Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(1) Разобьем произвольным образом (а, Ь] точками (!.' а = (е < (, « ... (е ! < (л = Ь. (2) Шагом этого разбиения называется число Х = гпах ((! — О,). С разбиением !кека (2) мы можем связать следующее число 1ле„(«длина вписанной ломаной»): 1.,„= ч' р (Мг, Иг,), г=! где М! — образ точки й при отображении (1).
Если при стремлении шага разбиения к нулю существует конечный предел длин ломаных, то этот предел называется длиной кривой (1), а сама кривая называется спрямляемой на [а, Ь]. Уточним это определение: если при любом е ) О существует б ) О такое, что при 73 любом разбиении [а, Ь) с шагом, меньшим, чем б, выполняется неравенство ! [«ом — [) ( е, то число [ называется длиной данной кривой.
Т е о р е м а 5. Для спряиляемости кривой (1) необходимо и достаточно, чтобы множество чисел [«оч (при всевозможных разбиениях отрезка ьа, Ь]) била ограничено сверху; при этом зир [лоч Т е о р е м а б. Для спрямляемости кривой (1) необходимо и достаточно, чтобы все функции Чц (О (! ( ([ ( и) имели ограниченную вариацию на (а, Ь!. Зедачн 612. Построить функцию, имеющую производную во всех точках оси Ох, причем эта производная разрывна в начале координат и не ограничена в любой окрестности начала координат.
613. Построить на отрезке [О, !] функцию, имеющую производную во всех точках, причем эта производная разрывна на заданном непустом нигде ие плотном замкнутом множестве, и только на нем. 614. Построить на отрезке [О, !] функцию, имеющую производную во всех точках, причем эта производная не ограничена в любой окрестности любой точки некоторого множества положительной меры. 615. Существует ли функция [ (х), имеющая во всех точках производную, совпадающую с функцией Дирихле (т. е.
[' (х) = 1 в рациональных точках, [' (х) = 0 в иррациональных точках)? 616. Функция [ (х) имеет производную во всех точках числовой примой. Может ли производная ]' (х) быть разрывной и монотонной? 617. Пусть во всех точках отрезка [а, Ь] существуют и правая, и левая производные функции ] (х). Верно ли, что ['„, (х) принимает все промежуточные значения (т. е. обладает свойством Дарбу)? 618. Построить непрерывную на всей прямой функцию, имеющую производную во всех точках, кроме точек заданного ограниченного счетного множества Е, в которых производная не существует. 619. Пусть ср (1) — функция, возрастающая на [а, Ь], а ]" (х)— функция, монотонная на [А, В], где А = ч] (а), В = гр (Ь).
Является ли монотонной функция [ (]р ([))? 620. Рассмотрим монотонные функции гр ([) и [ (х) из предыдущей задачи. Пусть ]р (1) разрывна в точке [о (а < [о < Ь). Обязана ли быть разрывной функция 1(гр ([))? 621. Доказать, что если функция 7 (х) строго монотонна на отрезке га, Ь] и если 1йп [" (х„) = 7" (Ь), где х„с [а„Ь] (и = 1, 2, ...), и то 1![и х„= Ь.
622. Доказать, что если 1(х) — непрерывная на отрезке [а, Ь] функция, то функции пт (х) —. !п1 ['(з) и М (х) = зцр((з) моно«] [о, х] «-[в, х] тонны и непрерывны иа [а, Ь]. 623. Доказать, что если 1(х) — произвольная возрастающая функция, заданная на [а, Ь], то функция М (х), определенная в 74 предыдущей задаче, совпадает с 1(х). Если же определить М (х) равенством М(х) = 3"Р 1(з) м[а, х[ то М (х) может не совпасть с функцией 1 (х) в ее точках разрыва.
624. Доказать, что если функция 1(х) определена и монотонна на [а, Ь1 н если она принимает в качестве своих значений все числа отрезка [[п(1(х); зпр 1(хЦ, то она непрерывна на [а, Ь) к [а, а! х [а, »! 625. Пусть на множестве Е ~ [а, Ь| задана ограниченная функция 1(х), удовлетворяющая условию: 1(х,) (1(х,) для всех х, 6 Е Е, х, 6 Е, х, ( х,. Можно ли ее доопределить на всем отрезке [а, Ь1 так, чтобы она была монотонной на всем отрезке? 626.
Пусть на множестве Е ~ (а, Ь[ задана неограниченная функция 1 (х) такая, что 1 (х,) (1 (х,) для всех х, Е Е, х, с Е, х, < х,. Можно ли ее продолжить на весь отрезок ["а, Ь1 так, чтобы она стала монотонной на всем отрезке? 627. Доказать, что если функция 1(х) непрерывна на [а, Ь"[ то для существования обратной функции необходимо и достаточно, чтобы 1(х) была строго монотонна. 628. Может ли сумма двух монотонных функций быть немонотонной функцией? Может ли произведение двух возрастающих функций быть немонотонно? Привести соответствующие примеры.
629. Пусть функция 1 (х) определена на [а, Ь1 и имеет в каждой точке интервала [а, Ь[ предел слева и предел справа. Доказать, что множество точек разрыва такой функции не более чем счетно. 630. Построить пример строго монотонной функции, определенной иа всей числовой прямой и разрывной во всех рациональных точках, и только в них.
63!. Доказать, что для любого счетного множества точек на оси Ох можно построить строго возрастающую функцию, у которой множеством всех точек разрыва является это счетное множество. 632. Построим на отрезке [О, Ц канторово совершенное множество О. Зададим функцию т (х) следующим образом; на смежном интервале первого ранга т (х) = —; на смежных интервалах вто- 1 2 ! 3 рого ранга т (х) = — на левом и т (х) = — на правом интервале; 2» 2» 1 вообще на смежных интервалах й-го ранга полагаем: т (х) = — на 2» самом первом интервале й-го ранга (если двигаться слева направо), 3 5 т (х) = — на втором интервале й-го ранга, т (х) = — на третьем 2» 2» * Интервалами»-го ранга мы называем те смежные интервалы канторова 1 множества, длина которых равна —.
3» и т. д.; на последнем интервале г' — ! Ьго ранга т (х) = —. Таким ги образом, функция т (х) определена на всем дополнении СР к множеству Р относительно отрезка [О, Ц. Она монотонна на СР, и множество ее значений всюду плотно на [О, Ц (значениями функции т (х) на СР являются все двоична рациональные числа между 0 и 1). Теперь доопределим функцию з е з з з з наР, положивдлях сРт(х) = = зцр т (~) (т.
е. в качестве Рис. 4 с<м ысв значения в точке х6 Р принимаем верхнюю грань значений этой функции на той части множества СР, которая лежит слева от х). Полагая, кроме того, т (0) = О, мы определим функцию т (х) на всем отрезке [О, Ц. Эта функция называется функцией Кантора (схематический график этой функции см. на рисунке 4). Доказать, что т (х) — возрастающая функция, непрерывная во всех точках отрезка [О, Ц.
633. Может ли монотонная н е и р е р ы в н а я на отрезке [а, 61 функцин, отличная от постоянной, иметь производную, равную нулю почти всюду в области определения (говорят, что какое- либо свойство имеет место почти всюду на множестве Е, если оно выполняется во всех точках этого множества, кроме точек некоторого подмножества меры нуль). 634. Доказать, что если функция 7 (х) монотонна, ограничена и непрерывна на конечном интервале 1а, б[, то она равномерно непрерывна на этом интервале. 636. Справедливо ли предыдущее утвержденне, если заменить конечный интервал )а, Ь[ бесконечным промежутком ) — оо, +со[? 636.
Пусть 7 (х) — произвольная непрерывная функция, определенная на [О, Ц, и пусть а — произвольное положительное число. Доказать, что существует непрерывная функция ф (х), определенная на [О, Ц и такая, что: а) ф (0) =7'(0), ф (1) =) (!); б) ф' (х) = 0 почти всюду на [О, Ц; в) ! ф (х) — 7 (х)! ( и для всех х с [О, Ц. 637. Пусть Š— нигде не плотное замкнутое множество на отрезке [а, о). Построить на этом отрезке строго возрастающую функцию ! (х), имеющую непрерывную производную всюду на отрезке [а, б), причемг"' (х) = ОвовсехточкахмножестваЕ. 638. Имеет ли решение предыдущая задача, если отказаться от требования, что Е является нигде не плотным множеством? 639. Доказать, что если ! (х) — монотонная функция, удовлетворяющая равенству 7 (х) + 7 (у) = 7 (х + у) для всех х и у, причем 7" (1) = а, то 7" (х) = ах. 76 640.
Вариация функции 1 (х) на [а, Ь) равна А. Чему равна вариа- ция функции Йг (х) + т на [а, Ь1? 641. Чему равна вариация функции (О при х =О, !' (х) = ~! — х при 0 < х < 1, 5 при х = 1 на отрезке [О, Ц? 642. Чему равна вариация функции (х — 1 длях<1, 7 (х) = ~ 10 для х = 1, х' -- для х > 1 на отрезке [О, 237 643. Если изменить значение функции из предыдущей задачи в точке разрыва (при х = 1), то вариация функции изменится. Как изменить значение этой функции в точке х = 1, чтобы вариация стала наименьшей7 644. Доказать, что функция 0 при х=О, 7(х) = х'соз — прн х,-ьО к имеет ограниченную вариацию на отрезке [О, Ц. 645.
Доказать, что функция 0 при х=О, х з(п — при 'х чь 0 к 2 ! имеет неограниченную вариацию на отрезке [О, — ~. 646. Функция 7'(х) имеет ограниченную вариацию на [О, Ц; доказать, что функция Р(х) =1(ах+ Ь), где а > О, имеет ограни- 1-ь Ь 1 — Ь! чеиную вариацию на отрезке [ — —, — ~, причем ь71= Ч Р а а О Ь а 647. Обобщить результат предыдущей задачи, доказав, что если 7 (х) имеет ограниченную вариацию на [О, Ц, а <р (х) — строго возрастающая непрерывная функция на [а, Я такая, что ~р (а) = О, ~р (р) = 1, то функция Р (х) = 1 Ор (х)) имеет ограниченную вариаь В цию на [а, Я, причем т'7' = УР. 0 а 648.
Доказать, что функция, имеющая во всех точках отрезка [а, Ь! производную, ограниченную на [а, Ь), является функцией ограниченной вариации. 649. Доказать, что характеристическая функция тз(х) множества Е ~ [вл Ь) имеет ограниченную вариацию на [а, Ь) тогда и 77 только тогда, когда множество Е имеет лишь конечное число граничных точек. 650. Обязательно ли сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций ограниченной вариации является функцией ограниченной вариации? 651. Доказать, что если функция удовлетворяет условию Лившица на отрезке [а, Ь1, то она имеет на этом отрезке ограниченную вариацию. 652. Доказать, что если функция 1(х) удовлетворяетусловию Гельдера порядка а > 1 на отрезке [а, Ь), то Г (х) постоянна на этом отрезке.
653. Доказать, что если функция 7' (х) удовлетворяет условию Гельдера порядка а на отрезке [а, Ь), то она удовлетворяет на этом отрезке также условию Гельдера порядка р, где () — любое неотрицательное число, меньшее чем а. 654. Пусть функция ) (х) удовлетворяет условию Гельдера порядка а на [а, Ь); доказать, что тогда Р (х) =К ) (тх+ п) удовлетворяет условию Гельдера порядка сь на отрезке а — л Ь вЂ” л! ~Ь вЂ” л а — л1 —, — ~ (если т >О) или на отрезке ~ —, — 1 (если иь < 0). сл т Ж Ш 655.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
