограничены и измеримы на Е, то для любых чисел а и р имеет место ) (сир (х) + рф (х)) бх = (х ) <р (х) <(х +Р ) ф (х) бх. Е Е Е 5. Если !' (х) и ф (х) ограничены и измеримы на Е, причем почти всюду ' Здесь и всюду в дальнейшем мы считаем, что Š— измеримое множество коне ч ной м ер ы, если специально не оговорено противное. 83 7(х) ( ф (х), то ~1(х) йх () «р(х) йх. и и В частности, если 7 (х) = «р (х) почти всюду на Е, то 1 (х) йх = 1 р (х) й . и 6.
Если 7(х) — нс от р и ц а тел ь на я измеримая ограниченная функ- ция на Е, причем ( 1* (х) йх = О, то 1 (х) = 0 почти всюду на Е. Е 7. Если 7 (х) измерима и ограничена на Е, то ~ ) 1' (х) йх ) ( ) 11' (х) (йх. Е Я 8. Если дана последовательность измеримых ограниченных на Б функций 1« (х), )а (х), ..., 1» (х), ..., сходящаяся почти всюду на Е к функции р (х), и если существует такое число А, что )1» (х) ( ( А для всех», то 1пп )' 7» (х) «(х = ~ Р (х) йх. +«Е Интеграл Лебега от неограниченной функции.
Пусть 1(х) — неограничен- нан измеримая функция постоянного знака, например всюду на Е (7 (х)~ 0). Построим вспомогательную функцию Д (х)), («грозна» функции 1 (х) числом О, которая определяется следующим образом: 1 1 (х) при 0 ( 1 (х) ~ (С, при 1(х) ) 1. Эта фуннция измерима и ограничена (числами 0 и 1). Интеграл Лебега от неограниченной н е о т р и ц а т е л ь н о й функции ««(х) по множеству Б определяется равенством (Е) ) 7 (х) йх = 1пп (С) ) (7(хЦ, йх.
Е г + Указанный здесь предел всегда существует; однако он не обязательно равен конечному числу (он может равняться и +со). Если (Е) ) 1 (х) йх конечен, то и функция называется еуммируемой на Е (илн интегрируемой ло Лебегу на Е); если этот интеграл бесконечен, то функция называотся несуммируемой (нли не- интегрируемой ло Лебегу). Интеграл от з н а к о п е р е м е н н о й измеримой неограниченной функ- ции 1' (х) на Е определяется равенствол« (1.) ) 1 (х) йх = (Е) ~ 7'„(х) йх — (Е) ) 7' (х) йх, Е Е и где (1(х) при 1(х) ) О, + 1 0 при((х) <О, ((1(х)( при Р(х) < О, 0 при)(х) )~0', 1 1 т, е.
)+(х) = — (17(х))+1(х)), 7 (х) = — ((7(х)! — 7(х)). Фущ«ция 1 (х) называется суммируемой, если 7«(х) и 1 (х) обе суммируемы. Тогда интеграл от 1 (х) равен конечному числу, определенному уназанной выше формулой. Функция 1(х) неоуммируема, есин хотя бы одна из неотрицательных функ- ций )ь (х) или 1' (х) несУммиРУема, 84 Свойства интеграла Лебега от неограниченных функций. !. Если ф (х) и ф (х) суммируемы на Е, то для любых чисел и, () функции «хт (х) + ()ф (х) также суммируема, причем (Е) ( (а~Р (х) + Рф (х)) «)х = с«(1.) )г ю (х) «)х + Р (Ц ~ ф (х) бх, а Е Е 2.
Если 1(х) суммируема на Е и множество Е разбито на конечную или счетную совокупность попарно не пересекающихся измеримых множеств Еа, то 1(х) суммируема на всех Еа и (Е) ) 1(х) «(х = ~~(Ь) ) 1(х) бх Е а е, («полная аддитивносты интеграла Лебега). Для неотрицательной на Е измеримой функции1 (х)) это равенство сохраняется и в том случае, когда 1 (х) нес уммируема на Е (в обеих частях равенства тогда стоит +ос).
3. Если 1 (х) и ю (х) суммируемы на Е и 1 (х) ( ф (х) почти всюду на Е, то (Е) ) 1(х) сГх ( (1.) ~ «р (х) бх. Е В частности, если 1 (х) = ~р (х) почти всюду на Е, то их интегралы равны. 4. Если 1 (х) — измеримая на Е функция, то из суммируемости 1 (х) вытекает суммирусмость (1 (х)1, а иэ суммирусмости (1 (х)(вытекает суммирусмость 1 (х); при этом имеет место неравенство ( (Е) ) 1 (х) «)х ~ ( (Ц ~ (1 (х) ( «(х. Е я 5. Если 1(х) и я (х) измеримы на Е, причем почти всюду на Е имеет место неравенство (1(х)) ( (я(х)), и если я(х) сул«мируема иа Е, то и 1(х) суммируема на Е. б.
Если 1 (х) ) О на Е и (Ь) ) 1 (х) дх = О, то 1 (х) = О почти всюду на В. Е 7. Если последовательность ()л(х)) измеримых на Е функций сходится по мере на Е к функции Р (х) и если существует такая суммируемая на Е неотрица- тельная функций 6 (х), что (1„(х)) ~ (0 (х) для всех л и почти всех х Е Е, то функции 1„(х) и Р (х) суммвруемы на Е, причем !пп ) )я (х) Нх = ) Р (х) бх. л +«и и Задачи 679. Доказать, что если функция (1(х))' измерима на Е, то и 1(х) измерима на Е. 680. Показать, что из того, что (1(х))' измерима на Е, еще не следует, что 1(х) измерима на Е. 681.
Доказать, что если )'(х) измерима на Е, то и (1(х)( измерима на Е. Показать на примере, что обратное утверждение неверно. 682. Доказать, что если функции 1(х) и д (х) измеримы на Е, то функции лт (х) = пл(п (1' (х), д (х)), М (х) = щах (1' (х), а (х)) также измеримы на Е. 683. Доказать, что если функция 1(х) измерима на всяком отрезке("а, ()1, где а < а < (3 < (л, то она измерима и на всем отрезке (а, Ь'), 684. Измерима ли функция 1 (х), равная х' во всех точках пересечения канторова множества и некоторого неизмеримого множества Е и равная х' во всех остальных точках отрезка [О, 1]? 685. Доказать, что если 1 (х) имеет производную во всех точках отрезка [а, Ь], то эта производная 1"' (х) является измеримой функцией на отрезке [а, Ь].
686. Доказать, что если Š— измеримое множество, то характеристическая функция ув (х) измерима. Если же Š— неизмеримое множество, то Х„(х) — неизмеримая функция. 687. Построить измеримую функцию, определенную на всей прямой, разрывную во всех ее точках и обладающую тем свойством, что, как бы ни изменять значения этой функции на любом множестве меры нуль, она остается разрывной во всех точках прямой. 688. Доказать, что если функция Г (х) измерима на множестве Е, то функция [) (х)]~ также измерима на Е (определенне функции [1'(х)]~„где а ( Ь, см.
в условии задачи 562). 689. Пусть у (х) — характеристическая функция множества рациональных чисел. Доказать, что ее произведение на любую функцию есть функция измеримая. 690. Доказать, что всякая функция ограниченной вариации на [а, Ь] есть измеримая функция на [а, Ь]. 691. Пусть функцн я 1 (х) измерима на множестве Е и пусть Е,— произвольное открытое или замкнутое множество на числовой прямой. Доказать, чзо прообразом множества Е, во всех этих случаях является измеримое подмножество множества Е.
692. Пусть функция 1 (х) измерима на множестве Е; пусть ń— произвольное измеримое множество на числовой прямой. Обязано ли множество 1 — ' (Е ) быть измеримым? 693. Пусть функция 1 (х) измерима на множестве Е; пусть Е,— измеримое подмножество множества Е. Обязано ли множество )(Е„) быть измеримым? Если нет — привести соответствующий пример, 694. Пусть ср (1) — измеримая иа множестве Е функция, Е, = = р (Е) — ее множество значений. Пусть 1(х) — функция, непрерывная на Е,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
