Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Следствие 3. Самосопряженный вполне непрерывный оператор обладает чисто точечным спектром. В самом деле, инвариантное подпространство 1л ортогональное всем собственным элементам, — нулевое. В противном случае оно, в силу следствия 2, должно было бы содержать собственный элемент, в противоречие со своим определением. Те о рема 6. Множество собственных значений самосопряженного вполне непрерывного оператора А может иметь лишь одну предельную точку Х = О. Эта теорема является частным случаем теоремы 1 $2 гл. Ч1, но ей можно дать простое независимое доказательство. В самом деле, если бы существовала бесконечная последовательность различных собственных значений (Л,( такая, что (Х„()~ с > О, то для соответствуюших собственных элементов х„, ((х„((= 1, мы в силу их ортогональности имели бы ((Ах„— Ах (( =((Л„х„— Х х (( =Х„+)„)~2с при и Ф т.
Но в таком случае послеловательность (Ахь( не была бы компактной, в противоречие с полной непрерывностью оператора А. ф 6. Спектральное разложение самосопряженного оператора Разложение единицы. Обобшим формулы (7), (!О), (14) ф 4 .на произвольные самосопряженные операторы. Лемм а. Пусть А и  — сал1осопряженные перестановочные операторы и Аг=ВЗ. Обозначилг через Р 334 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ, ТП т. е. РСР = СР. С*Р = РС*Р, РС = (С*Р)* = (РС"Р)' = РСР. Аналогично откуда Следовательло, СР=РС и 1)доказано. В частности, АР=РА и ВР=РВ. Далее, пусть Ах =О. Тогда ~) Вх ~)г=(Вх, Вх') =(Вгх, х) =(Агх, х) = ~~ Ах ()! = О, т. е.
Вх=б. Поэтому (А — В)х= о; следовательно, Рх = х и 2) также доказано. Наконец, (А — В) (А + В) = Аг — Вг = О. Поэтому для любого х (А+ В) х е Т., и, следовательно, Р (Л+ В) х = (А+В) х, т. е. Р (Л + В) = А+ В. оператор проектирования на подпрослгранстео нулей оператора Л вЂ” В. Тогда 1) всякий ограниченный линейный оператор С, перестановочный с А — В, лерестановочен с Р; 2) из Ах= О следует Рх =х; 3) Л=(2Р— Е)В. Пусть Š— подпространство нулей оператора А — В и Р— оператор проектирования на это поднространство. Тогда если у ~ Т. и оператор С перестановочен с А — В, то Су также принадлежит Е, ибо (А — В>Су = С(А — В) у = О.
Поэтому СРхЕ !'. для любого хЕ Н и потому РСРх =- СРх, Ф 61 РАзлОжение сАмосопРяженного ОпеРАТОРА 335 Так как, кроме того, Р(А — В) =(А — В) Р= О. то Р (А+ В) — Р (А — В) = А+ В, А = (2Р— Е) В. откуда Следовательно, АЕ,=ВЕ,) О, А(Š— Е )= — (Š— Еч)В~(0, так как произведение двух перестановочных положительных операторов есть снова положительный оператор. Теорема 1 полностью доказана. Отметим, что из равенства А =(2Е+ — Е)В следует ВЕР = 2 (А+ В), 1 откуда АЕ, = — (А + В), А (Š— Е+) = — (А — В). 1 1 2 + 2 Оперзтор АЕе обозначают А, н называют положительной частью оператора А, а оператор А(Š— Е„) обозначают А и называют отрицательной частью оператора А.
Прн этом П римеры. 1. Пусть А есть и-мерная симметрическая матрица с собственными значениями Л„Л„..., Ле, где Ль Ль ..., Лв < О, Лечь Лв~ь ..., Лв ) О. Из лннейнон алгебры известно, что А Лемма полностью доказана, Теорема 1. Для каждого самосопряженного оператора А существует проекционный оператор Е, такой, что 1) любой ограниченный линейный оператор С, перестановочный с А, перестановочен с Е+, 2) АЕ„)~0, А(Š— Е,) (О; 3) если Ах = О, то Е+х = х. ПуСтЬ Еь — ПрОЕКцИОННЫй Оисратар, ПрОЕКтнруЮ1цнй все Н на подпространство нулей оператора А — В, где  — положительный квадратный корень из Аг. Из леммы сразу следует, что 1) и 3) выполняются,: в частности АЕ+ — — Е, А и ВЕР = ЕеВ.
В силу этой же леммы А = (2Еь — Е) В. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОП (гл. Рн унитарно зквивааентна диагонааьиой матрице ~ л, о о ... о (л, л, л, л„„, л ) ~ о л, о ... о ~ о о о ... л„ т, е А = и(ЛР Ль ..., Лгь Л„ь ..., Л,) и-л) тогда А,=и(О,О,...,О,ЛА,Р...,Л)и ', А = и(ЛЬ Ль ..., Л,, О, ..., О) и-л. 2. Пусть А — оператор в Л, ( — 1, +1], определяемый равенством Ах (() = гх (г). Тогда А +х (г) = х (Г), А х (Г) = х (Г). г+]г! г — ]г! Теорема 2. Каждый саллосопряженный оператор А порождает семейство ]Ел] проекционных операторов, зависящих от вещественного параметра Л, — со ( Л ( (+сз, и удовлетворяющих условиям: 1) из АС=СА следует ЕлС=СЕА для любого Л; 2) Ел (Е,л.
если Л ()л; 3) Ел сильно непрерывен слева, ги. е. Ел о=ЕЛ( 4) Ел = О для — Оэ ( Л ( т, Ел = Е для М ( Л ( +ОС, где вл и М вЂ” нижняя и верхняя границы оператора А. Семейство ]Ел] называется разложением единицы, порожденным оператором А. Прежде чем доказывать теорему, приведем примеры.
1. Пусть А — симметрическая матрица и-го порядка. А=У(ль Ль ° Л ) У где Л, < Л, « ... Л„, и ел — собственный вектор, отвечающнйл собственному значению Ль Тогда прп Лл < Л < Лл л, оператор Ел есть оператор проектирования на имерное подпространство, порождаемое векторами еь еь ..., еь Прп Л < Л, инеем Е, = О; при Л > Лл имеем Ел Е. 2.
Пусть оператор А в Ел[ †, 1] определяется равенством Ах (г) = гх (г). Тогда елх (г) = ч>л (П х (г), где йл (г) = О при ( > л, йл (г) = ! прн г < л. Очевидно, прн л < — 1 имеем Ел — — О, а при Л > 1 пллеем ЕЛ вЂ” — Е. $51 РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 337 Р=ЕА(Š— Е„), где ). ( р. Имеем ЕлР = Ел (Š— Ев) = Ел (Š— ЕР) = Р и аналогично (2) (Š— Еи) Р = Р. Далее, по определению Ел ииееи (3) (А — ЛЕ) Ел ( О. (А рЕ) (Е ЕР) )~ О. (4) Положим Рх = у для произвольного х ~ Н.
В силу (1) и (2) имеем Ел у = ЕлРх = Рх = у и аналогично (Š— Е„) у = у. В силу (3) и (4) ((А — ЛЕ)у. у) =((А — ЛЕ)Елу, у) (О, ((А — рЕ) у, у) =((А — ВЕ)(Š— Е„) у, у) )~ О. Вычтя из первого равенства второе, получим ((ц — Л)у, у) (О, (ц — Л)11у~Р -О. или Отсюда, учитывая неравенство Л ( р, заключаем, что у = Рх = О. х — любой элемент из Н. Следовательно, Переходим к доказательству теоремы. Пусть Л вЂ” произвольное вещественное число и Ал = А — ЛЕ. Обозначим через Ел проекционный оператор Š— Еь (Л), где Ез (Л)— проекционный оператор, построенный согласно теореме ! лля оператора А — ЛЕ.
Условие 1), очевидно, выполняется, откуда, в частности, следует, что Ел и ЕР перестановочны для любых Л и р. Переходя к условию 2), рассмотрим проекционный опе- ратор СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. ЧП Р=О, или ЕА (Š— ЕР) = Ел — ЕАЕР— — О, и выполнение условия 2) доказано.
рассмотрим полуинтервал Ь = [)„[А) числовой прямой. Для проекционного оператора Е(Ь) = Е„ — ЕА имеем Е„Е(б) = Е(б,), (Š— ЕА) Е(с!!) =Е(Ь). Поэтому (А — рЕ) Е (с!) = (А — рЕ) Е„Е (Л) < О, (А — ).Е) Е (Л) = (А — ХЕ) (Š— Еъ) Е (Л) )~ О и, следовательно, ),Е(Л) ~( АЕ(Ь) < [ТЕ(Л). Обратимся теперь к условию 3). Для любого х~Н выражение (Еьх, х) есть неубывающая функция от Х! Поэтому существует Вю (Еьх, х).
Отсюда получаем, что А.+Р-О [[ Е»х — Е,х [[г ((Е» — Ел) х х) = (Е,х, х) — (Е, х, х) — ь О при Л <ч < [А и Х, ч-+р. Следовательно, для любого х~Н существует [пп Еьх=ЕР-ох А-+Р-О ЕР-е = ЕР Е(оо) =ЕР— ЕР-з Пусть Имеем Е(Л) = Ен — ЕА-+Е(!.'То) при Х-+ [! — О в смысле точечной сходимости операторов и, переходя к пределу в неравенстве (5), что, очевидно, возможно, по- лучаем РЕ(Его) = АЕ(пе). Пусть теперь х — любой элемент из Н и у =Е(Л„) х. В силу предыдущего равенства имеем (А — рЕ) у = О, Легко проверить, что Е„е — проекционный оператор.
Докажем, что $ 61 РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 339 откуда согласно условию 3) теоремы 1 получаем Е„У=О. Далее ЕРЕ(А) = Е(А), откуда, переходя к пределу, имеем ЕРЕ (Оо) = Е (Оо). Следовательно, Е (Ао) х = ЕРЕ (Ао) х = ЕРУ = О. Так как х — любой элемент из Н, то это означает, что Е(Ао)= О, и выполнение условия 3) доказано *). Выполнение условия 4) доказывается без труда.
Пусть Л < т и ЕА Ф О. Тогда существует элемент х такой, что Е,х чь О. Пологаа Ехх=У, имеем ЕАУ=У, пРичем можно считать, что )/у/! = 1. Тогда (Ау, у) — Л = (Ау, у) — Л (у, у) = ( (А — ЛЕ) у, у) = = ( (А — ЛЕ) Е;у, у) < О, т. е. (Ау, у) < Л < т, что противоречит определению числа т. Следовательнот ЕА = О для Л < т. Вследствие непрерывности слева и Е =О. Аналогично показывается, что ЕА — — Е для Л > А4. Спектральное разложение самосопрнженного оператора. Теорема 3. Имеет место равенство МРЕ А= ~ ЛЕЕл ы (б) где интеграл понимается как предел инпгегральных сумм в смысле равномерной сходимости в пространстве операторов, а е — любое полохсительное число. *) Согласно определению ЕА нули оператора А — ЛЕ привадлежат ортогональному дополнению подпространства Ее .
Если же Е оператор ЕА определить так, чтобы нули оператора А — ЛЕ входили в Ье, что можно сделать, ие нарушая свойств 1), 2) и 4), ЕА то ЕА будет непрерывен справа ЗАО СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ, 1~И Пусть полуинтервал [лг, А4+е), где е ) О. разбит на полУинтеРвалы ЛР Л,, ..., Ли, Ле= [ХА, Ре). ДлЯ каждого полуинтервала Л» в силу (5) имеем )АЕ (Ле) < АЕ (Л ) < р Е (Л„). Суммируя по всем !е =-1, 2...., л и замечая. что и ~ Е(Л )=Е, е=! получаем ~ ),,Е (Л,) < А < ч; [е„Е(Л„). и-1 Е=! Пусть че — какое-нибудь число из [Хе, ре). Тогда ~~'., (ЛА — че) Е (Л ) < А — ~~' т Е (Л ) < ~~.",(ре — ч ) Е (Ле).
е=! Е=1 Е=1 Положим и!ах(ре — Хе)=б. Тогда из этих неравенств получим и — бЕ ~< А — ~е т Е (Л„) < бЕ, Е=! т. е и — б(х, х)< А — ~~ теЕ(ЛА) х, х -я,б(х, х). Е=1 Отсюда следует, что и А ~Х ТАЕ(ЛА) <Ь е=! т, е. иее А=1!гп ) чеЕ(ЛА)= ~ ЛгУЕр, е+в что и требовалось доказать. Для вполне непрерывного оператора эта формула переходит в формулу (10) Э 4. 3 а м е ч а н и е. Так как сходимость последовательности операторов [Аи[ к оператору А в смысле равномерной сходимости в пространстве операторов влечет за собой точеч- $ и РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 3»] ную скодимость [А„[ к А, а также сходимость квадратичных форм (Алх, х) к квадратичной форме (Ах, х), то из теоремы 3 следует: л М>е 1) Ах=-1>п>~ т»Е(Ь»)х= ~ Л<ГЕ>.х, »=! л> л Л> ~ е 2) (Ах, х) =!! и> ~~~~ т» (Е (Ь») х, х) = ~ М (Елх, х) для любого х Е Н.
Функции от оператора. Резольвеита. Спектр. О п р ед е л е н н е Р(А). Определим теперь интегралы вида Мее ~ Р(Л)ГЕ>„ >л где Р(Л) — произвольная комплекснозначная ступенчатая ><а отрезке [л<, М[ функния, а [Е>.[ — разложение единицы. порожденное самосопряженным оператором А. Если Ло — точка разрыва этой функции, то условимся считать, что Р(Л,) = Р(Л,+О). Продолжим Р(Л) на полуинтервал [л<, М+е), положив там Р(Л) = Р(М).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
