Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Последнее уравнение имеет единственное решение в силу теоремы существования (правая часть линейна относительно Лх(Г) и, следовательно, условие Липшица относительно Лх автоматически удовлетворяется). Это решение реализует обратный оператор ~х(1) = Лх = [Р.'Г' у(1). 91ы находимся в условиях применимости теоремы о неявных функциях. 460 АНАЛИЗ В ЛИНЕПНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ (ГЛ.
ШП Решение х = х(г) уравнения (9) может рассматриваться как функция начального значения хо: х=х(Г, хо), причем х(г, хо) а раз днфференцируема по хо. В частности, если Е есть а-мерное пространство, то получаем теорему о непрерывно дифференцируемой вависимости решения от начальных данных. й 1О.
Касательные многообразия Случай прямой суммы. Пусть функция ф(х) отображает банахово пространство Е в банахово пространство Е„: хЕЕ„, ф(х)~Е„. Рассмотрим совокупность йй точек, удовлетворяюших уравнению ~р(х) = О. Положим, что ор(хо) = О, т. е. хо Е цгс, и что функция ор(х) непрерывно дифференцируема в окрестности точки х„: ~р (хо+ л) = гр' (хо) л.
Если оператор ~р'(хо)~(Š— ьЕ ) отображает пространство Е на все пространство Ею то точку хо будем называть лраеильной. Будем считать во всем дальнейшем, что точка хо правильная. Обозначим через То совокупность элементов й ~ Е, для которых 4р (хо) гг = О. То есть подпространство пространства Е. Назовем линейным касательным многообразием Тм к многообРазню Я в точке хо совокУпность элементов хо+ Д. где геЕ То Рассмотрим сначала случай, когда пространство Е„есть прямая сумма подпространства То и некоторого подпространства Те. Каждый элемент х ~ Е„имеет вид х=л+1, й ~То, 1ЕТе. Линейный оператор <р'(хо) отображает ТЕ на все пространство Е„. В самом деле, ~р'(хо) отображает Е„на все пространство Е„, значит, для всякого у ~ Е найдется эле- Э 101 КАСАТЕЛЬНЫЕ МНОГООВРАЗИЯ мент х Е Е„ такой, что ф' (хь) х = у.
Но к=И+К, И ~ Т,, ~~ТЕ и ~р'(хз)И=О. ПоэтомУ Ч (хь) ь 'р (хв) х Определим линейный оператор А из (ТЕ -ьЕ„) посредством равенства Аъ=% (хо)ь Оператор А в силу только что доказанного отображает Ть на все пространство Е„. При этом, если ~, ~, ~ Та и АЕ = А$м то $ =$Р В самом деле, пусть А(Š— $,)=0, т.
е. ьр'(хь)Я вЂ” ~,)=0. Отсюда  — $1 Е Ть. Но так как Е есть прямая сумма Те и ТЫ то $ — С,=О, $=$ По теореме Банака оператор А имеет обратный линейный оператор А Те о рема 1. Если пространсгпво Е есть прямая сумма подпространств Те и Т;., то существует топо- логическое, т. е. взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение друг в друга окрестностей точки хь в многообразии И и в линейном касательном многообразии Т„с причем соответственные точки удалены друг от друга на расстояние высшего порядка малосяьи сравнительно с их расстоянием до точни касания хь. В окрестности точки хе элементы х имеют вид х = х, + И+- ~ь И Е Те, ~ ЕТЭ Уравнение многообразия 0)1 запишем в виде Ф(/х, %) =4р(х,+И+Ы=о.
(1) При И=э=О также и Ф(0, 0)=0. Далее, частный дифференциал функции Ф(И, $), отвечающий приращению Ъг при И = $ = О, имеет вид Фь(0, 0)б~=гр'(хо)~Ц=А~Ъ$. Р) 482 АнАлиз В линенных пРОстРАнстВАх 1гл. щи Оператор А=Фа(0, О) имеет обратный. Поэтому в силу теоремы о неявных функциях в окрестности точки Ь =(1, ~ =0 уравнение (1) равносильно уравнению В=ф(Ь) где ф(Ь) — дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию ф(0) =О.
Таким образом, каждая точка х ~% в окрестности точки хе имеет вид х = хо+ Ь+ ф (Ь) Ь с То ф (Ь) Е Та. Мы построили, следовательно, отображение точек х = хе+Ь окрестности точки хе в Т„, на точки х=хе+Ь+ф(Ь) окрестности точки хе в %, которое есть взаимно однозначное и непрерывное (т. е. топологнческое) отображение. В силу равенства Ф„'(0, 0) Ь+Ф,'(0, 0)ф'(0)Ь=Ф,',(0, 0)«+Аф'(0)«=0 имеем а1ф(0, Ь)=ф (0)Ь= — А ФА(0, 0)Ь= — А 1р (хе)«=0. Поэтому ф (Ь) +ф (О) +.
ф' (О) 11 = О, т. е. ~/ф(Ь)~! = оЦЬД). Но (/ф(Ь)/) есть расстояние от точки хе+« линейного касательного многообразия Тж до соответствующей точки х=х +«+~(Ь) многообразия И. Это расстояние есть величина высшего порядка малости сравнительно с а ь а или с а «+ ф(ь) !1. т. е. с расстояниями точек хе+« и хе+Ь+ф(Ь) до точки касания хе, что и требовалось доказать. Общий случай. В общем случае мы не можем утвер'- ждать существование такого подпространства Та, что В, = Т,(ВТ1 Однако теорема 1 в несколько ослабленной форме верна. как мы увидим это ниже, и в общем случае.
Образуем факторпространство Е„/Те классов смежности по отношению к Та (см. стР. 64). Всакий элемент Т фактоР- з кз кАОАтельные мнОГООБРАзия пространства Е (Ть есть некоторое множество элементов пространства Е, причем если х, и хам Т, то х~ — хгЕТе т. е. <р' (х ) (х, — хг) = О. Поэтому ьр' (хе) х, = ~р' (хь) хг. Оператор ~р' (к ) ~ (ń— ь Е ) переводит любые две точки х, и хг из Т в одну и ту же точку из Е . Обратно, если ~р'(хе) х, =~р'(хь) хг, то ~р'(хе)(х,— х,) =О, т. е. х, — хеба Ть, и, значит, х, и хг принадлежат одному и тому же классу из Е (Тв. Следовательно, оператор у'(хе) порождает некоторый линейный оператор А, отображающий Е„(Ть в Е„, именно, если Т Е Е (Ть, то АТ= р'(хь) х, где х — любая точка из Т; в силу предыдущего АТ не зависит от выбора точки х из Т.
Пусть у — произвольная точка из Е . По предположсь У нию оператор ~р (хе) отображает Е„на все пространство Е„. Поэтому найдется элемент х~Е такой, что ~р'(хе)х= у. Но х принадлежит некоторому Т из Ег(Те. По определению АТ = гр' (хе) й = у. Итак, оператор А имеет обратный А '. По теореме Банаха оператор А ' — также ограниченный. Теорема 2.
Всякой точке х многообразия 2й можно отнести такую точку х касательного многообразия Т, и, обратно, всякой точке х касательного многообразия Т„, можно отнести таную точку х многообразия л)г, что расстояние между ними есть величина высшего порядка малости по сривнению с расстоянием вних точек до точки касания хе (вто соответствие, еообиге говоря, неоднозначно). Доказательство этой теоремы есть несколько измененное доказательство теоремы о неявной функции, и сама эта теорема есть непосредственное обобщение последней.
484 АнАлиз В линейных НРостРАнствлх (гл. РН1 Пусть Ь ~ То. Построим последовательность (Т„) элементов из Е„(То и точек Д„), где ~„Е Тл, следующим образом: $о — — ОЕТо. ПУсть Уже постРоены все Т,, О! пРи1= 1, 2, ... п — 1. Тогда определим Тл и $» следующим образом: 1 л = Тл-1 —.4 1Р(ХО+ И+С»-1).
(3) Далее, на Тл выберем какую-нибудь точку $„так, чтобы Ą— ~„,',~ - Ц҄— Т„,Р. Такой выбор возможен, ибо 11!Тл — Т.— ~! = 1П( й — В»-Л. о игл Так как Р 1~Т„1, то по определению оператора А имеем АТ», = 1Р'(хо) $»-1. Поэтому (3) можно записать в виде Тл = — А (1Р (хо+ и + 6»-1) 1Р' (хо) ьлл 11' Так как Тл, = — А '(1Р(хо+А+э 2) 1Р'(хо)эл-2) то Тл Т» 1 = — А (1Р(хо+ и+ В»-1) 1Р(хо+ 12+ а»-2) 1Р (хо) (ьл-1 6»-2)1. Полагая Ьг Ьл- +Ф(Ь вЂ” Ь -2)' икеем Р(хо+ Ь+ В,-1) — 1Р(хо+ й+ Ь,— ) = 1 = ~ Р'(хо+Л+~1)116»-1 — Ь»-2).
о Отсюда ! Тл — Тл, = — А 1 К (хо+ 12+ гл)— о — Р (х,)) (1(с„, — В.,). (4) клслтельныв многооввлзия 485 Ф 101 Пусть ||И|Ф, И. 1||<г, й„з||<', тогда В1||<г а значит, |! И + 8, |! ~( 2 г. Вследствие непрерывности ф'(х) в точке хо для всякого г ь О существует число е„е,-эО, при г-ьО, такое. что |! ф' (х) — ф' (хо) |! < е„при |! х — хо |! < 2г. Отсюда ||ф'(хо+И+В!) — ф'(хо)|! < " и из (4) следует |! ҄— Т„,|! < А-'Фф'(х,+ И+ В,)— о — ф'(ХО)|!«1|!%а-~ — $л-З|! <||А '||Ег!|Ве-~ — Фл-З|!.
ք— ~„,|! <2||Т,— Т„,|! <2||А ||е,Д„1 — З„з|!. При достаточно малом г 2||А '||е, <— и, значит, 1 ||ьл Вл-г||< 2 !|ел-~ $л-з|!. Пусть ||И|| =г; если ||$1||<г, 1=1, 2, ..., и — 1. то 1 Д,— $, ~|! < 2 ||$, ~ — $, з||< ° ° ° 2" ' ||~~ ~о|! 2" ! 1 ||5а|! ||В1+(ВЗ ь~)+ ' ' ' + (ьл ьч — 1)|! < <!|ь1||+ ||$з В~||+ ° ° + ||за ьи-~|! < ~<||$,||(1+ 2 + .. ° + ~,,) ~2||$,|!. 436 АнАлиз В линейных пРостРАнотвлх 1гл, чн1 Так как $з — — О. то Т, = — А '~р(хз+Ь) и !!$1|)~(2!!Т1!1~(2!!А '!!)(1р(хо+Ь)!! Далее. 1р(ха+ Ь) = ~р(хе)+~р'(х ) Ь+ е (й), е(Ь) о (/!Ь!!).
Но 1р (хз) = О; далее, Ь Е Тз, следовательно, 1р' (хз) Ь = О, поэтому откуда р(лз+Ь) =е(й), //~,!(~(2!! А '!!/!е(й))!. (б) При достаточно малом г ~ О и //Ь!!~(г 1 !(Е(й)(!~( !! 1 )!Ь!!. Поэтому !!Е1!!~~ 2 !! !!~~ 2 Вз!! <г. и, значит, Мы находимся все время в условиях, при которых 2 1 или А 'Р(ле+Ь+~)=О, ~р(хе+ Ь+ В) = О. «з+Ь+ВЕ%. нли Следовательно, Поэтому последовательность Д„] сходится к элементу а ~ Е, причем !!Ц! 4!(Ь(!. и, более того, в силу (5) !($))(2!($1(!( 4!!А '!!()Е(Ь))!.
(6) Соответственно Т„из Е„(Те сходятся к Т из Е 7а и $~ Т. Уравнение (3) при л-ьсо, ~„-ь~, Т„-РТ переходит в Т= Т вЂ” А ~р(хе+й+$), 481 й 1о! КАСАТЕЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ Эту точку ставим в соответствие точке хо+лц.То. Неравенство (6) показывает. что йф'8 = о ЦЬ'8), т. е. что расстояние 8$8 между точкой хо+ 8 ~ То и отнесенной ей точкой хо+ Й+ $ ~ Я есть величина высшего порядка малости сРавнительно с РасстоЯнием 8 $8 до точки касаниЯ хо.
Пусть теперь х = хо + и принадлежит %, т. е. ~р(хо+и) =<р(хо) = О. Имеем <р(хо+ и) — ор(хо) ='р (хо) "+е(") = О где е(и) = о Ци8). Отсюда р'(хо) и = — е(и). Обозначим через Т тот элемент пространства Е /То, которому принадлежит и. Тогда ~р' (хо) и = АТ. Отсюда АТ = — е(и) и Т = — А е(л). //Т8'(~/А й(/е(и)й'. Среди элементов пространства Е„, принадлежащих Т, есть элемент $ такой, что '8' 8 8' ( 2 8' Тй' ( 2 (~ А ' ф( е (и) 8.
Так как $~Т, и~Т, то л — оь Е То хо+ и — з Е Т»е Эту точку ставим в соответствие точке х = хо+ и. Для расстояния 888 между этими точками имеем оценку йЦ = оЦий). Теорема полностью доказана. Пространства, линейные в малом. С понятием касательного многообразия связано понятие линейного в малом пространства, важное для некоторых исследований. Рассмотрим два метрических пространства Х и У. Пусть дано топологическое, т.
е. взаимно однозначное и взаимно бйВ АнАлиз в лннепггых г(РостРАнствлх !гл. т111 непрерывное отображение пространства Х на У, причем точке х из Х отвечает точка гр(х) нз У. Отображение гр называется почти изометрическим е точке ха из Х, если расстояние любых двух элементов х, и хг иа Х и расстояние их образов в 1' связаны неравенством р(хп х,)(1 — е) 4р(гр(х,), ф(х,)) ~(р(хг, хт)(1+ е), где е стремится к нулю вместе с р(хы х )+р(х, х ).
Пример. Пусть ))1 — многообразие в Е„заданное уравнением ф(х)' О, ҄— линейное касательное многообразие к к)1 в правильной точке х, ~ % и Е = ТеЯТХ, где Т, — совокупность элементов И, для которых ф' (х,) И О. При некотором г > 0 каждому элементу ха+ И, !! И !! ( г, из Т относим элемент ха+ И+5(И) из Ю1 (см.
теорему 1 настоящего параграфа). Получаем топологнческое отображение Х окрестности точки х в Т„на окрестность точки х,в%. Отображение Х почти изометрично в точке х,Е Т, (нли х, Е ~И). В самом деле, пусть хь хгЕТгы хг= ха+ Иь !!Иг!! <г; тогда х, соответствует Х (х,) х, + Иг+1(И,) ~И, х, соответствует Х (хг) = ха+ И, + $ (И,) Е кй. Имеем Х(хг) Х(хг) = Иг — Иг+(ь(лг) ь(Иг)! откуда !! И! Иг !! !! ь (И!) ь (Иг) !! 4 ! Х (хг) Х (хг) !! < < !! И, — Иг!! + !!1(лг) — 1(Иг) !!. (У) Функция 1(И) имеет непрерывную производную $' (И), причем э'(О) =О. Поэтому прн 5!И!! (г !!$' (И) !!(е„где е,-ьО прн г-+0. Далее 1 !!1(Иг) — 1(Иг)!! = ~1 (Иг+1(Иг — Иг)) Пг(лг — И,) о < ~ !! 1' (И, +1(И, — И,) ) !! Пг !! И, — И, !!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
