Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Здесь у, (Т) — характеристическая функция интервала ( — со, Л), и интеграл Стильтьеса вырождается в значение подынтеграль- ного выражения в точке единственного скачка интегрирующей функции, $91 ПРИМЕРЫ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 393 Функция Р(А) оператора, соответствующая функции вещественной переменной у ().). очевидно. имеет вид Р (А) х = Р (1) х (1), Оператор дифференцировании. В качестве второго примера неограниченного оператора рассмотрим оператор дифференцирования. В гильбертовом пространстве 1 (а.
Ь), где а и Р— конечные числа или равны бесконечности, введем оператор А =1 —. Ж ' Пусть сперва а и Ь конечны, например а .—... О, Ь = 1. Положим, что область определения О(А) рассматриваемого оператора состоит из абсолютно непрерывных функций. имеющих суммнруемую с квадратом производную и удовлетворяющих граничным условиям х (0) = х (1) = О. Тогда интегрнрованиеи по частям легко убеждаемся, что (АХ. у)= Г 1 — „т у(1)Г1г= Г Х(Ф) ~1 — „~Г11=(Х, Лу) /'.
их(г) — Р Т иу(Г)1 о о для любых х, у ~ О (Л), т. е. что А — симметрический оператор. Пусть теперь а = О, Р = ОО. К с)(А) отнесем функции х(т), суммируемые с квадратом на [О, со), имеющие на Лх О) этом интервале суммируемую с квадратом производную— лт и удовлетворяющие граничному условию х(0) =О.
Покажем, что в рассматриваемом случае также х(ОО) О. Так как х (т) и — суммируемы с квадратом, то х (г)— Нх (т) лх (г) Ж от суммируема на (О, сО), и мы можем написать 1х (1) 19 = ~ х (О) (9+ / х (т) „( ) гй+ ~ х (т) — () т1т. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ 1гл. чп При 1-+со правая часть этого равенства стремится к конечному пределу; следовательно, существует 1нп (х(Е)) с. со.
г.+ сл В силу суммируемости 1х(~)1т на [О, со) этот предел может быть лишь нулем. Итак, во втором случае имеем х(О) = х(со) =О. (2) Из формулы л л 1 — "',(') у~~)Н=1х(л)у( )-+ / х(1) (1 "У„(') ) И о о прн л -ь со получаем в пределе (Ах, у) =(х, Ау), т. е. н во втором случае А — симметрический оператор. В третьем случае, когда а= — — со и 6=со к с)(А) отнесем все функции, суммируемые на ( — сО, сО) с квадратом и имеющие на этом интервале сучмируемые с квадратом пронзводныс.
Как и выше, убеждаемся, что из этих предположений вытекает, что х ( — ОО) = х (со) = О, и снова А будет симметрическим оператором. Необходимо показать еще, что О(А) всюду плотно в 1. (а, Ь). Пусть (а, р) — интервал, совпадающий с (О, 1) в случае конечного интервала, равный (О, 1з), где 1г — любое конечное число во втором случае и любой конечный интервал в третьем случае. Если у (1) — функция из Ц(а. б), ортогональная к А)(А). то, выбрав в качестве х(~) любую функцию из й(А) в первом случае н любую функцию из 1) (А), равную нулю вне (а, р), в двух других случаях, будем иметь а О = (х, у) = / х (1) у (~) Л = — г — „1' (1) Ф, — лх (Г) л а где У(1) — первообразная для у(1).
Так как в качестве х(1) можно взять любую функцию, непрерывную на (а, й) и обращающуюся в нуль на концах этого интервала, то $9« пгнмегы нвогвлничвнных опввлтогов 395 из известной леммы вариационного исчисления, примененной к непрерывной функции У(Е), следует, что г (Е)=сова( и, следовательно, у (Е) = — («на интервале (а, р), а значит, и всюду на (а, Ь). Следовательно, А =Š— — во всех трех случаяк (Г ле имметрический оператор. Найдем сопряженный оператор А'. Пусть у Е0(А*). Тогда для любого хц0(А) ь ь (Ах, у) = / Š— „Е у (Е) ЕЕЕ = / х (Е) у (Е) ЕЕЕ = (х, у*).
е Ю Выберем в качестве х(Е) любую функци1о из 0(А), обращающуюся в нуль вне интервала (а, р). Предыдущее равенство дает в з ~ Е „ ( ) у (Е) ЕЕЕ = ~ х (Е) у" (Е) аЕ. Интегрируя правую часть равенства по частям, будем иметь ь з ~ Š—,' у(Е) ЕЕ= ~ —," )" (~)ЕЕ, (4) ч а где «" (Е)= ~ у'(т)с(т — первообразная для у'(Е). Равено ство (4) преобразуем к виду а ~ — "„(" (Еу (Е) — У*(Е)«гЕЕ = О.
а Отсюда снова следует, что на (а, («), а значит, и всюду на (а, Ь) Еу (Е) — У' (Е) = соней (5) т. е. у(Е) есть суммнруемая с квадратом на (а, Ь) функция, имеющая на этом интервале суммируемую с квадратом производную. Из (5) получаем у'(Е)= — „е (У'(Е))=Е СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ИГЛ. ЧИ т. е. А у=(в лу лг для любого у ~ В(А*). Обратно, если у(г) — функция с указанными выше свойствами, то, интегрируя по частям, будем иметь в ~ т — "„(') у(г) ж= ~ х(г) (т "'„~"') м =~ хну (г) аг, и, переходя во втором и третьем случаях к пределу прн Р -ь ОО или а-+ — со, Р-ьсо, получаем.
что (Ах, у) =(х, у*), т. е. что уцВ(А'). Итак. В(А*) состоит из функций. суммируемых с квадратом на (а, Ь) и имеющих на этом интервале суммируемую с квадратом производную. Вспоминая определение В (А), мы видим. что в первом и втором случаях В (А') шире, чеи В(А), а в третьем случае В(А') = В(А). Следовательно, в третьем случае А †само- сопряженный (или гипермаксимальный) оператор. Покажем, что в первом и втором случаях А — замкнутый оператор, для чего докажем.
что А = А . Так как А"'г=А'. то А" есть снова оператор дифференцирования на области В(А'*) своего определения. Пусть х (г) ~В(А*'). Для любой функции у(г)~В(А*) в первом случае и любой функции из В (А"). обращающейся в нуль вне (и, р), во втором интегрированием по частям получаем з (А**х, у) = / Ф вЂ” „у(Е) г)г = а в =(х(р)у(р) — х(ц)у(п)18+ ~ х(г) ~т ~„) г(г.
а С другой стороны, (А**х, у)=(х, А"у)= / х(Г) ~Г у() )т(Г. а Ф 9! ПРИЛ1ЕРЫ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 397 Из сравнения этих выражений вилнм, что х (р) у (р) — х (а) у (а) = О, откупа в первом случае х(1) у(!) — х(0)у(0)=0 н во второлз в прелеле при Д -ь ОО х (0) у (0) = О.
Так как у(0) и у(!) могут быть выбраны произвольно, то послелние равенства возможны, лишь если х (0) = х (1) = О. Но тогда х(!)~0л, и мы доказали, что 0(Л"')1=0(Л). Следовательно, 0(А) = 0(Л'*). Определим индексы дефекта оператора Л. Уравнение А*х=)х в нашем случае принимает вид . л'х г — „=(х Н имеет единственное с точностью до линейной зависимости решение х (г) = се', Аналогично, уравнение А*х = — !х имеет единственное решение х (!) = се-'. В случае конечного интервала оба решения приналлежат пространству ьа(а, Р), слеловательно.
оба подпространства, А(, и Аг Р одномерны и оператор имеет индексы дефекта (1, 1), Во втоРом слУчае пРостРанствУ ет(0. ОО) пРинадлежит лишь решение второго уравнения се ', подпространство Аг, состоит лишь из нулевого элемента и оператор А имеет инлексы дефекта (О, !). Следовательно, во втором случае оператор А — максимальный и не имеет самосопряженных расширешзй, Построим в первом случае все самосопряженные расширения оператора А.
Полпространства А1; и АГ ! порождаются элементами е' и е- ' соответственно. спектРАльнАя ТЕОРия ОпеРАТОРОЕ (ГЛ. Ч!! Так как 1 1 ()е1~~ = еьч!гг = ~!!— 2 а 1 ! 1 )(е-!() =( / е-1111! = — 1Г! 1 Ге! — 1 е г' о то элементы е' и е'-' имеют одинаковые нормы. Поставим в соответствие элементу е' элемент е"е'-'. где т — произвольное вещественное число.
Для каждого т на линейном многообразии с)1, состоящем нз функций вида у(!) — х(!)+ се + се!те1-! (6) где х (!) ~ !) (А), определяется оператор А, посредством равенства А,у = Ах+ Гсе! — 1се'"е'-'. Это и будет самосопряженное расширение оператора А. Область определения О„этого оператора можно вадать с помощью граничных условий. В самом деле, если функ. ция у(!) представима в виде (6), то у (О) = с + се' е 1! = с (! + е! ! 1!), у(1) = се+ се" = с(е" + е). Отсюда 2 (0) 1+ в!+!! у (1) е" + е Так как преобразование 1+ ва переводит единичный круг комплексной плоскости в себя, то мы можем написать Ф з1 ПРИМЕРЫ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ Зйй где о — вещественное число.
Поэтому у (0) = е "у (1). Обратно. если это условие выполнено. то у® имеет 1+ вг+Ы вид (6). В самом деле, пусть у (0) = е "у (1) = „у (1). ет+е Положим и пусть х (г) = у (Г) — с (е'+ е "е'-') Тогда х(0) =у(0) — с(1+в'+") = у (о) = у (0) —, (1+ е'+") = у (0) — у (0) = 0 1+в'~'~ и аналогично убеждаемся, что х(1) =0: Следовательно, у(т) = х(г)+ с(е'+ е"е'-'), где х(г)~1)(А), т, е. имеет вид (6), и требуемое доказано. Итак. область определения 1), самосопряженного расши- рения А, оператора А состоит из тех и только тех функ- ций у(г) пространства Е,(0, 1). которые имеют суммируемую с квадратом на 10. 1) производную н для которых 1-'- в1+~~ у (О) = ваву (1) е~в вы+ в Давая различные значения параметру т. мы получим кон- тинуум различных самосопряженных расширений оператора А. Найдем спектр оператора А,. Собственные функции оператора являются решениями краевой аадачи ех 1 — =).х.
Х вещественно. лг х (0) = е "х (1). Решениями будут функции е '~', которые удовлетворяют условию 1 ег <а-ю откуда и — Х=2ли, 400 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !Гл. ч!! нли Ла — — о — 27!Я. Следовательно, собственными функциями будут ха(!) =е гьа! = е !осе'АЯ'!. Эти собственные функции, очевидно, будут нормированными. Все точки вещественной оси, отличные от Л„, будут регулярными точками оператора А,. В самом деле, общее решение уравнения .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
