Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу (1134952), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Построить на каком-нибудь отрезке [а, Ь) непрерывную функцию, которая имеет на этом отрезке ограниченную вариацию и не удовлетворяет на нем условию Гельдера ни при каком а > О. 656. Построить на каком-нибудь отрезке [а, Ь"! непрерывную функцию, которая имеет на этом отрезке неограниченную вариацию и удовлетворяет условию Гельдера некоторого порядка а, где а — заданное число, 0 < а < 1. 657. Построить на каком-нибудь отрезке [а, Ь1 непрерывную функцию, которая имеет на этом отрезке неограниченную вариацию и не удовлетворяет на нем условию Гельдера ни при каком сс >О.
658. Пусть функции 7' (х) и д (х) имеют ограниченную вариацию иа [а, Ь). Доказать, что их сумма и произведение также имеют ограниченную вариацию на [а, Ь), причем ь ь ь 1(6+ В (.'~ 1+ '~ и Ь ь ь ЧЦд)( зпр /Г(х)! Уд+ зпр )д(х)! Ч~. а хь!а, Ь1 а х Ь 1а, ь! а 659. Пусть !'(х) — функция ограниченной вариации на [а, Ьь 1 причем!(х) )~ с > О всюду на [а, Ь).
Доказать, что — также имеет ограниченную вариацию на [а, Ь). 7 (х) 660. Пусть 1(х) определена на [а, Ь) и а < с < Ь. Доказать ь с ь равенство 1ь'1' = 71+ Н. а а с 661. Пусть 1(х) — функция ограниченной вариации на [а, Ь), Р (х) = Ч!' — вариация функции 1 на [а, х3. в 78 Доказать, что для непрерывности 1(х) в точке х, Е [а, Ь] необ- ходимо и достаточно, чтобы функция Р (х) была непрерывна в этой точке.
662. Пусть функция 1(х) определена на [а, +со[ и имеет огра- ниченную вариацию на любом отрезке [а, 1] (1 ) а). Доказать, что если 1ип 9'1 существует, то и 11ю 1 (х) существует. Показать на прио + а о + мере, что из существования конечного предела 1нп 1(х) еще не слео о + дует существования 11в Ъ'1. +ш о 663. Доказать, ято если 1(х) — разрывная функция ограничено ной вариации на [а, Ь], то Р (х) = 1г1 также разрывна на [а, Ь], о причем разрывы обеих функций находятся в одних и тех же точках. Доказать, что в каждой точке разрыва х, имеют место равенства: ! 1(хо + 0) — 1 (хо)! = Р (хо + О) — Е (хо), ! 1 (х,) — 1(х, — 0)! = Р (х,) — Р (х, — 0).
664. Доказать, что множество г'(а, Ь) функций ограниченной вариации на [а, Ь] является метрическим пространством, если за расстояние между 1 6 Ъ' (а; Ь) и д Е *г' (а, Ь) принять число ь р(1, д) = !1(а) — д(а) !+У(1 — д), о Доказать, что это пространство полно. 665. Объединим в один класс все функции ограниченной вариации на[а, Ь], отличающиеся друг от друга на постоянное слагаемое. Доказать, что множество этих классов является метрическим пространством Т (а, Ь), если за расстояние между двумя классами 1 и д принять число ь р (1, а) =~г(1 — а), а где1 — какая-либо функция из класса 1, ад — какая либо функция из класса д. Доказать полноту пространства г'(а, Ь).
666. Представить функцию ограниченной вариации соз' х на отрезке [О,п] в виде разности двух возрастающих функций. 667. Представить функцию ограниченной вариации з(п х на [О, 2п] в виде разности двух возрастающих функций. 668. Представить функцию ограниченной вариации на [О, 2] ( — х' при х Е [О, 1[, 1(х) = (О при х =1, 1 при х Е]1,2] в виде разности двух монотонных функций. 669. Чему равна вариация функции 79 (х' при х 5 ГО, 1Г, 1(х) = ~5 при х =1, х + 3 при х 5 ]1, 2] «!» на отрезке [О, 2]? Проверить, что Ъ7 = Ч1+ Ъ'~. Представить |(х) о о в виде разности двух возрастающих функций.
670. Доказать, что если функция ~ (х) имеет ограниченную ва- риацию на (а, Ь], то ее абсолютная величина (~(х)1 также имеет ограниченную вариацию на этом отрезке. 671. Справедливо ли утверждение: «Если (1 (х) ) имеет ограничен- ную вариацию на 1"а, Ь], то и 1 (х) имеет ограниченную вариацию на этом отрезке»? 672. Пусть 1(х) — н е и р е р ы в н а я на 1а, Ь] функция.
Справедливо ли утверждение: «Если (1 (х) ! имеет ограниченную ва- риацию на 1"а, Ь], то и ( (х) имеет ограниченную вариацию на этом отрезке»? 673. Доказать теорему: «Для того чтобы функция )'(х) имела ограниченную вариацию на ('а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы существовала такая в о з р а с т а ю щ а я функция ~р (х), что для любого х 5 1"а, Ь] и для любого Ь > 0 (такого, что х + Ь 51а, Ь]) имеет место (1 (х + Й) — 1 (х) ! «..
<р (х +?«) — ~р (х)». 674. Доказать, что кривая х' з(п — при х чь О, у =- х 0 при х=О спрямляема на (О, Ц. 675. Доказать, что кривая у 1 хз(п — при хФО, Х О при х=О не спрямляема на 10, Ц. 676. Доказать, что функции х = ~р (1), у =ф (1) (О ( 1 ~~ 1), задающие кривую Пеано (см. задачу 594), не могут иметь ограничен- ной вариации. 677.
Рассмотрим жорданову кривую: 1 1 х= 1з(п- при 1Ф О, (з(п — при 1Ф О, у= 0 при 1 = О, 0 при 1 = 0 (1 510, Ц). Так как обе функции, задающие эти параметрические уравне- ния, не имеют ограниченной вариации на отрезке ~0, Ц (см. задачу 645), то, согласно теореме б введения к настоящей главе, эта кривая не спрямляема. Сдругой стороны, кривая, определяемая этими урав- нениями, является отрезком прямой у =х от точки (а, а) до точ- 1 / . 1т ки (Ь, Ь), где а= ппп ((з(п — 1, Ь = «пах <(з(п — )", но конечФе]0, О~, ~ 1 х«10, 11 « ный отрезок прямой всегда имеет конечную длину.
Чем объяснить кажущееся противоречие. 80 678. Доказатв, что если функции <р (() и т(э (1) имеют всюду на (О, Ц производную, причем !р' (Т) и чр' (() ограничены на (О, Ц, то кривая х = гр ((), у = т(э (1), (О -( ( ( 1) спрямляема. Глава Х11. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ, ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И ЛЕБЕГА Измеримые функции. Числовая функция 1(х), определенная на множестве Е, где Š— подмножество евклидова пространства )тл (в частном случае — подмножество числовой прямой), называется измеримой, если измеримы множество Е и все множества Е (( (х) > а) для любых а, — ео < а <+ ео. Здесь, как и всюду дальше, Е (( (х) > а) (нли Е (7 > а)) — множество всех тех точек х из Е, в которых имеет место неравенство ! (х) > а.
Аналогичный смысл имеют обозначения: Е (( (х) ) )а), Е (7 (х) < а), Е (1 (х) ~< а), Е (~ (х) = = а), Е (а < 7 (х) < Ь) и т. д. (нли Е (~ > а), Е (~ < а) и т. д.). Для измеримости функции !' (х), заданной на измеримом множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы были измеримы все Е (! (х) )~ а), или чтобы были измеримы все Е (1 (х) < а), или чтобы были измеримы все Е (! (х) ( (а). Свойства измеримык функний.
1. Если две функции 7, (х) н !з (х) измеримы, то измеримы также их сумма, произведение, частное (последнее — при условии 1« (х) ~ О на Е). 2. Если дана последовательность измеримых на множестве Е функций 7«(х) уз(х)." (л (х), ..., сходащаасн всюдУ на Ек фУнкции Е (х), то Е(х) измерима на Е. Даже если соотношение 1)ш !л (х) = Е (х) выполняется не всюлу, л + а лишь почти всюду* на Е, то и тогда Р (х) измерима на Е. 3. Если две фунхции, определенные на Е, отличаются друг от друга на множестве меры нуль, то они либо обе измеримы, либо обе неизмеримы.
Функции, отличзющиеся друг от друга только на множестве меры нуль, называются эхэяэалентлами. 4. Если 1 (х) измерима на Е и если и з м е р и м о е множество А является подмножеством множества Е, то 74х) измерима на А. П р и м е р ы измеримых функций. 1. Функция, прннима«ощая постоянное значение С во всех точках измеримого множества Е, измерима на Е. 2. Всякая функция, непрерывная на отрезке [а, Ь), измерима на нем. 3. Функция, непрерывная почти всюду на отрезке (а, Ь|, измерима на нем. 4. Функция, являющаяся пределом сходящейся последовательности непрерывных на (а, Ь) функций, измерима на (а, Ь). Не всякая функция измерима.
Так, например, если Š— непал«ернмое мно. жество на прямой, то функция, имеющая значение 1 на Е и О вне Е, неизмерима. Сходимость по мере. Пусть Š— из««еримое л«ножество конечной меры. Последовательность ((в (х)) измеримых на Е функций называется сходящейся по мере х измеримой функции Ф (х) на Е, если для всякого числа 6 > О имеет место: 1пп тЕ (1 р (х) — )„(х)1 > 6) = О. э + Т е о р е м а 1 (Л е б е г а). Если последовательно«ель функций 0л (х)), * Напомним, что термин «некоторое свойство выполняется почти всюду на Еь означает, что это свойство выполняетсн во всех точках множества Е, кроме точек некоторого подмножества меры нуль.
61 измеримых на множестве Е конечной меры, сходится почти всюду на Е к функции ~р (х), то она сходится к этой функции и ло мере на Е. Таким образом, сходимость по мере является обобщением сходимости почти всюду. Вместе с тем эти понятна не совпадают: существуют последовательности измеримых функций, сходящиеся по мере на множестве Е конечной меры, но не сходящиеся в обычном смысле ни в одной точке множества Е (см. задачу 699). Т е о р е м а 2.
Иэ всякой сходящейся но мере на Е последовательности ([л (х)) можно выделишь нодлоследовотельность, сходящуюся почти всюду на Е (где Š— множество конечной мера). Т е о р е м а 3 (Е г о р о в а). Если последовательность ([л (х)) сходиглсл по мере к ф (х) на множестве Е конечной меры, то для любого 6 > 0 существует такое измеримое подмножество Е, ~ Е, что а) тЕт > тŠ— 6; б) последовательность ([л (х) ) равномерно на Е, сходится к ф (х). Интеграл Римана. Пусть функция ! (х) задана на [а, Ь].
Разобьем [а, Ь] точками а = хе ( хг ( ... < х„= Ь и назовем шагом Л этого разбиения максимальную длину интервалов ]хг,, хс[ Л = гпах (х[ — хс г). г Далее построим суммы в = ~', т[бхс и 5 ~"„ Мсбхы [=[ г=! где йхг=х[ — хны тс= [п1 ! (х), Мс = зпр ((х). хе[к; [ хг) «е[хс н хд Эти суммы называются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу. Если существует общий предел верхних и нижних сумм ][арбу при стремлении шага разбиения Л к нулю, то этот предел называется интегралом Римана от ! (х) на отрезке [а, Ь]: 2. Если ! (х) интегрнруема на [а, Ь] и на [Ь, с], то она интегрируема и на [а, с], причем с ь ) ! (х) йх = ~! (х) йх о в 3. Если т ( ! (х) ( М всюду на [а, Ь] [а, Ь], то ь т.
(Ь вЂ” а)<]г)(х)с[х +) )(х)йх ь и ! (х) интегрируема по Риману на ~~ М . (Ь вЂ” а). В2 Ь л л (Й) ) [(х) с[х = 1[ш ~~~ тсАх[ — — Вш ~~~ М;бхг. о ног, ног, Если для функции ! (х) на отрезке [а, Ь] существуют пределы нижних и верхних сумм ][арбу н эти пределы равны друг другу, то говорят, что ! (х) интегрируема на [а, Ь] оо Риману. Т е о р е м а. Для того чтобы функция ! (х) была интегрируема сю Римону на [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена на [а, Ь] и мера множества ее точек разрыва равнялась нулю (т. с. чтобы функция ! (х) была почти всюду на [а, Ь] непрерывна). Свойства интеграла Римана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
