Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 62
Текст из файла (страница 62)
2. Скорость сходимости последовательных приближений в модифицированном методе Ньютона определяется неравенством )~х„— х*~) < 14 ~((у'(х,)) '/(хо)~~, которое легко может быть получено из (!2). Если же рассмотреть основной (немодифицированиый) метод Ньютона, то скорость его сходимости будет более высокой, а именно: !1х,— х 'а < — „, (2ло) Подробнее об этом см. в [13].
П р и и е р. Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение Гаммерштейна 1 х(г) — ~ К(б а) л(8, х(а)) 15=0. (13) о где ядро К(б з) непрерывно по совокупности переменных в квадрате 0~(б а (1, функция л(ж и) непрерывна по совокупности переменных в полосе 0(а~!, — со( и <+со н имеет непрерывную производную лц(ж и), удовлетворяющую по второй переменной условию Липшица ~ лч (а, л|) — ла (а, нз) ~ ~() ~н1 Тогда абстрактная функция г У(х) =х(г) ~ К(й а)й(а, х(5))аа о преобразует пространство С(0, Ц в себя, сильно дифференцируема, 449 $61 ОДНОРОДоын ФОРМЫ И МНОГОЧЛКНЫ причем 1 У (х) Ь Л (1) — / К (К а) ао' (а, х (а) ) Л (з) коз, о и производная /'(х) также удовлетворяет условию Липшица 1~ У' (х) — У' (~) 11:ц аЛ 1 х — а 11, где а =онр1К (д о) 1.
г,о Тогда, если единица не является собственным значением линейного интегрального уравнения ! А (1) — Л ~ К(й з) л„(з, хо(г)) л(з) оГо =0 о (14) Мо о"Р ~ 1гсо(1 а 1)(нз о где )11(С, о, Л) — резольвеита уравнения (14), то при выполнении условия 1 "о славно~ 4 где 1 1 ъ= 'о) ~О О» О3/ (Π— )ОО )гО "О1)О!О' о о ф 5. Однородные формы н многочлены Умножение элементов. Часто приходится иметь дело с операцией умножения, когда множители и произведение являются элементами разных пространств.
Рассмотрим три линейных нормированных пространства Е, Е, Е, и введем операцию умножения, относящую произвольным элементам х из Е и у из Ез элемент х=ху из Ечп Потребуем, чтобы эта операция умйожения обладала следуюгцими свойствами: 1) (х1+ хо) у = х1у + хоу; 2) х(у,+уз)= ху, + ху.,; 3) при хо-ь хо и уо -ь уз х„уо -ь хоуо. метод Ньютона, примененный к уравнению (13) при начальном при- ближении х,(Г), сходится к решению етого уравнения. 460 АнАлиз В Линейных пРОстРАнстВАх 1гл у!!З Примеры.
1. Пусть А — линейный оператор, отображающий Е, в Е„;  — линейный оператор, отображающий Е„в ЕР Тогда ВА — линейный оператор, отобра!кающий Е„в Е,. 2. Если х (!) — функция из Е [О, 1]. у (С) — функция йз Ер [О, 1]. то их произведение в обычном смысле в(г) = х (!) у (!) есть элемент из Ее[0, 1], где 1 1 1 — = — +— Ч р! р» 3. Внутреннее произведение двух элементов х и у вещественного гильбертова пространства можно рассматривать как результат умножения х на у, где »си, утп н худ е=( — со, со).
4. Если х — элемент из Е» и А — линейный оператор, отображающий Е„в Ею то Ах можно рассматривать как произведение А и х: А~(Е -ь Е„) Е, х~Е», АхЕЕ. Легко проверить, что в приведенных примерах все свойства операции умножения выполняются. Теорема. Если Е,, Е„, Е,— линейные нормированные пространства и определено произведение ху=г (х Е Е», у Е Е„, г С Е,), то суи!еетвуе!и положительная постоянная А4 такая, что ]]ху]]~(А4![х!]][у!! (хЕЕ„, уЕЕ ). Допустим обратное. Тогда для любого натурального числа и найдУтсЯ элементы х„ц Е, У„ЕЕ» такие, что х„[! ![у„!!. ][х„у.]!) ']! Поэтому, полагая 1 хэ = — х, э п]]хд[!» 1 у = у и п[]уэ]] Операция ху при фиксированном х есть аддитивная и непрерывная по у операция, т. е.
есть линейный оператор, определенный на Е, с областью значений, расположенной в Е,. Аналогично ойерация умножения ху при фиксированном у есть линейный оператор, отображающий Е в Е,. Отсюда следует, что ()сх)у=А(ху), х(Ау)=)с(ху). одноводныв фовмы и многочлвны 46! имеем С другой стороны, ((хе!)= —, )!уе)! = —.
Таким образом, хе и уа стремятся к нулю, а норма ()хеуе 'р остается большей 1, что противоречит непрерывности операции умножения. и-линейные формы. Пусть Ео Е,, ..., Е„, Š— линейные нормированные пространства. п-линейной формой называется функция а(Ьп Ит, ..., И„) Е Е, И~ Е Ео линейная относительно каждой из переменных Иг, Им ..., Ь„.
Будем писать а(Им Ь,, ..., И„) = аИ,Ит ... Й„. Иормой 'йа~! формы аИ,Из ... Ь„будем называть число е) 1аИ,И, ... Иа1 Р 1и,а аи,1 ... аиа1' (1) Очевидно, ()оИ,Ит... И„(~~()(о)(((И,))((И,((... ((И„б. Если оЬ1Ив ° .. Ь„=ИИ1и . ° . И„ прн любых И,ЯЕн Из~Ем ..., И„ЕЕ„, то мь1 считаем, что а = Ь. Совокупность форм ой,йт ... И„, где Ь, Е Ео аЬ,Ит ... Ьа с Е, образует линейное нормированное пространство, если сумму и умножение форм на число понимать в обычном смысле, а норму ~(а~) определить равенством (1). При этом форму аЬ,Ит... Ь„, можно рассматривать как линейный оператор, действующий из Е„в Е, т. е.
аИ,И ... И„,Е(ń— ьЕ), форму аИ,И,... Ьа я — как линейный оператор, действующий из Е„, в пространство (Е„-+Е), т. е. оИ,И, ... Иа-зЕ(Е -т — ь (Еа — ьЕ)) а) В силу теоремы Ванаха — Штейнхауса и-линейная форма, непрерывная по каждой переменной, будет непрерывна по совокупности переменных. 462 АнАлиз В линвиных пРОстРАнстВАх 1гл. ТН1 и т. д., наконец, а С(Е2-ь(Е2-+ ...
(Ел-+Е) ...)). Тогда форму аИ,И2 ... И„можно рассматривать как последовательное произведение слева направо элементов а, Ин Из Ил ай,й ... И„=(... ((ай,)йз) ...)И„. Форма называется симметрической, если Е,=Е2 — — ... ... =Е„и ай2 ... И„= ай2 Иг ... И2, где Я, 12, ..., Тл)— 2'' Л' любая перестановка индексов 1, 2, ..., и. Примером симметрической формы может служить билинейная форма (Ак, у), где А — самосопряженный оператор в вещественном гильбертовом пространстве.
Произвольную форму ай, ... й„можно симметризовать, отнеся ей форму 1 ът Бай2 ... И„= — т ай2 И2 ... йс, (2) (~г ~2 ' ~л) где сумма берется по всем перестановкам (Гн 12, ..., 1„) индексов 1, 2... и. Форма Бай,й, ... И„, — очевидно, симметрическая. Если ай,йз ... И„есть симметрическая форма, то Бай,И2 ... Ь„= ай,йз...
И„. Форма айй ... И. получаемая из симметрической и-линейной формы ай,йз ... И„при И,=Из= ... =й„=й, называется однородной формой и-д степени. Однородная форма второй степени называется квадратичной (ср. й 1 гл. ЧП). Мы введем для краткости обозначение ай" = айй ...
И. Свойства и-линейных и однородных форм: 1. а (ТИ)" = 1'ай". 2. Если а — симметрическая и-линейная форма, то произведение ай,йт ... И„дистрибутивно и коммутативно по отношению к каждой паре множителей. Поэтому, например, ау,й,+Тайа+ ... +Т„И,)" в з] ОДНОРОДНЪ|Е ФОРМЫ Н МНОГОЧЛЕНЫ 453 получается по правилу возвышения в п-ю степень суммы И членов: а(г1И +1 И + ... +гади) л,ьл + ... +п„=л, л1,из 3. Для симметрической и-линейной фориы дл а(11И1+22И2+ +гид ) = и =и) аИ,И2 ... Ии.
(4) и В самом деле, оператор обращает в нуль все члены суммы в правой части равенства (3), за исключением того, который содержит произведение всех множителей гп т. е. за исключением члена, отвечающего показателяи П! —— П2= ... =П =!. и Этот член равен П) ~122 ' ' ' глаИ1И2 ' ' ' Ил' и, следовательно, (4) доказано. 4. Если имеет место равенство аИ" = ИИ" (5) при любых И Е Е„, то соответствующие и-линейные формы, которые предполагаются симметричными, совпадают ПИ,И, ... Ил =ИИ1И2 ...
Ил (Ч прн любых ИР И, ..., Ии~Е~, т. е. а=И. В самом деле, согласно (5) при любых И,,,..., И„ а (г1И1+ г2И2+ . + глИл)л = И(11И1 ) И1312+ ' + г~дл)и откупа дл дг, дгл .., дг„'('131+ " + '" ) =- дл = д, Г дт (~А+ .. +~и~и) и в силу (4) получаем (6). 454 АБАлиз В линейных пРОстРАнстВАх (гл. Тн! 5. Если даны линейный оператор А~(Š— пЕ,) н однородная форма и-й степени ай", И ~Е„, айп ~ Ею то А(ал)п есть также однородная форма и-й степени. В самом деле, ад!Ьг ... Ьп есть симметрическая и-линейная форма.
Так как А (ай,дг ... Ьп) линейно зависит от каждого Ьг~Е, то А(ай!Ья ... Ьп) есть и-линейная форма относительно Ьн Ь, ..., Ьп с областью значений в Е;, эта форма также симметрична. Поэтому А(айп) есть однородная форма и-й степени. 6. Произведение (а„й")(Ь Ьт) однородных форм а„д" и Ьтйт степеней и и т есть однородная форма степени и + т. В самом деле, произведение соответствующих и- и т-линейных форм (а„д!)гг ... Ьп)(Ь ил~!ил о ... Ь„п ) есть (и+т)-линейная форма. Симметризуя ее, получим симметрическую (и+ т)-линейную форму спттй!Ьг ' ' Ьлпт =Е На~В!до ' ' ' Ьл) (Ьт)гпп!Ьп+г ' ' ' Ьлпт))' е=!е' (Ь)тт ' ЬгИ 'сЕ г=о у =Р„(Ь) = ~'., аеде~Е„, А=Π— многочлены степени и и соответственно т относительно Ь и определено произведение двух любых элементов из Е„ и Е,.
то уг = Р„(Ь) д (Ь) есть многочлен степени не выше и+ т относительно Ь. Положив затем Ь!=Ьгтт ... =Ьп, =Ь, мы придем к однородной форме (и+ т)-й степени спп Ь которая в силу (2) будет равна (алйл)(Ь Ь ). Миогочлеиы. Введем теперь следующее определение: Сумма однородных форм л ~~'„, аейе, е=о где Ь~Е а„чьб, а все аейа — элементы одного и того же пространства Е„, называется многочленом и-й степени относительно и. Приведем несколько простейших свойств многочленов. 1.
Если ОДНОРОДНЫВ ФОРМЫ И МНОГОЧЛЕНЫ Действительно, вследствие дистрибутивности умножения и у т о т у з = ~ Х а„й" ~ ~ ~ й! й!) =,з, и; (а,й') (й!й!) о=о, г=о о=о с=о каждое слагаемое (алйл)(йгй!) в силу шестого свойства форм есть форма степени й+1(п+т. Итак, все произведение уз есть многочлен степени не выше (а+ т) относительно й, что и требовалось доказать. 2. Пусть Р„(й) — многочлен а-й степени относительно й и ф„(й) — многочлен т-й степени относительно а. Тогда при й=(!н(з') Р„(й) = Р„йж (з")1 есть многочлен степени не вы!пе лт относительно Р'. Докажем это предложение методом индукции по а. Пусть а=1, т. е. Р, (й) = а,й+ ао, где а,— линейный относительно й оператор.
Если Я (й)=Хй!й'. то в силу пятого свойства форм а,й+ ао = аЯ (д)+ ао = Х а!йгдг+ ао г=о есть многочлен степени не превосходящей т относительно й'. Предложение для а = 1 доказано. Пусть предложение доказано для всех многочленов Ро(й) степеней й ( а — 1 относительно й. Рассмотрим Р„(й) = ~ч.", аойз о=о — многочлен и-й степени относительно й. Имеем Р„ (й) = Р„ ,(й) + а й = Р„ , (й) + (а„й" г)й, где Р, ,(й) — многочлен степени и — 1 относительно й. Если й=Я (а), 456 АНАЛИЗ В ЛИНЕИНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. УН1 то в силу предположения где Й( -Ит(К) и Й( П, (к) — многочлены степени, не превосходящей (и — 1)лг относительно )1. Отсюда л ()Г) = )1(л-1) т (Е) + Е(е-1) т (Е) (~т Ю' По свойству ! произведение двух многочленов Й;, 1 (А')Я (д) степеней не выше (и — 1)ш и т относительно е' есть многочлен Й, (я) степени не выше алг отно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
