Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Легко видеть, что 9г(А) — линейное многообразие, однозначно определяемое оператором А. Наоборот, если лля двух операторов А и В имеем 9г(А) =9г(В), то А =В. Наконец, нетрудно проверить, что лля того, чтобы оператор А был замкнут, необхолимо и достаточно, чтобы 9г(А) было замкнутым полпространством пространства Й. Рассмотрим в Й оператор й, определяемый равенством й(х, у) = (у, — х). Ясно, что йг= — Е и й" = — й откуда й"й =. йй'=Е, т. е. й — унитарный оператор.
Л е и м а. Если А — произвольный линейный оператор, определенный на всюду плотном линейном многообразии О(А), то 9г(А') есть ортогональное дополнение и линейному многообразию й(9г (А)). % ь1 неОГРАниченные линейные ОпеРАТОРы 357 Пусть г= )х', у') ~Й вЂ” О(9г(А)). Это значит, что ()х', у'). [Ах, — х))=0 для любого х ~ 0 (А). Отсюда (х', Ах)=(у', х), и, слеловательно, х'~В(А*) ну'=А'х', т. е. )х', у') ~ Ег (А*). Повторяя рассуждения в обратном порядке, получаем, что из )х', у') ~ 9г (А*) вытекает ортогональность этого элемента к любому элементу из 0(9г(А)), и лемма доказана.
Теорема 4. Если А — замкнутый оператор, определенный на всюду плотном в Н множестве О(А), то О(А*) также всюду плотно и однозначно определен (А')'=А"". При етом А =А. Так как А замкнут, то 9г(А) — замкнутое линейное многообразие и, значит, О(9г(А)) тоже замкнуто. Поэтому Й = О(9г (А))+9г(А'). (5) Применяя к обеим частям равенства унитарный оператор 0 и замечая, во-первых, что (Гз(9г(А)) = — Е9г(А) = =9г(А), и, во-вторых, что унитарный оператор ортогональные элементы переводит в ортогональные, будем иметь 0(Й) =Й=9г(А)+ 0(9г(А')).
(6) Покажем прежде всего, что О (А*) всюду плотно. Если это не так, существует уз~ Н, отличный от нулевого и ортогональный В(А*). Элемент уз= )О, уь) ЕЙ будет тогда ортогонален 0(9г(А*)), так как для любого )у, А'у] Е9г(А') имеем ()О ув! У)у А'у))=(О А у) — (уо у)=О. Следовательно, )О, уа) Е9г(А), откуда уз= АО=О. Полученное противоречие доказывает наше утверждение. Так как О(А') всюлу плотно, то однозначно определен А*'.
Чтобы доказать равенство А = А, достаточно воспользоваться соотношением (6) и леммой. Теорема 5. Оператор А существует тогда и только тогда, когда определенный на всюду плотном СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !Гл. Тн множестве оператор А допускает замы!сание. В этом случае А = А. Если А допускает замыкание А, то по теореме 4 (А)** существует н (А)** = А. Но (А)' = А*, следовательно, (А)**= А'*, откуда А = А, и первая часть теоремы доказана. Пусть А*' существует.
Применяя (5) к А', мы получим Й= 0(9г(А'))+9г(А"). (7) С другой стороны, прииеняя оператор У к обеии частям равенства Й = 0 (9г (А) ) + 9г (А*), будем иметь Й = 0(9г (А') )+ 9г (А). (8) Из сравнения формул (7) и (8) следует, что 9)г (А) != 9г (А*'), т. е. А допускает замкнутое расширение А'*. Инвариаитиые надпространства, приводимость.
)Аля неограниченных операторов также можно ввести понятие инвариантного надпространства. Подпространство 7. называется инвариантным подпространством оператора А, если 1) из х ~ 0(А) следует РхЕ 0(А) (Р= Рс'т! 2) пз х Е 0(А) П 7. следует Ах ~ 7. (т. е. РАРх = АРх для всех х Е 0 (А) ). Из 1) и 0 (А) = Н следует, что 0 (А) П 7.
всюду плотно в 7.. Покажем, что и для неограниченных симметрических операторов из инвариантности В вытекает инварнантность М=Н вЂ” Ь. В самом деле, пусть хЕ0(А) и х= х,+хм где х!Е7., ха~ М. Так как !.— инвариантное подпространство, х, ~ 0 (А) и так как 0 (А) — линейное многообразие, то хз=х — х, Е0(А). Далее, если х ~ 0 (А) П М и у — любой элемент из 0 (А) П („то (Ах, у) = (х, Ау) = О, так как Ау Р Е и х ) !.. Таким образом, злемент Ах ортогонален 0 (А) П 1., а так как зто многообразие всюду плотно в 7., то Ах ) 1.; отсюда Ах~ М.
Если 7. — инвариантное подпространство оператора А. то говорят также, что 7. приводит А. ь 71 САМОСОПРЯЖЯННЫВ ОПСРАТОРЫ 359 Т е о р е и а 6. Подирает ранство Е приводит симметрический оператор А тогда и только тогда, когда оператор Р проектирования на вто подпространство перестановочен с А. Пусть Ь вЂ” инвариантное надпространство. Тогда если хЕГ)(А), то РхЕГ)(А) и РхЕО(А)ПЕ. По условию 2) инвариантности Е имеем РАРх = АРх. (9) Так как А — симметрический оператор, но Н вЂ” Š— также инвариантное подпространство А. Поэтому, как и выше, (Š— Р) А (Š— Р) х = А (Š— Р) х, нли, раскрывая скобки и упрощая, РАРх = РАх.
(1О) Из (9) и (1О) следует, что РАх=АРх, и перестановочность А с ограниченным оператором Р доказана. Пусть, обратно, А и Р перестановочны. Тогда прежде всего из х Е Г) (А) следует Рх Е Й (А). Далее, для х Е В (А) П Е будем иметь Ах = АРх = РАх, т. е. Ах ~ Е, и инвариантность Е доказана.
ф 1. Самосопряженные операторы и теория расширений симметрических операторов Линейный (ое обязательно ограниченный) оператор А называется еамоеопряженным, если А = А*. Из этого определения следует, что всякий самосопряженный оператор является симметрическим. Обратное утверждение, как мы увидим ниже, неверно, Ряд основных утверждений о спектре ограниченных само- сопряженных операторов переносится на случай неограниченных самосопряженных операторов.
Так, все собственные значения самосопряженного оператора вещественны и собственные элементы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны; точка Х является регулярным значением оператора тогда н только тогда, когда существует число СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ 1гл. Рп с такое, что 11(А — )Е) х !))~с !) х )) (1) для любого х Е 0 (А).
Покажем, например, как устанавливается последнее утверждение. Если ). — регулярная точка, то существует ограниченный обратный оператор )ть=(А — )Е) . Поэтому (!х)/=/~ йА(А — ХЕ) х))~()!ЙА/! !)(А — ЛЕ) х((, 1 и мы получим (1), где с= —. Пусть (!) выполняется. РМ' Снова рассмотрим линейное многообразие т'., состоящее из элементов вида у = (А — ХЕ) х, где х пробегает 0 (А).
Соответствие между 0(А) н Е в силу (1) взаимно однозначно. Е всюду плотно в тт'. Если это не так, то существует в Н элемент хз чь О такой, что (хе, у) = О для любого у с г'., или (2) (хе, Ах — ).х)=О для любого х ~ 0(А). Из (2) получаем (Ах, хе)=(х, Ххэ). Но это означает, что хв Е 0 (А*) = 0 (А) и А'хо = Ахо = ).хо. Теми же рассуждениями, что и в случае ограниченных операторов, убеждаемся, что это невозможно. Наконец, Е замкнуто. Пусть (у„) ~Е, у„-+ уе. Если у„=Аах„, то согласно (1) )(х„— х ()е — ))у„— у 11, 1 откуда ях„— хм,'1 — РО.
В силу замкнутости оператора А (самосопряженный оператор всегда замкнут) хо=1ппх.б0(А) уо=ААхо и замкнутость ь доказана ь). Завершается доказательство регулярности ), точно так же, как в случае ограниченного оператора. *) Вр. стр. 362. Ч 71 слмосопвяженнгяе ОПРР4ТОРЫ Следствие 1. Точка Л принадлежит спектру самосопряженного оператора тогда и только тогда, когда в О(А) существует последовательность (х„) такая, что ))х„))= 1, ))Ах„— Лх„))-ьб при п-ьОО.
С л е л с т в и е 2. Множество регулярных точек само- сопряженного оператора есть открытое множество, а следовательно, спектр — замкнутое множество. С л е д с т в н е 3. Всякое невещественное Л есть регулярное значение самосопряясенного оператора и, следовательно, спектр такого оператора расположен неликом на вещественной оси. Теория расширений симметрических операторов.
Пусть дан симметрический оператор А с областью определения О(АВ которую мы, как всегла, булем предполагать всюду плотной в гт'. Если А не замкнут, то мы предварительно его замкнем. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что А — замкнутый оператор. Мы сейчас опишем в общих чертах некоторый процесс, позволяющий строить симметрические расширения оператора А и, в частности, расширить симметрический оператор до самосопряженного. Пусть  — симметрическое расширение оператора А. Тогда из АсВ следует В"«А', и так как ВсВ*, то ВсА*. Итак, всякое симметрическое расширение оператора А есть часть сопряженного оператора А*: О(В)«О(А*), Ву= А*у для у~О(В). (3) Так как  — симметрический оператор, то (Ву, у) вещественно для любого у Е О (В).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
