Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 56
Текст из файла (страница 56)
сгх !' — — Лх= у с!г имеет внд и надо лишь показать возмовгность выбора постоянной с так, чтобы выполнялось условие х(0)=е"х(1). Это приводит к уравнению (11) которое, очевидно, разрешимо, если е'! -А!Ф 1 (т. е. если Л Ф Ла). Таким образом, оператор А, имеет чисто точечный спектр СО СО СО х Г!1Е!х ~ ЕА х е — го! ~~ с ешо!! (8) и СО ОО -СО О со СО СО А,х =- ~ Л т)ЕАх=е-"' ~~~~~ Л„с„е'Яо".
(9) где с,= — (х, х„). Функции оператора А, имеют внд Е(А,) х=е-'о! Ъ". Е(Л )с еоеи!!. ОО- О В частности. для резольвенты йь имеем разложение СО )1!х е со! ъ ° атлас! чч с а'а 'е — 2лн — Л ам пвимевы неогплничснных опевлтовов 401 При о=О формула (8) дает разложение функции с суммируемым квадратом в обычный ряд Фурье. Вернемся к случаю бесконечного интервала ( — со, со) и снова РассмотРим в 1.з( — оо, со) самосопРЯженный опеРатор А=( —.
а чт ' Мы покажем, что этот оператор унитарно эквивалентен оператору умножения на независимое переменное в пространстве ст( — со, со). При этом под унитарной эквивалентностью неограниченных операторов А и В мы понимаем следующее: существует унитарный оператор У такой, что УО(Л) = О(В) (а следовательно, О(А) = — У О(В)) и УАУ 'х = Вх для любого х Е О (В). Для установления унитарной эквивалентности операторов А = 1 — и В =- г мы воспользуемся следующей извест- Н ной теоремой Планшереля, доказательство которой можно найти, например, в [31].
Пусть х(г) — вещественная или комплексная функция из пространства Ц( — со, оо). Положим у (1, а) = — т х (т) ент ит. 1 )~ 2м Тогда у(г, а) при а-ьсо сходится в среднем на ( — со,оо) к некоторой функции у(С)ЕЛз( — 'со, со), а функция а х (г, а) = = / у (т) е-'" Ит 1 'г' 2и ° сходится в среднем к х (1).
Функции х(г) и у(1) связаны также формулами Ц 1 еит у(1)== — 1 х(т) ат. (1)== — 1 у() . ат. )Г2а ЛГ .~ — тт 402 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. УП Кроме того. !!х(Г)!! = !!у(1)!! Промежуток ( — а, а) в предыдущих формулах можно заменить промежутком ( — а, Ь), где а, Ь-+со независимо друг от друга. Пусть теперь У вЂ” оператор в Ха( — со, со). определяемый равенством аа УХ = = 1 Х (т) Ема Фт, 1 /' )' 2л где интеграл понимается как предел в среднем интегралов по конечным промежуткам.
Оператор У согласно теореме Планшереля осуществляет взаимно однозначное отображение Ц( — оо, со) на себя с сохранением нормы, т. е. является унитарным оператором. Обратный оператор имеет вид У 'х=и*х= — ' Гх(т)е-' гтт. )Г2л Г Пусть х (г) — произвольная функция из 0 (А), т. е. х (Г) Е Ц(-со, оо) и существует — Е Ьа(-со, оо). Тогда" ) ах (г) а[[ у(г) = У» = — 1 х(т)ен'г[т = !.1.[п = 1 х(т)еп'[4т= 1 /' 1 /' 1 а 1 ент ~' 1 /' а[»(т) .~.(,) ! ~,м .,1= а 1 1 = — — 1[ш (х(а) е'аг — «( — а) е-'а[!— )г2л Ы 1 1 / ах(т) — — — 12.ш 1 — е"'ат.
)Г2л и ' ' .Г а[т а) Символом !.[,ш обознача[от предел в среднем. 4 э1 ПРИМЕРЫ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 403 В силу принадлежности х(г) и — пространству Ц( — со, со), ах ат х(а) и х( — а) стремятся к нулю при а-+со и, следовательно, предел первого слагаемого правой части предыдущего равенства есть нуль.
Вместе с — и преобразование ех (1) лг Фурье этой функции принадлежит Е,( — со, со), Поэтому Гу(т) = — = 1 — е '11т= г(1) ~Е ( — со, со). 1 /' Лх(т) Следовательно, у(1) ~ Аз( — со, со), гу(т) ~ Аз( — со, со), т. е. у(г) ~П(В). Пусть, наоборот, х(1) ~0(В). Тогда 1 1 ь ~ )~(Г)(111 <~ ~ г ~а11) ~ ~ )гх(г)~~т(т~ < а а а для любого конечного или бесконечного промежутка, не содержащего точки 1=0, и, следовательно, х(г) абсолютно интегрируема на ( — со, со). Поэтому интеграл СО у(г)=Ц х= — 1 х(т)е-"'а1т 1 =)ГБ | абсолютно сходится. Введем функцию е(г) == / тх(т) е-"'а1т = 1 Р 2а -нт = — — с) тх (т) а1т.
У2н ат — гт Имеем / е (т) 1тт = = ) х (т) (е- "' — 1) ~УТ + с = Г' 2л = 1 (у (1) — у (О)) + с. (12) Отметим. что несобственный интеграл, фигурирующий в втой формуле, сходится абсолютно и равномерно по г на 404 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОЬ <РЛ. 711 всей оси, Из (12) получаем у (Т) = †,. 1 г (т) а<т+ с, (13) о откуда следует, что — существует и принадлежит <<у (В <<т Ц( — со.
со), т. е. у(1) Е0(А). Итак. мы доказали, что Ух ~ 0 (В) для х ~ 0 (А) и У <х ~ 0 (А) для х ~ 0 (В). Пусть х~ 0(В). Имеем в силу (13) 11 — ' х — у (1) — /,г (т) <(т + с, о Следовательно, АУ 'х = 1' — = г (1) = I тх(т) е 1'" А<т = Б 'Вх, <ТТ 1" 2п Отсюда УАУ <х=Вх, и унитарная эквивалентность операторов А и В доказана. Пусть А и  — произвольные унитарно эквивалентные операторы (йАУ 1 = — В. Если Е<Π— со о Х ( со.
есть спектральная функция оператора А, то, очевидно, Ез — — БЕАТА также является разлом<ением единицы. Пусть  — самосопряжеииый оператор, построенный с помощью разложения едииииы Е1. Имеем Вх= ~ ).<(Еьх ==11<в ) ),аЕ(О )х= =и ° ~ <,ии<ь1и-'*=и~о 2,' ии<<и)и-'- ао-ои ао-со =и~ 1" ~ии)и-' =или-' =а . яж ПРимеРы неОГРАниченпых ОпеРАТОРОЕ 405 'Таким образом, есть спектральная функция оператора В, унитарно вквнвалентного оператору А. Отсюда вытекает, в частности, что спектры операторов А и В совпадают. В нашем конкретном примере, когда А = ~ — „, В = 1, мы получаем, что и лг ' оператор А имеет чисто непрерывный спектр, ваполняющий всю вещественную ось. Для функш1й от оператора А получаем представление В (А) х = — В Я) л (г) е"-' г(т ) а-": ~$ = 2л,! = У 'Р (В) Ул; в частности, спектральная функция оператора А может быть представлена в виде Установленная нами выше унитарная зквивалентность оператора дифференцирования оператору умножения на независимое переменное не является какой-то специфической особенностью оператора дифференцирования.
Оказывается. что для любого самосопряженного оператора существует разложение всего пространства на такие попарно ортогональные инвариантные подпространства, на каждом кз которых рассматриваемый оператор унитарно зквивалентен (точнее, изоморфен) оператору умножения иа независимое перемешюе в пространстве функций.
суммируемых с квадратом на интервале ( — ОО, со) с некоторым весом р(а). ГЛАВА Ч!П НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНОГО И ИНТЕГРАЛЪНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ В этой главе мы рассмотрим операции дифференцирования и интегрирования в линейных нормированных пространствах и некоторые их применения. ф 1. Дифференцирование и интегрирование абстрактных функций числового аргумента Пусть Š— линейное нормированное пространство и гс — множество точек числовой прямой. Оператор х=х[г), вообще нелинейный, отображающий Р в Е, будем называть в дальнепшем абстрактной функцией числового аргумента г.
Примеры таких функций часто встречаются в анализе и его приложениях. Достаточно указать некоторые функции числового аргумента в дифференциальной геометрии, однопараметрические совокупности решений дифференциальных уравнений, семейства операторов, например интегральных, зависящих от параметра, и т. д. В дальнейшем для простоты изложения мы будем предполагать, что гс есть отрезок [а, Ь[ числовой прямой. Очевидно, абстрактные функции числового аргумента можно складывать н умножать на вещественные числа, т. е. они образуют линейное пространство. Функция х [г) называется непрерывной в точке отрезка [а, Ь[, если для любого е ) 0 найдется Ь=Ь [ге, е) такое, что [[ [г) — [ге)[[ < а при г ~ [а, Ы и [г — Ге[ < Ь. % и ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 407 Функцию, непрерывную в каждой точке отрезка [а, б[, будем, как обычно, называть непрерывной на этом отрезке.
Очевидно, что операции сложения функций и умножения их на число не выводят за пределы класса непрерывных функций. Функция х(г) называется равномерно непрерывной на [а. б[, если для всякого е > О можно определить число б такое, что при ГР Та~[а, б[ и [г,— 1я! (б [[~(с) — (г)[! <е независимо от положения точек ~, и гя на отрезке [и, б[, Лемма 1. Функция х=к(~), С~[а, б[, х~Е, непрерывная на отрезке [а, б[, равномерно непрерывна на етом отрезке. Рассмотрим числовую функцию Гр(~. т). определенную в квадрате а <1, т(б равенством <р(~, т)= [[х(г) — х(т)[!. Легко видеть, что функция ф (г, т) непрерывна на этом квадрате, а следовательно, и равномерно непрерывна на нем.
Поэтому для каждого е > О найдется б > О такое. что ! ф РР т,) — Ч (гя, тя) [ < е ([) при [С,— Фа! <б, [т1 — та! (б и независимо от положения точек (гг, т,) и (Сы т) в квадрате а (г, т (б. Положим т1 = ~а где [с1 — ~я! <б Учитывая, что Гр(гы га) = [! х (га) — х (гз) [! = О, получаем из (1) [~р (гг, га)! = [[х (г,) — х (га)[! < е при [г, — 1з! ( б, и равномерная непрерывность х(1) доказана. Нетрудно показать, что функция х(Ф), непрерывная иа отрезке [а, Ь[, ограничена на нем (т. е. множество значений функции х(~), С~[а, б[. есть ограниченное множество пространства Е).
408 АБАлиз В линейных пРОстРАнстВАх 1гл. УИ1 Дифференцирование. Рассмотрим функцию х = х (Е), где ЕЕ [», Ь[, хЕЕ. Определим производную х'(Е) с помощью равенства Фх(Е), . к(Е+ЬЕ) — х(Е) если предел в правой части существует в смысле сходнмости в пространстве Е. Имеем '(Е) ( а(Е ЛЕ) АЕ где и(Е. ЛЕ)->О при ЛЕ-ьО. Поэтому х(Е+ЛЕ) — х(Е)= — х'(Е)ЛЕ+а(Е, МуЛЕ. (3) При М вЂ” ьО прззая часть равенства (3) стремится к О, откуда следует, что если х(Е) имеет производную в точке Е, то х(Е) непрерывна в этой точке. Легко установить следующие свойства операции дифференцирования: 1) [ЛЯ+у(Е)['=- ' Я+ у'Я; 2) [Ах(Е)['=Ах'(Е) для любого числового множителя Л; 3) пусть для элементов х ~ Е„определено умножение слева (или справа) на элементы у~Ею непрерывное, дистрибутивное относительно сложения и перестановочное с умножением на числовые множители; тогда [ух (Е)[ = ух' (Е), (4) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
