Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 40
Текст из файла (страница 40)
е. у~Ем+». Отсюда аналогично, й =й гб ьт»ь ьт+ь Предположим теперь, вопреки утверждению теоремы, что для каждо~о и имеем Ь„кь Е„ьь Так как й, ~ Ел, то по лемме $2 гл. В в Еп найдется элемент хп с йормой, равной единице„ такой, что 1 ~1 х„— у 3(~— 2 для всех УЕЕ»ЬР Рассмотрим последовательность (хп). Эта последовательность принадлежит единичному щару прострайства Е и потому последовательность (Ахп) должна быть компактной. Но, с другой стороны, имеем Ахп — Ахате — — х» — Тхп — хпп~ + Тхпьр хп (У хп + хп ьр Тхп»р). т.
е. у~).», и, следовательно, подпрострзнства Ь» образуют убывающую последовательность. Напомним еще, что через )ч» мы обозначили надпространство нулей оператора Т». Т сор е м а 5. Среди надпространств Е» есть лишь конечное число различных, и точно так же среди поднространсте АГ» естнь лишь конечное число различных. Докажем предварительно, что если Е =Е ьи то б =Ь» для всех» > т.
Возьмем произвольный алемеит у~А,„+Р Имеем 282 ВПОЛНЕ НЕГ!РЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1Гл. к! Элемент у= Тхп+хп+,— Тхп~рЕбп -!, так как Тхп ТГТ»х) = Т"ьтхЕбп+г, хппрЕйп+рг=йп+, и Т „„Еб„„„!=у-„Р По тогда в силу построения последовательности (хп) будем иметь 1 )~Ах» — Ахппр)!=8 ха — у~)> —, 2' и последователькость (Ахп) иекомпактна. Полученное противоречие доказывает первую часть теоремы. Аналогично доказывается вторая (что, по существу, нами уже сделано при доказательстве теоремы 3).
Те ор е и а 6. Для любого вполне непрерывного оператора А существует разложение пространства й в пряную сумму надпространств У и У Е=УЩ,У, (9) причем 1) надпространство У конечномерно; 2) оператор Л вЂ” / взаимно однозначно отображает У на себя и У в себя; 3) оператор А допускает представление в виде суммы двух операторов А„и А„; А=А„+Л, где А» и А» — вполне непрерывные линейные операторы, отобрахсающие Е в У и соогпввтствеггно в У; оператор А„— 1 обратим и А»А» А»А» — — О. Пусть ч — наименьшее из натуральных чисел п таких, что А„=Ь»п!.
Пусть У=Ею У=ДГ, Как было показано раньше, У и У вЂ” надпространства. Так как Тч = х (А — Т), где А„ — вполне непрерывен, то в силу леммы 1 У, надпространство йгч нулей оператора А — П конечномерно. Пусть хЕ У и у = Тх. Так как хЕбт найдется злемент х' ЕЕ такой, что х= Тчх.
Тогда у=Тх=Тч+!х ЕЕ. =б =У чп! ч и, следовательно, образ элементов надпространства У принадлежит тому же надпространству. Пусть теперь у — произвольный злемент из У: уЕУ=йч=йч+! $21 ЛННЕЙМЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ »93 Найдется элемент х'~Е такой, что у ТУ+ 2х Т (Ттх ) Тх, где х= Ттх'РУ., У. Следовательно, каждый злемент у~У есть образ некоторого злсмента Х~У и оператор Т отображает У иа У. О~сюда в силу теоремы 3 следуют вззимная однозначность отображения Тх у, Х~У, и существование у оператора Т, рассматриваемого лишь на злементах подпространства У, ограниченного обратного оператора.
Пусть х~ (г Ф . Это значит Т"х О нли Тт г(ТХ) О. Но тогда Тх с)(Г 1 ~ ДГ„ и, следовательно, оператор Т отображает (Г в себя. Теперь нетрудно доказать равенство (9). Пусть Т» — оператор Т, рассматриваемый как оператор, действующий в У. Как сказано выше, зтот оператор имеет обратный. Для произвольного х~ Б положим и Т„»Т"х и о х — и. Очевидно, и~У. Так как, далее, Ттв Ттх — Тт и = О, то о~Р. Если теперь х й + й — другое представление злемента х~ 8, где й~У и й~ У, то имеем Т"х = Т'й+ Тто Т"й, (!1) потоыу что Ттй О.
Так как й~У. то из равенства (11) получаем й Т-тт"й Т™т.х, и однозначность представления доказана. Отметим, что так как Т и Т ' †линейн операторы, то (1и1= 'й Т„Т х й'~ »21)хб, а следовательно. и !) об < с,бх11. Введем операторы А» и Аю полагзя для произвольного Х~Е А„х=Аи и А .х=-АР. В частности, А„т А и О. Так как А„х Ти+и и А,„т То+о, то из доказанных ранее соотношений у (У) У н Т((г) ~ (г следует, Вполне непРеРыВные опеРАТОРы (гл. ч! что Аи~У н Ао~)г.
Поэтому операторы А, н Ат отображают Е соответственно в У н )г. Ясно, что а) А, н Аь — линейные ограниченные операторы, б) А'=А,+А в> А„(А х) =Аь(Акх) О, г) Ач — вполне йепРеРывный опеРатоР, так как он отображает пространство Е в конечномерное подпространство К но тогда н А„— вполне непрерывный оператор. Рассмотрим, наконец, уравнение (12) А„х — х у=и-) о. Р Пусть хэ — решение уравнения Ах — х и которое в силу обратимости Т= А — ) на У существует. Рассмотрим элемент хе=хе — о.
Имеем А хо — хэ А„(гхо о) — хо+о А хо хо+о=и+» у, н, следовательно, уравнение (12) всегда разрешимо. Но тогда по теореме 3 оператор А„ — г' имеет ограниченный обратный, н тсорема полностью доказана. В заключение этого параграфа рассмотрим уравнения, содержащие параметр. Так как уравнение Ах — Лх = у. Л чь О. ()л) может быть записано в виде 1 1 — Ах — х= — у Л =Л 1 и —. А вполне непрерывен вместе с А, то теоремы, докал. ванные для уравнения (1), остаются справедливыми для уравнения (1л). Из теоремы 3 следует, что при данном Л Ф О или уравнение Ах — Лх=у разрешимо при любой правой части.
или однородное уравнение Ах — Лх=О имеет ненулевые решения. Поэтому каждое значение параыетра Л чь О либо регулярно, либо является собственным т »1 ЛИНПЙНЬШ ОПЕРАТОРНЫЬ УРАВНЕНИЯ 285 значением, и других ненулевых точек спектра, кроме сооственных значений, у оператора А нет ь). Теорема 7. Если А — вполне непрерывный оператор, то спектр его содержит конечное или счетное множество точек. Все собственные значения расположены на отрезке ! — ЧА1(, ~)А~~! и в случае счетного спектра имеют единственную предельную точку А = О.
Рассмотрим оператор ТА=А — Ы. Преобразовав этот оператор к виду ть= — У. (! — — 'А), мы видим, что в силу результатоя ф 5 гл. 111 при — (~А~,'< 1 оператор У 1А а следовательно, и операгор Тю имеет обратный, т. е. действительно спектр оператора А лежит на 1 — )!А~), 11А,'1. Пусть 0 < а <)(А)(. Чтобы завершить доказательство, достаточно показать, что может существовать лишь конечное число собственных значений Х таких, что !1,~)~а.
Предположим противное. Тогда мы можем выделить последовательность К,. 1....., 1в... различных собственных значений, причем ~ Хг ~ )~ а. Пусть х,, хм ..., х„.... — Последовательность собственных элементов, соответствующих этим собственным аначениям Ах„= Х»хю Локажем, что элементы хи хю ..., х» при любом й линейно независимы. Для и = 1 это тривиально. Пусть хи ха ..., х» — линейно независимы. '! Размерность подпространств нулей оператора Л вЂ” 1гг называется кратностью собственного значеппя Х. Из леммы 1 следует, что все ненулевые собственные значения вполне непрерывного оператора имею» конечную кратность. 1гл.
у! вполнв непввнывныв опивлтоиы Если предположить. что Ф ха+! — — ~~'., сгх„ г=! (13) (14) Иэ (13) и (!4) слелует (так как Ла+! Ф 0), что ~~„'(~ — — ") г,=о. !=! Но это невозможно в силу неравенств 1 — — !+0 ЛФ.~ ! н линейной независимости хн хм ..., ха. Пусть ń— подпространство, порожденное элементами х,, хм ..., ха. Е! есть собственное подпространство пространства Е„+,. Поэтому найдется элемент Уе!тЕЕа+! !!Уа+г!1=1 1 (~у,, — х~()~— такой, что для любого х ~ Ем Оценим (( Ау — Ау, (~.
полагая, напри- мер. что л! ) а. Имеем Аул Аул Лтуа + Ть Ул Лпуп Ть Уа л!Ул! где х = Л„у„ + Т, у — Тл у . Заметим теперь, что Т„У„, = АУ,„— Л у = А ~!! с!х! — Л~.ля~а с!х! = !,г-! / ! ! н е — ! =,и сг) х Тс! с!Л х! ~а (Л! Л ) сгх! ! ! ! Ф! то, действуя на обе части этого равенства оператором А, будем иметь а Ля+!ха+! = ~! Лгсгх! !=! $31 ПРИНЦИП ШАУДЕРА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ 287 Так как у„ П 7.„~7. <-7. х ~ С„,, Положим х = Л,„у, Поэтому Т у Т, У„ и 1„ ,<= 1 , то л У балл Р Будем иметь Я Ул '~ул~!=!~Лтум — ЛщУ/(= ! Л ~)(у — у(()~ц— и, следовательно, ни (Аул], ни любая ее подпоследовательность не сходятся. С другой стороны, так как (ул1 — ограниченное множество, то (Ау„] компактно и, следовательно.
содержит сходящуюся подпоследовательность. Полученное противоречие доказывает теорему. Теорема 7 характеризует так называемую «дискретность» спектра вполне непрерывного оператора. $ 3. Принцип Шаудера и его применения Пусть М вЂ множест банахова пространства Е и А — оператор, вообще нелинейный, определенный на множестве М и отображающий зто множество в себя.
Оператор А называется компактным на множестве М, если всякое ограниченное подмножество этого множества он переводит в компактное. Если, кроме того, оператор Л непрерывен на М, то мы будем нззывать его аполкв непрерывным на этом множестве (если А линеен, то зто определение совпадает с прежним).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
