Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Пусть Аь и А,— произвольные Ь- и е-раз- биения отрезка [а, Ь[. Тогда Ц 8 (Аь, х («) ) — 8 (Ап, х («) ) Ц ~( (в (6) + в (е) ) (Ь вЂ” а). В самом деле. всегда можно выбрать такое разбиение В отрезка [а, Ь], которое будет одновременно иамельченнем как Аь. так н А,, Поэтому в силу (13) Ц 8 (Асп х (с) ) — 8 (В, х (с) ) Ц С. в (6)с Ь вЂ” а)„ Ц8(А,, х(с)) — 8(В, х(с)) Ц ~(в(е)(Ь вЂ” а), откуда Ц8(Аь, х(г)) — 8(Ап, х(е))Ц «~(в(6)+в(е))(Ь вЂ” а), что и требовалось доказать. 4[й АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ.
ЧП1 Докажем теперь теорему. Рассмотрим последовательность Ь„-разбиений [Аь ) отрезка [а, Ь[, для которых ܄— «О при и-«ОО. Для соответствуюших интегральных сумм 8(Аь, х(г)) й' согласно лемме 2 имеет место неравенство ~!8(Аь, х(У)) — 8(Аь„~, х(Г))[~~((в(бй)+в(бй+р))(Ь вЂ” а), причем правая часть неравенства стремится к нулю при и -«со в силу равномерной непрерывности функнни х(1).
Таким образом, последовательность [8(Ад . х(г))) сходится в себе. Но так как 5(Ад, х(г))~Б и Š— полное пространство. то эта последовательность имеет в Е предельный элемент Я. Пусть теперь дана другая последовательность е„-разбие- ний [Ае ) отрезка [а, Ь[, е„ вЂ «О. В силу предыдушего [5(Ае, х(1))[ при п-«со сходится к некоторому предель- ному элементу Яе. Докажем, что 8е=5.
В самом деле, объединим обе последовательности раз- биений в последовательность Адй А,, Адг А„.... Соответ- ствующие этой последовательности интегральные суммы 8(Адр х([)), 5(Аей х(г)), образуют сходяшуюся последовательность, и ее предел Яд«, ра- вен пределам 5 и Яе подпоследовательностей [5(Ад, х(г))) и (5(А, .
х(г))). Следовательно, О =Ое=ОЬ+е и теорема доказана. Назовем 8 интегралом от х(г) по [а, Ь[ и обозначим ь ~ х([)Ф. й Свойства операции интегрирования. ь ь ь / [х (Г) + у (г)[ [11 = ~ х (г) [[г + [ у (Г) [11. й й й 2. Если с — любая точка между а и Ь, то ь е ь ~ х (г) [[с = ~ х (с) [[г + ~ х ([) [[с. $11 диеевьннцивовднин и интягвивовлнив 419 3. Для постоянного числового множителя Х ~ Лх «) 111 = ). ~ х (Г) а. л л Свойства интеграла 1 — 3 очевидны. ь ь 4. ) [*ЮЛ~ Л11 Лва. ЛП л л В самом деле, для разбиения Аз=[Ге, Гн ..., Гл[ имеем [л-1 [[Я(Агл х(г)Ц= ~ ~~'„', х(11)(гь+1 — г1) ~( л-1 ( ~ [[х«,)[[(г,+1 — г,)=з(Аы [[х(гц).
(18) При Ь -+ 0 интегральные суммы стремятся соответственно к интегралам ь ь и неравенство (18) переходит в (17). 5. Если для элементов х Е Е определена операция умножения справа (или слева) на элементы у ~ Е„ (см. стр. 408), то ь ь ~ х «) у с1Г = ~ х «) нг' у (19) (постоянный множитель у выносится эа знак интеграла).
В самом деле, для Ь-разбиения Аз=[се, Гн ..., Гл[ имеем л-1 Я(Аь, х«)у)= ~~'., х(Г1)у(Г1+1 — 11)= 1=О /л-1 = ~ ч'„', х(Г1)(11+1 — Г1) у=5(Агл х(Г))у. (20) 1=О При ЬьО левая и правая части равенства (20) стремятся соответственно к левой и правой частям равенства (19). $ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 421 Но с [х(с)[ есть непрерывная числовая функция от г, поэтому для нее ~ ~, Пх(1)[ и= у[х(Ь)] — У[х(л)[. а Итак. с([ ссср)=с~ ссв — с~ с.сс с,а (24) у(Г) = ~ х(т)сст. а где у(1) есть некоторая абстрактная функция г.
7. Интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной абстрактной функции х(с) есть дифференцируемая абстрактная функция верхнего предела и с ~ х(т)сст = х(г), а Очевидно, имеем с+ ас у (г + ссГ) — у (г) = ~ х (т) с(т с х (1) = — 1 х (с) ест. 1 с' ат,/ Отсюда с+ ас у сс.. (г+аг) — у (1) 1 Р да — х(г) = й [ [х(т) — х (Г)[ ест. Равенство (24) справедливо для любого линейного функционала 7 ~Е*. Но тогда справедливо и равенство (23), что и требовалось доказать. Рассмотрим. наконец, интегралы с переменным верхним пределом, Пусть х(с) непрерывна на [а. Ь[ и а (1(Ь, Тогда существует 422 АнАлиз В линвиных НРостРАнствлх 1гл.
Унг Пусть задано произвольное е) О. Найдется такое б) О, что ]]х(11) — х(~,)]](е при ]Е1 — 1з](б. Но тогда, если ]Ы](б, имеем С+ АС ]""с",, "'" — ссс]<+ / 1 сс — ссс (< с+ш 1 (е — ] с7т =е. ]Аг] ./ Последнее неравенство означает, что (с) В У(с ] ос) Убй АС.+О сушествует и что у' (С) = х (1). Решение дифференциальных уравнений. Рассмотрим дифференциальное уравнение — = 7" (~, х), где х и у(Ю, х) — элементы полного нормированного пространства Е и ~ ~ [а. Ь].
Будем предполагать, что у (г, х) непрерывна по с и как функцив х удовлетворяет условию Липшица: ]]У (С, х,) — 7(1, «,)]]~(7.]]хс — х,]]. (26) Обозначим через Си[а, Ь[ пространство всех непрерывных функций х(г), где 1~ [а, Ь], а х(г)~Е. Введем в пространстве Си[а, Ь] норму, полагая ]]х]]с —— шах]] х(с)]]. с Вместе с Е и Си[а, Ь] есть полное пространство. Это предложение доказывается совершенно так же, как оно доказывалось для частного случая, когда Е=ст и Си[а, Ь]= =С[0, 1]. Рассмотрим наряду с уравнением (25) уравнение с Х(с)=ХЕ+ / У(т.
Х(т))С(т (а ~(ао~(С.4аз+б~(Ь), (27) С4 РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ И ТЕОРЕМА ЛАКСА 423 $21 Обозначим правую часть этого уравнения через А,(х). А,(х) есть оператор, переводящий х = х(г) из С [га, го+ Ь[ в некоторый новый элемент того же пространства. Имеем [[ А2 [х (Ф)[ — А, [у (Г)[ [[ = ~ [7 (т, х (т) ) — 7 (т, у (т) )[ 2(т и П+6 < ~ [[ Г' (т, х (т) ) — г" (т, у (т) ) [[ г(т. Отсюда в силу (26) Пса [[А(х) — А(у)[[с <Ь ~ [[х(т) — у(т)[[с2т < < ьб щах [[ х (Г) — У (Г) [[ = ЬЬ [[ х — у [[ .. (28) Если И< 1, то согласно (28) оператор А дает сжатое отображение пространства Се [Гз, Ге+6[ в себя и, следовательно, существует, и притом единственное, решение уравнения (27) (см.
э" 7). Уравнение (27) равносильно уравнению (25) при начальном значении х (Го) = хо. Следовательно, уравнение (25) имеет единственное решение на отрезке [Гщ Го+ Ь[ такое, что х (Ге) = хо. В частности, при любом начальном значении х (а) = хз это уравнение имеет единственное решение х(Г) на отрезке [а, а+6[. Это решение можно продолжить на весь отрезок [а, Ь[. В самом деле, если а+-Ь<Ь и х(а+Ь)=хи то, повторяя тот же процесс, построим решение на отрезке [а+Ь, а+2Ь[ с начальным значением х, и т. д. Прям еры.
1. Если Е есть л-мерное линейное пространство, то получаем обычную теорему существования для системы из л дифференциальных уравнений. 2. Если Š— одно из пространств Гр, с щ и т. д., то получим доказательство существования решения соответствующих классов бесконечных систем дифференциальных уравнений. 9 2. Разностные схемы и теорема Лаков Решая приближенно краевые задачи математической физики методом конечных разностей, мы сталкиваемся с тем обстоятельством, что в некоторых случаях сходимость процесса не имеет места при произвольном стремлении к нулю 424 АИАлиз В линейных НРостРАнствхх !Гл. ши разностей независимых переменных.
Кроме того, при решении разностной краевой задачи в процессе последовательных вычислений значений неизвестной функции в уалах решетки может происходить настолько большое накопление погрешностей, что делается невозможным приближенно . заменять решением разностного уравнения решение дифференциального уравнения. Так, заменяя при решении задачи Коши волновое уравнение дссс дон дгс дхс разности ым и-= ах-, СС .РН где а;, и и„- — вторые симметрические разности по соответствующим переменным, мы будем иметь сходимость, лишь если опшшенне разностей независимых переменных — не дт Дх превосходит единицы.
Точно так же, заменяя краевую задачу теплопроводности ди дои дг дх! ' и (х, 0) = ф (х), О ~( х ~(1. и (О, !)=и(1, т) =0 разностной схемой и+! и о и о ~ и и,„— и,„и,,т! — 2и,„+ и„, ДС (Дх)с с' ш = 1, 2,;... М,'(- ио — -ф(лс Ах), ио = "м 0 ( ); где и"=п(1ссьх, ЛД!), н последовательно определяя и"е! о 2дх через и", мы будем получать при — ) 1 такое накоплесо (Дх)' ние ошибок, которое делает невозможнйм применение укаванной схемЫ.
Было установлено, что эти два явления тесно связаны между собой. Мы изложим ниже для простейшего случая результаты Лакса [281 в атом направлении. % т1 рлзностные схимы и творимл ллксл 423 !!усть х = х (Г), 0 ~ ~ ( Т. — абстрактная функция со значениями в банаховом пространстве Е и А — линейный оператор. действующий в атом пространстве со всюду плотной областью определения Е)(А). Оператор А может быть и неограниченным. Пусть, далее. хр — фиксированный элемент пространства Е.
Будем рассматривать задачу — = Ах, О «( Г «( Т, (1) х (0) = хр. (2) Решением этой задачи мы будем считать абстрактную функцию х(Г) такую, что !) х(Г)~с)(А) при всех 1~ [0. Т), 2) разностное отношение х (г+ 6) х 00 л прн й -ь 0 сходится к х'(г) равномерно на всем отрезке [О. Т[, 3) х(г) удовлетворяет уравнению (1) и начальному условию (2).
Пусть для некоторых хр существует и единственно решение задачи (1) — (2). Нетрудно проверить, что множество В ()т) таких хр есть линейное многообразие. Для каждого Г элементу хр ~ О (Й) однозначно соответствует элемент х (Г). удовлетворяющий условиям 1) — 3). и мы приходим к опера. тору гср(г), определяемому равенством х (Г) — йр(Г) хр, Йр(0) хр хр (О «( Г «( Т), который дает решение рассматриваемой задачи. В силу линейности оператора А оператор )ср(Г) для всех С также линейный.
Предположим, кроме того. что Ар(Г)х-ьх прн Г-ьО, к~й()т). Будем говорить, что задача поставлена корректно. если О(Й) всюду плотно в Е и семейство операторов )гр(Г) равномерно относительно Г ограничсно на О()с). Ясно, что это определение корректности совпадает с обычным определением.
которое дается в математической физике. При сделанных предположениях оператор гср(Г) при каждом .Г можно продолжить по непрерывности до линейного оператора Й(Г). определенного на всем пространстве Е. Абстрактную функцию х (Г) = Е (Г) х мы будем называть 426 АнАлиз В линепных пРостРАнствлх 1гл, ши обобщенным решением вадачи (1) — (2), определяемым начальным аначением хеЕП(гс). Заметим, что семейство операторов Я(1) также является равномерно ограниченным на отрезке [О, Т[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
