Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Поэтому при и, 1и-+со !!Смх — Слх! = =-((См — С,) х, х)=(С~лх, х) — 2(С,„С,х, х)+(С,',х, х)-+О. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !ГЛ. ЧП Таким образом, последовательность (Слх), а значит и последовательность (Алх), сходитси длЯ любого х к некоторому пределу; обозначим последний через Ах: Ах =1пп Апх. Очевидно, что А — самосопря>кенный оператор, удовлетворяющий неравенству А ч В, что и требовалось доказать.
Самосопряжеиный оператор В называется квадратным корнем из положительного оператора А, если В!=А. Т е о р е м а 2. Существует единственный положительный квадратный корень В из лобого положительного самосолрнженного оператора А, перестаноеочный со есн!сим оператором, перестаноеочным с А. Не нарушая общности, мы можем считать, что А (Е. Положим Вь= — 0 и Вп~-! =Вл+ 2 (А — Вл)' П = О, 1..., (2) Все операторы Вп, — очевидно, самосопряженные и перестановочные с любым оператором, перестановочным с А. В частности, ВРВ =В Вп. Без труда проверяем, что Š— Вп „= — (Š— Вл)г+ — (Š— А) (3) Вп+! — Вп = 2 1(Š— Вп !)+ (Š— Вп)) (Вл Вп !) (4) 1 Из (3) следует, что Вл (Е для всех п. Легко убедиться и ь том, что В„ А.
Вп+,. В самом деле, для и = 0 это очевидно в силу неравенства 1 В! — — 2 А)О=Ве. Далее, равенство (4) показывает, что Вп+,— Вл)~0, если Вп — В„!)~0. Следовательно, В„(В,+, для всех п. Таким обРазом, 1Вл) — монотонно возРастающаЯ огРаниченнаа последовательность самосопряженных положительных операторов. По предыдущему зта последовательность сходится к некоторому самосопряженному положительному оператору В. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 321 Равенство (2) в пределе дает В= В+ —, (А — Вт), 2 т. е. Ва =- А.
Наконец, перестзновочность В с любым оператором, перестановочным с А, следует из того, что этим свойством обладают операторы В„. Таким образом, оператор В обладает всеми требуемыми свойствами, и сушествование положительного квадратного корня из оператора А доказано. Пусть В, — другой положительный квадратный корень из А, который перестановочен с А.
Тогда В,В=ВВИ Поэтому если х — любой элемент из Н и у=( — В,)х. то получаем (Ву, у)+ (В,у, у).=((В-)-В,) у, у) = =((В+В,)( — В1) х, у) =(( — Вт)х, у) = О. Так как В и В, — положительные операторы, то отсюда следует, что (Ву, у) =(В,у, у) = О. Но, будучи положительным, В =- С', где С вЂ” самосопряженный оператор. Так как ~,'Су )з = (С'у, у) = (Ву. у) = О, то Су = О. Следовательно, и Ву = С (Су) = О. Аналогично В,у = О. Но тогда й' В,х — Вх /~ = (( — В,)' х. х) = (( — В,) у, х) = О.
т. е. для любого х Е Н Вх=В,х, н единственность квадратного корня доказана. П р имер. В пространстве Ег[0, Ц для оператора А, где Ах (г) тх (О, положительным корнем квадратным является оператор В, где Вх(т) =+ р"Тх (т). 322 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ 1гл. чы ф 4. Спектр самосопряженного оператора Будем рассматривать семейство операторов АА = А — ).Е, где А — самосопряженный оператор и А — комплексное число. Из теоремы 2 ф б гл.
1!! следует: если !! — А ~~ ( 1 1 А (т. е. если 1Л~ > ()А!1), то Л вЂ” регулярное значение оператора А и, следовательно, весь спектр оператора А расположен внутри и на границе круга 1Л! (((А!!. Это верно для произвольного линейного оператора, действующего в банаховом пространстве. Для случая самосопряженного оператора, заданного на гильбертовом пространстве, мы укажем ниже более точно область, в которой расположен спектр оператора.
Если А — самосопряженный оператор, то все собственные значения его вещественны, так как из Ах=Ах получаем равенство (Ах, х)=):. (х, х), где оба скалярных произведения (Ах, х) и (х, х) вещественны. Далее, из условия А = А*, вещественности собственных значений и теоремы 2 2 3 гл. 1Ч следует, что собственные элементы, отвечающие различным собственным значениям самосопряженного оператора, ортогональны.
Т е о р е м а 1. Для того чтобы точка Х была регулярным значением самосопряженного оператора А, необходимо и достаточно суигестеоеание полозкительной постоянной с такой, что для любого хЕН 11ААх)! = ~(Ах — Хх(()~ с)(х!!. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть существует ограниче нный оператор йл=АА и !1Йл~! =д. Для любого х Е Н имеем !! х ~! = !! ЙААьх (~ ( д () А ах (~, откуда !!Алх!~) — !!х!), и необходимость доказана. $41 СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 323 Достаточность.
Пусть у=Ах — Лх и х пробегает пространство Н. Тогда у пробегает некоторое линейное многообразие 1. В силу(1) соответствие между х и у взаимно однозначно, ибо если х, и ха переходят в один и тот же элемент у, то А (х, — хо) — Л (х, — хо) = О, откуда 1 ))Хг — Хо)) < — ))Ал(Х, — Хо))) = О. Покажем, что Ь всюду плотно в Н.
В самом деле, если это не так, то существует элемент хо~ Н, отличный от нуля и такой, что (хо, у) =0 для любого у ~ Е. Это значит, что (хо, Ах — Лх) =О, откуда. в силу самосопряженцости А, (Ахо Лло х) = О, и так как это верно для любого х Е Н, то А.хо Лхо = О. Но это равенство при х, отличном от пуля, невозможно ни при комплексном Л (тогда у самосопряженного оператора были бы комплексные собственные значения), ни прн веше1 ственном Л (тогда Л= Л и 1,'хо') < — ))Ахо — Лхо)) =0), о Покажем, наконец, что Л замкнуто. Пусть )у„) ~Е, у,=Алх, и уо-+уо.
В силу (1) 1 1 ))хо хпМ < ))Ал о Алх ) ~)ол Ут)) Последовательность ) у„) сходится в себе и потому ) у„— у )) -+ 0 при л, лл — ь+ОО. Но тогда 1)х„— х,„)) — ьО при л, щ-о.со. Из полноты пространства Н следует существование предельного влемента для последовательности )х„): х =1'пп х,. и 324 спектРАльнАя теОРия ОпеРАтОРОЕ (гл. чп Ири атом А,х =11а А;х„=1(а у„= у, ь ь т. е.
у~ 7.. Итак, 7.— замкнутое, всюду плотное в Н линейное многообразие, т. е. А.=Н. Так как, кроме того, соответствие у=Алх взаимно однозначно, то сушествует обратный оператор х = Ал у= 7(лу определенный на всем Н. Неравенство (1) дает ))йлу)) = )) х)) < — )) Алх,') = — ))у)), т. е. 77л является ограниченным оператором и ))Ял)) < —, ° 1 С л е д с т в и е. Точка 7 принадлежит спектру самосопряженного оператора А тогда и только тогда.
когда сушествует последовательность )хь) такая, что ))Ах„— 7.х„))~(сь))хь)), с„— ьО при и-ьоо. (2) В (2) можно положить ))х„)) =1, тогда ))Ахи — 7.хь)) -ьО, ))хл)) = 1 ° (3) Теорема 2. Кожплексные числа 7.= а+ф, где р ~ О. суть регулярные значения самосопряженного оператора А. В самом деле, если у = Алх = Ах — йх, то (у, х) = (Ах, х) — 7, (х, х), (х, у) =(у, х) =(Ах, х) — 7,(х, х).
Отсюда (х, у) — (у. х)=(Х вЂ” 7.)(х, х)=2ф))х)~, или 2)р)))х1г= )(х, у) — (у, х)) ()(х, у)) + )(у. х)) (2))у))))х)) з Я1 СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПСРАТОРА зл и, значит, [[у[[)~ [[)[([х([. т. е. )[Аях,, ')~,'[))[)х[[. (4) Чтобы завершить доказательство, достаточно использовать теорему 1, Те о р е м а 3. Спектр саляосопряженного оператора А лежит целикозя на отрезке [пг, М[ веяцественной оси, где т = 1п1 (Ах, х), М = зир (Ах, х). (к[=1 (к1Ы1 Из предыдущей теоремы следует, что спектр может лежать лишь на вещественной оси.
Покажем сейчас, что вешественные Л, лежащие вне отрезка [т, М[, суть регулярные значения. Пусть, например, Л ) М, Л= М+я(, д) О. Имеем (Алх, х)=(Ах, х) — Л(х, х) ( М(х, х) — Л(х, х) = = — я(Цх[Г, отсюда [(Аьх, х)[) с([[к[[Я. С другой стороны, [(Аях, х)[(([[ААх1[
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
