Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Возьмем операторы В,=(А — 1Е) 1 и В,=(Л+1Е) Это — ограниченные операторы, отображающие взаимно однозначно Н на 0 (А). Отиетим также, что Вг = 77 О В-г = Вп Положим В= 21 (гтг гс г), С=т(ггг+гс г). (10) Ограниченность и самосопряженность операторов В и С, а также выполнения для В и С первого свойства очевидны. Из (10) получаем 71, = С+ 1В, В, = С вЂ” 1В. (1 1) Поэтому (А — 1Е)(С+ 1В) =(А — 1Е) Р, = Е, (А+ 1Е)(С вЂ” 1В) =(А+1Е) В 1 —— Е, или, раскрывая скобки, (АС+ В)+1(А — С) =Е, (АС+ В) — 11,А — С) = Е, откуда, складывая и вычитая, будем иметь АС+ В = Е, АВ = С.
(12) и третье свойство также доказано. Так как В, и В, комм)тируют с А, между собой и с любым ограниченным оператором, перестановочным с Л *). то свойство 4) операторов В и С, очевидно. имеет место. «) Если ЛВ = ВА, то 17гВ = )71В (А — 1Е) 77г = )7г (А — 1Е) ВЦ = ВЙР 5 81 РАЗЛОЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО ОНЕРАтОРА 377 Установим, наконец, свойство 2) операторов В и С. Для хай(А) простым подсчетом получаем я(А — 1Е) х 11а)~)(х ()Я. Положим (А — )Е) х = у. Тогда х = Й;у и ~~)2М <Ы для любого у ~ Н, Следовательно, а й, 1'1 ~< 1. Аналогично ((Й;)) < 1.
Отсюда ~~В1! <1, 11С~~ <1. (13) Далее, умножая обе части первого из равенств (12) на В справа, будем иметь В = Ва+ АСВ = Вт+САВ = ВЯ+ СЯ ) О. (14) Из (13) и (14) следует, что О-<(Вх, х)<(х, х), т. е. 0 <В<Е. Наконец, пусть Вх= О. Тогда также Сх=АВх = О. Отсюда х = Ех = (В+ АС) х = О, и лемма полностью доказана. Интегральное представление оператора.
Пусть А — неограниченный самосопряженный оператор и еРА — спектральная функция ограниченного оператора В, построенного в лемме 2. Так как 0 <(Вх, х)<(х, х), то спектр этого оператора расположен на отрезке [О, 1). Так как, далее, из Вх = 0 следует х = О, то ). = 0 не является собственным значением оператора В и потому й=ь в точке А,=О непрерывна, а следовательно, ОР+о — но= О. Пусть ̈́— подпространства, на которые проектируют 1 11 операторы У(А„), где Л„= ~ +1 — ~ для и - 2 н Л,= ~1 12 ' =1 —, 1+в) (е — любое положительное число). Простран- 378 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !ГЛ. НН ства Н„ попарно ортогональны, и так как ~ В'(би)= )нп Й1+е 8л 1 )=Š— О=Е, л=1 и.+и» '! то ортогональная сумма Нл дает все пространство Н.
Введем ф ункцию ! 1 . ! — при — ( Х ( —, 4(л) = и оператор 1 л ы.е рл(В)= / ггл().)л18и — / ! г!еи = — о" (б„)ч1,(В). Очевидно, имеем 1 л 1 ли1 Поэтому для любого х ~Н, имеем х = 8' (б,) х = Вфл (В) х = Вг Е,О (А), и далее Ах = АВ1р„(В) х = Сгрл(В) х = грл (В) Сх = 3'(А„) 1р, (В) Сх. Из последнего равенства видно, что оператор А на Нл является ограниченным самосопряженным оператором Ал, преобразующим подпространство Нл в себя.
Пусть Е1 1и) спектральная функция оператора А„ ьл Ал= ) Л с1Ел ° ал По лемме 1 существует самосопряженный оператор Ею — Оо ()и (+ со, совпадающий с Е!1л! на каждом Нл. Пусть 2 8) РАЗЛОЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА 379 хи — проекция элемента х на подпространство Ни. Так как то ряд ~~!1'9ЕА"'х)! сходится для любого х~Н, оператор ИО! Еьх = ~~.", Е11"1х (16) ОО1 определен всюду и, следовательно, является ограниченным самосопряженным оператором.
В силу ортогональности подпространств Ни имеем для этого оператора (Е1х, у) = ~~~', (ЕА!"!х„, уи), и ! ~~Е1„Х!)2= .Е !~ЕЛ!Х ~( = Х~(ЕА" Хп. Хл). Из формулы (16) следует. что для Л < 11 ЕлЕлх =- ЕА! Х Ер"~хп) = Х ЕАЕР!"!хп —— ,пО! ОО1 СО СО СО СО ~~.", Е!. !Е„'и!х= Х Е). Ейх = Х Есьмх=Елх. О1 ОО1 ОО1 ИО! и аналогично Е„Е1,х = Е1,х. Отсюда вытекает, в частности, что ЕА=ЕА, т. е.
ЕА— 2 проекционный оператор. Далее, для т < Л имеем )(Еьх — Е„х))2= ~ ()Е~А"!х„— Е!й!х„~)~= лО1 и! \ = ~.", )! Е!!Юхи — Е~~"!х„)! + ~~'., !) Е!и!хи — Ет!"!х„~~~, Так Как для любого л 1~ Е!А хл — Ей~Сох„(~ .< 2(~ х„(), СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ' [ГЛ. 711 ТО )!)!ЕАХ Еих !)! !< Х !!! !ЕА Хл Е» Хл !)!! + 2 Х )!!)Хл ))!! л=! л=М+! Пусть задано е) О. Выбираем сперва М настолько большим, чтобы г '~; ))~„)) < ',*, л = Л~ )- ! Затем в силу непрерывности Е~А"! слева мы можем выбрать т настолько близко к А, что '~~~(Е~' .— Е'," „~('< — '. а=! Тогда будем иметь для таких т '))Елх — Етх ))1 ( е' т. е. Е„х-ьЕАХ, при ч — эА, т<Л, и непрерывность слева функции ЕА доказана. Аналогично убеждаемся, что Е),х — э 0 при Еьх -ьх при Следовательно, ЕА есть разложение единицы.
С помощью полученного разложения единицы ЕА построим интеграл Стильтьеса СО А= ~ ).ИЕО определяющий, как сказано выше, некоторый самосопряженный оператор. Пусть х ~Н„, тогда ЕАХ=ОА" х, а следовательно, Ел) О ь„ У)!24(ЕАх, х) = У Лед(ЕЬ)х, х) < л РАзлОжение неОГРАниченнОГО ОпеРАТОРА 381 $ з! Поэтому существует Ах и Рл Ах = ~ Л г(Е~ х = ~ Л г(ЕА 'х = А„х. Следовательно, на каждом Н„оператор А совпадает с Агс С другой стороны, на каждом Н„оператор А также совпадает с А„, н так как сущестяует лишь один такой оператор, то А = А. Таким образом, Ах= Ах = ~ ЛйЕАх. Мы получили интегральное представление неограниченного самосопряженного оператор а.
Область определения А)(А) оператора А состоит нз тех и только тех элементов х Е Н, для которых / Л'г((ЕАх, х) ( ОО. Можно также показать, что разложение единицы определяется оператором А однозначно. функции от оператора. Выше мы строили функции от ограниченного самосопряженного оператора. Аналогичным образом можно строить функции и от неограниченного самосопряженного оператора, только здесь несколько усложняются свойства аддитивности и мультипликативности соответствия между функциями вещественного переменного и функциями от оператора. Игак, пусть А — неограниченный самосопряженный оператор с областью определения О (А) и ЕА — разложение единицы, порождаемое этим оператором.
Для произвольной кусочно равномерно непрерывной на ( — со, + со) функцчи у (Л) строим оператор Вх= ~ г(Л) г(ЕАх 382 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [Гл, ч!т с областью определения Е[(В), состоящей из тех х ~ Н, для которых / [У(2,)[тН(Елх, х) (+Со.
СО Как мы видели выше, л)(В) всюду плотно в Н, и если у (Х) вещественно, то  — самосопряжеиный оператор. Оператор В назовем функцией оператора А и обозначим /(А): СО У(А) = ~ ~().) с[Елх. Можно строить функции оператора более общего вида [25[. Именно, спектральная функция Ел ( — со < Х < со) оператора А порождает функцию интервалов Е(А), которую процессом, аналогичным процессу, применяемому в теории функций вещественного переменного, можно продолжить до операторной меры Е(М) линейных точечных множеств М. Эта мера Е(М) определена на некотором классе мяожеств, называемых А-измеримыми, включающем в себя все борелевские множества.
После определения класса измеримых множеств обычным образом определяются А-измеримые функции, и строится операторный интеграл Лебега — Стильтьеса /(А) = ~ /(Л) с[Ел СО сперва лля ограниченных, а затем для неограниченных функций. Область определения оператора У (А), являющегося функцией оператора А в только что указанном смысле, снова состоит из тех и только тех х, для которых ~ [/(Х)[тй(Е. х, х) <со.
Последаий интеграл также понимается в смысле Лебега — Стильть еса 25). ы, однако, таких общих функций от оператора рассматривать не будем. Пусть дан оператор у(А), где у()) кусочно равномерно непрерывная на ( — со, со) функция. Область определения оператора /(А) будем обозначать О [у (А)). Для произвольного и и любого х ~ Н, как мы видели на стр, 371, Е ([зл) х Е 0 [у (А)]. 5 Щ РАЗЛОЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА 383 Но тогда ясно, что также Е(О)х~й(Г"(А)) при любом лл= [а, Р), если а и р конечны, и любом хЕН. Пусть х О (у'(А)). Из неравенства ~ !У(Л)/ай(ЕАЕ(Л) х, Е(Ь) х)= ~ !~(Х)/зл((Елх, х) ~( СО А < / /~().))ел((Елх, х), имеющего место при любом конечном илн бесконечном лл= (а, р), заключаем, что ЕЯхЕО (г (А)). Поскольку интеграл Стильтьеса есть предел интегральных сумм, то У(А)Е(Ь)х= ~ У().)л((Ел<Е(б)х))= ОО = Е(Л) ~У(Л) АЕл.
=Е®У(А). Таким образом, мы получаем, что Е(Ь) при любом лл коммутирует с г" (А). Пусть 1+0 — любое вещественное или комплексное число. Так как интеграл ~ ) й ) з ( У (Х) ( ' г( (Ел х, х) сходится для тех и только тех х, для которых ОЭ ~ 1У(Х))зл((Елх, х) сходится. то область определения оператора у'(А) совпадает с областью определения оператора (ГГУ)(А) и (йг ) (А) х = АУ (А) х. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !ГЛ ЧН Пусть 71()«) и уа(Х) — две кусочно равномерно непрерывные на ( — ОО, со) функпии. Если «~0 [71(А)) Д0 [уа(А)), то ! с СО У(л(Х)+У (Л)(ап«(Е «, «)1 ( 1 1 СО 1я 1Т ~( ~ ( у1 (Л)(! «((ЕА«, «)~ + ~ ~ ) у (Х))! «1 (Вх«, «)~ О СО и, следовательно, «Е 0 [(У«+у!)(А)].
Таким образом, У1 (А) + У, (А) Я~1+ У,1 (А). (17) Выясним, когда в формуле (17) имеет место знак ра- венства. Так как (у, ().)+ у,(л)) — у,().) = у, ()«), то 0 [(Л+ У,) (А)! () 0 ( У, (А)) «= 0 [У1 (А)). Отсюда и из (17) 0 [(11 + У!) (А)! П 0 [У! (А)] ~ 0 [/1 (А)] () 0 [Уя (А)) «= «=0 ((71+7!)(А)] Из этих включений следует 0 [(у«+у,)(А)) П0 [у,(А)) =0 (у,(А)) () 0 [у,(А)].
Аналогично находим 0 [(У«+ Ут) (А)) П 0 [У« (А)) = 0 [У1 (А)] П 0 [У! (А)] Следовательно, равенство в формуле (17) имеет место, если имеет место хотя бы одно из двух включений: 0 [(/1+ У,) (А)) «=0 (У« (А)] или 0 НУ«+У!)(А)]~0 [Уя(А)]. Так будет, например, если один из операторов, 71(А) илп уа (А), ограниченный. $ 8> РАЗЛОжение неОГРАниченнОГО ОпеРАГОРА 335 Пусть снова у>(Х) и Га(Х) кусочно равномерно непрерывны на вещественной прямой. пусть х Е 0 ).>О> (А) >'я(А)) Это значит, что х~0)уз(А)) н >з(А)хй0),>>(А)). Последнее включение означает, что СО У !Л (с)Г>с (Е>л(А) х >2(А) х) ( ' (18) Но (Еь~з(А) х, Уе(А) х) =)]ЕА/>(А) х )»т= ~ )уз((А))т>1(Е>,х, х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
