Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 57
Текст из файла (страница 57)
е. постоянный мноягитель можно выносить за знак дифференцирования. Свойства 1) и 2) очевидны. Свойство 3) следует из непрерывности и дистрибутнзпостн операции умножения слева. а именно: — [ух(Е)[= 1нп У (+' 1 йЕ АЕ е АЕ = 11ш у к (Е + АЕ) — х (Е) . к (Е + АЕ) — х (Е) ггк (Е) =у 1нп =у Л1-+О ЬЕ Аг-~О гЕЕ Аналогично [х (Е) у [' = х' Я у.
(б) диФФгввнциговлнис и интеггицовлние 409 э и П р и м ер. Пусть из (Е, -+ Е„). Тогда х=х()), х~Е, и А есть оператор (6) (Ах ())]' = Ах' (Г). Л = А (Г) ~ (Еь -> Е,) в х ~ Ех. (Л (1) х! ' = Л' (О х. Пусть Тогда (7) В частности, лля линейного фупкцнонала (У (х П)]] ' = У (х' П)], (У()) х]' = 7"'(Г) х. (8) (9) Производные высших порядков. Перейдем теперь к определеншо производных высших порядков. Можно дать лва определения и-й производной х'")(() в точке 1 от функции х == х (г) аналогично тому, как это делается для числовой функции числового аргумента ь).
1. Пусть Лл)х (Г) = ~~'„( — 1)ь С„х ((+ )) Л1), )с=0 гле С, — биномнальные коэффициенты. Лл)х (г) есть и-я разность от х(1) в точке Е Соответственно называют п-й центрнрованной) разностью. Выражение хт)(Г)= 1)ш ь бл)х(Г) т->о (э)) (1О) *) См. Дополнение!Ч. в предположении, что этот предел существует, называется и-й разностной производной функции х(г) в точке П Если предельный переход в формуле (1О) равномерен в окрестности каждой рассматриваемой точки П то х(") (г) назывзется п-й равномерной разнос)иной производной. Ро и-я послеловательная проиэволнзя хоа (1)э определяется и-кратным последовательным дифференцированием 410 АнАлиз В линейных пРостРАнстВАх 1гл.
Рн! функции х(г)! х'(г)ь= — ", х(!), х" (г)е= — „", х'(г)е х<"' (!)» = — х<е->>(Г)е, Тео рема 1. Если в окрестности точки ь' существует непрерывная и-я последовательная производная х<">(г)е, то в этой окрестности существует и п-я равномерная разностная производная х<е>(г), причем х<"> (!) = х<'> (г)е. Обратно, если в окрестности точки г существует равномерно непрерывная равномерная разностная производная х<">(!), то в этой окрестности существует и равна ей последовательная производная х<">(!)а. Эти предложения справедливы и для числовых функций* ).
Переход к абстрактным функциям совершается с помощью часто применяемого в функциональном анализе метода, Проведем этот переход для первого предложения. Для любого линейного функционала у ~ Е" <р(г) =у [х(г)[ есть числовая функция, причем в силу (8) у [х' (г) [ = [у' [х (г) [[' = <р' (г), у [х" (Ч = [у [к'(г) []'=%" (г) г'[х< >(г),[= р< >(г) Лалее ,у ~ — е бь<х (Г)~ = = — „'„„~ь ( — 1)"-'с„'р (в+ (й — ",„) лг) ь е — (г)= ">(в+8 уьг)= у У'с+8 узы') "1 См. Дополнение ЬЧ. зп ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 411 где — 2 <о < —.
Так как хоо(1)о по предположению пел и прерызна в окрестности точки Т, то !/хкв(Г+ОЛГ),— хсю(ГЦ~<е н где едс-ьО при М-+О равномерно в окрестности точки Е Отсюда )У'[ А „Ьдсх(Г)1 —.с с1хнв(Г)о]~ <едс ((Д. (11) Неравенство (11) справедливо для любого у ~Е*; поэтому ! — '':"(' -"'"' 'Ф" и, следовательно, хоз (У)о — — 1цп — д Ьдсх ( Г), дс.+о (дфд причем стремление к пределу — равномерное в окрестности каждой рассматриваемой точки Е что и требовалось доказать.
Частные производные. Введем понятие частных производных абстрактной функции. Рассмотрим функцию от и числовых переменных со значениями, расположенными в линейном нормированном пространстве Е: х = х (ГР 8я, .... С„)Е Е. Можно рассматривать Гс, Гя, ..., Г„ как компоненты и-мери ного вектоРа С = ~~'.~ Гсес. где е, — оРты, т. е. и-меРные с=! единичные попарно ортогональные векторы. Определим п-ю смешанную разностную производную д" дгс дгс "° дго рассматриваемой функции в точке Г = ~с Гсес. с=с Образуем а-ю смешанную разность ссс ..., с„; шх (7о) = ( — 1)" ах [Со+Ы(ес,+ ес,+ ... +ес„)11 412 Анализ в линейных пРостеянствах 1гл, чп! здесь (С, С, ..., С„), О (г! (Са( ...
( С»~(и — некоторое подмножество из 1, 2... „и и сумма берется по всем таким подмножествам. Центрированнаи и-и смешаннон разность в точке С„ бг!. 'г " 'л! ЫХ(СО) есть и-я смешанная разность. взятая в точке л 1 'о='е — — ПС У,ео 2 Именно Тогда и-й смешанной разностной производной дл де! дгг "° дгл функции х(С) в точке Се=(С!.
Сг...., С„) называется предел при с»С-+О отношения 1 — „„б.о.„, „к(С,), если этот предел существует. Наряду с этим мои!но определить и-ю смешанную последовательную производную — Результат последовательного дифференцирования функции х(СП Са, ..., Сл) по С», по С»,, ... и, наконец, по С», где йн й,, ..., йл — произвольная перестановка индексов 1, 2, ..., и в предположении, что последовательно полученные производные д д ~ д дг» !' ' ' ' ' " ' дг» ! д㻠— (Сн С,, ..., Сл), — ! — Л(Сг, С,...., С„)), ...
л л ! л дс ~ гс ~... дс .ч(Сг, Са, °... Сл) ' ' '~~ л сугцествуют в окрестности точки С!. д!!Фесон!цнРОВА!!иь и интетни!'Оилнне 413 Теорема 2. Если в окрестносн!и точки 7о со о о =-'!1! тш ° ° ° ео) сУЩествУет какаЯ-либо смешаннаа последовател»пик и-я произеоднан а)ункйаи х!»), непрерывная в Уо, то в этой точке существует и и-я сл!ешаннан разностная производная, причем обе произ.
водные совпадают. Пусть у — прш!звольный линейный функционал из Б". Тогда Р<ти !....", т.) =ахи!, ва ", ».Н есчь числовая функция от 1», та, ..., с„! позтому») 1 и го о — айги г,...„с„; лг<рФ ° ° ° то) = д ( д,( о+ о+ зс) О < О! ( 1, ! = 1, 2, ..., и, для произвольной перестановки й!, йа ..., и„ индексов 1, 2, ..., и. Следовательно, ! о й!' !,..., !»! л!х!с!!, .
»,~)(= — о !!, г, ..., !: ви !» !с! ° ° ° то) = 1д!)о и !' ''' »' д ( д о = — ( ... — Р1'С,+О,М, ..., С„-+Ооя)...)= =у'( — "( ... — х!',С!+О!Лв, . )... ) 1,' о!» ( ' ' ' д!» ' ' ' ' ' ' ' ( так как линейный функционал у можно выносить за знак дифференцирования. По предположению, рассматриваемая и-я смешанная последовательная производная от х!с) непрерывна в точке То, поэтому — —,я-~в, и..... С.ье,и!... (— ! — ', дс» ( ' ' ' д!» —,1 .!е.... с! ( «., ! » ~) См. Дополнение 1Ч. 4!4 АНАЛИЗ В ЛИНЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ.
УП[ где ед, -» О при Ьг-» О. Следовательно, ) 1 л — 1 У1[АС)л ОГР СЫ ..., сл; т Х [ТЕ)(— — у — „' ." — „' А)... — у[д, (... ~ [е, .... О ... !))< <и[(+!".—,' .[с+я ..... с-~о.ле...)— — — „' ! "~~ [с" ю ")(<)~л., Это неравенство справедтиво при любоы у ~Е'. Значит, !— 1 д [ д )(*,) Ьо о... , '(О л [' е[ Л) ))< откуда следует, что 1 д д ~ л 6,, „,, А,к[ГЕ)» — ... — к[ГЕ)... при Ы-» О, и иы доказали существование предела выражения 1 л [Аг) бгн гн ..., г„; т х [ге) и его равенство и-й последовательной смешанной производной. С лед от в и е. Две и-е смешанные последовательные производные, соответствующие различным перестановкам индексов 1, 2, ..., и, в общих точках непрерывности совпадают.
Коротко: и-я смешанная последовательная производная не зависит от порядка дифференцирования. 5!1 днФФегенциРОВАние и интегпиговлнив 41$ В самом деле, в этом случае имеет место равенство д 1 д 1 и — 1[ш — Ь| ~ г д~ х [1н ..,, 1„), д~.+з [дг)" правая часть которого ие зависит от перестановки йн ля, ..., /г„.
В дальнейшем, говоря об и-й смешанной производной, определенной в некоторой области, мы без оговорок будем предполагать, что она непрерывна в втой области и потому оба определения для нее совпадают, и будем обозначать эту производную символом д" дг дг2, дг Интегрирование. Выше в спектральной теории мы рассматрнвалн абстрактные интегралы типа Стильтьеса. Однако там интегрируемая функция была обычной вещественной или комплексной функцией вещественной переменной, а интегрирующая функция — абстрактной. Сейчас мы рассмотрим интегрирование, где, наоборот, интегрируемая функция является абстрактной, а интегрирование ведется по вещественной переменной.
Как и в спектральной теории, мы ограничимся случаем римановых интегралов от непрерывных функций. Пусть к=ха), а (Ю (Ь, х~Ю вЂ” абстрактная функция. Будем рассматривать всевозможные разбиения 4=[1о гн ° ° ° 1] отрезка [а, Ь] на отрезки [гн г,+,], где Сэ = и ( У1 ( сз ( ° ( У, = Ь. Разбиение В=[аз, гн ..., з ] называется измельчением разбиения А = [1з, 1Н ..., 1„], если каждый из отрезков [зю гл+,] есть часть одного из отрезков [8н У,+,]. При разбиении В каждый из отРезков [Сн 1,+,] РазбиениЯ А подвеР- гается в свою очередь разбиению на отрезки [зю з„+г] раз биения В. Если все отрезки [сн Р,+,] разбиения А имеют длины, не превосходящие положительного числа Ь, — 1, (Ь, то разбиение А будем называть Ь-разбиейиам отрезка [а.
Ь] и обозначать Ад. 416 АНАЛИЗ В ЛИНВЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. ЧН! (12) Рассмотрим функцию х(1), С~ [а, Ь), х ~ Е, где Е— полное пространство, и последовательность Ьл-разбиений [Аь 1 Л1 отрезка [а, Ь) таких, что Ьл — «О при н — «со. Построим интегральные суммы 8[Аь, х(С)). Если при и-«ОО эти суммы стремятся к пределу Я 1[в[8(Аь, х(С)), причем предел 8 не зависит от выбора системы разбиений Аь, л то этот предел называется интегралом Римана от функь ции х(С) по отрезку [а, Ь[ и обозначается ~ х(С)с[г.
Теорема 3. Если х(г) нелрермвна на отрезке [а, Ь], ь лго интеграл Римана ) х(С)М существует. л Доказательство этой теоремы основывается на следуюгцих двух леммах. Лемма 2. Если разбиение В отрезка [а, Ь) есть измельчение его Ь-разбиения А=Аз. то [[8(А, х(1)) Я(В, х(С)) [[ <ы(Ь)(Ь вЂ” а), (13) где ы(Ь) = знр [[ х (т,) — х (тг) [[. (14) [птн[кь Если точка С принадлежит отрезку [Со С[+1[ Ь-разбиения А, то '[с — с,[ <[с[„— с[ [ <Ь. Поэтому в силу (14) [[ х (С) — х (С1) [[ < [Ь (Ь).
(! 5) Пусть я — число отрезков [со с[ 1[ 'разбиения А и т— число отрезков [з~.[з.„,[ разбие[шя В. Так как раабиеиие В Назовем интегральной суммой 8(А. х(С)) абстрактной функции х(С) по разбиению А=[Се, Сн ..., С,[ сумму л-1 8(А, х(с))= ~ х(с1)(с[+1 — г1). г=а $ 11 диееаовнциговлние и интегоиговлнив 417 есть измельчение разбиения А, то ка)кдая нз точек гс, 1=1. 2...., и. совпадает с одной из точек гр г»с=Сс (здесь 0=до(Ь) « ... Ьл= си.
и > и). Таким обРазом. отРезок [гс, г„с[ Раэбиениа А Разбит на Ьс+с — Ьс отРезков [гр г.+с[ РазбиениЯ В, где У = Ьи Ьс + 1...., Ьс+с — 1, Для этих значений у в силу (!5) имеем Ц х(гу) — х(гс) Ц ~(в(6). Поэтому л-1 »сп)-с 8(А, х(Ф))= ~; х(гс)(гс,с — гс)= ~ х(сс) ~~'.! (г~»с — гс), )=о с=о сл»с п ! п-) »с+)-' 8(в. х(с)) =,Е х(гт)(гг„— гс)= Х Х х(гу)(г)+с-г)). у=а с ' с=о у», Ц 8 (А, х И) ) — 8 (В, х (г) ) Ц = [и-с»ы) Ц !! Х л ) ))с "а))п') — )) < !с о с=»с л-1»сьс ( ~~Р~ ~ч.", Ц х (гс) — х (гс) Ц (г +, — гс) <: сло у=», л-)»с«.) <в(6) ~ ~ (г,«,— г,)=в(6)(Ь вЂ” а), (16) со рл» что и требовалось доказать. Лемма 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
