Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Теорема Гиль берта. Совокупность К~<1, состоящая из спрямляемых кривых, располоакенных в конечной части пространства и имеющих ограниченные в совокупности длины, компактна. Пусть длины кривых <1 ~ К не превосходят 1. Разобьем каждую кривую <1 ~ К на и дуг равной длины и соединим точки деленна отРезками.
ПолУчим ломанУю ь)ю КаждаЯ из дУг кривой <1 и соответственно сторон ломаной <1„ не превосхо- 1 дит —. Расстояние между точками такой дуги и точками и стягивающей ее хорды — стороны ломаной <1„— не превосхо- $21 КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ 247 21 дит — . Введем на о н «1„ такие параиетрические представления, чтобы вершинам ломаной «7п отвечали в обоих л представлениях числа вида —, й=О, 1, ..., п, и чтобы, и когда 1 пробегает интервал ~ —, — 1, мы получа,«и дугу /Л Л+1« и и кривой о и соответствующую сторону ломаной о„.
Расстояние между точками линий о и о„, отвечающими одинаковым 21 аначениям параметра, не превосходит — . Следовательно, и и 21 рб7 9.) < — „° Таким образом, совокупность К„ломаных о, образует 21 — сеть для К. Но каждая ломаная определяется 3 1п+ 1) и координатами ее и+ 1 вершин. По условию теоремы они ограничены в совокупности. Поэтому К„компактно.
А тогда, по следствию 1 теоремы 3 9 1, компактно и К, Эта теорема используется для доказательства существования геодезических линий. Критерий компактности в пространстве с базисом. Т с о р е м а 3 Лля компактности множества К бапахова прас«пранства Е с базисом необходимо и досп«аточно, чтобы К было ограничено и чтобы для любого числа е > О существовал номер па такой, что йй„хГ( < е для п)~пе и любого х из Кв). Н е о б х о д и м о с т ь.
Ограниченность множества К вытекает из следствия 3 теоремы 3 9 1. Докажем выполнение второго условия. Возьмем некоторое число «1 ) О и построим конечную «1-сеть для К:1х«, ..., хл1. Для любого х~К найдем х«, принадлежащий «1-сети такой, что К х — х«)( < «1. Будем иметь "') ((Йпл~! = ЕХ вЂ” 5АХ(~ < ((Х вЂ” Х,К -+ ',1Х, — ЯпХ~! ( < ~1х — х,()+ (,'Я„х,— Я„х((+ ))17„х,'( < (11+ 11 А (! ),'1 х — х, ,') +,'( й„х,. 1! < <11.+ ~!А '11) ц+ ~~А«„х,~~. ") Операторы 5 н Р«см. на стр. 171, оператор А ' на стр. 169. 248 компактные множества ~гл.
ч Для каждого фиксированного х гс„х — «О при и-«:о. ПоэтомУ найдетсЯ такое ив, что )(тс„х,а (т1 пРи яр«и дла 1=1, 2, ..., й. Поэтому 'а1члхв < (2+.й А й)й длЯ и)~ив. Достаточно тепеРь взЯть л1= е 2+ яА ''а чтобы получить требуемое неравенство, так как номер ив не зависит от того, какой х взят в множестве К. Д о с т а т о ч н о с т ь. Докажем, что при выполнении условий теоремы существует для любого е ) О конечная е-сеть для множества К. Для этого, имея заданным е, выберем и, так, чтобы (1йых!!< — для всех х~ К. Рассиот- 2 рим затем множество К, состоящее из элементов вида Ьтх, где х ~ К.
Это множество К,„можно рассиатривать как множество. расположенное в и,-мерном пространстве Ел,~Е, определенном элементаии ео ег, ..., ет. Так как, кроме того, в силу неравенства !)Зл,х(( <''й А 'й ~(х(~ и предположенной ограниченности множества К множество К„ ограничено, то оно компактно, и поэтому в Е существует конечная — -сеть для К,„. Но эта же сеть будет, очевидно, 2 е-сетью для множества К, и требуемое доказано.
Критерий компактности в 1я. Для компакт нос ти мнолсества Кс=1е необходимо и достаточно, чтобы множество К было ограниченным и чтобы для любого е ) О существовал номер нв, зависящий лишь от е, такой, что ~г ~~с~в < ее длЯ и)~ив и длЯ любого с=лл1 х=й1 $г 1'. )ЕК. Доказательство сразу следует из предыдущей теоремы, если заметить, что в 1р ! КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ П р н и е р. Рассмотрим в 1, множество элементов х = 1$, ! та- 1 ких, что 0< ч„ < †, т. е. основной параллелепипед координатно>о л' гильбертова пространства. Из предыдущего критерия следует, что этот параллелепипед компактен. П. С.
Урисон докззал, что всякое сепарабельное метрическое пространство гомеоиорфно некоторому подмножеству основного параллелепипеда пространства 1>(32!. Коиечномерность и компактность. Известно, что в и-мерном евклндовом пространстве всякое ограниченное множество компактно. !1окажем, что компактность ограниченных множеств есть характеристическое свойство конечномерных линейных нормированных пространств. Теорема 4. Для того чтобы подпространство Ь линейного нормированного пространства Е было конечномерным, необходимо и достаточно, чтобы киждое ограниченное множество элементов из Ь было компактно. Необходимость.
Пусть Е и-мерно. Тогда Ь гомеоморфно и-мерному евклидову пространству Е„. Ограниченное множество Мг=Ь взаимно однозначно и взаимно непрерывно преобразуется в ограниченное множество АУ~Его и так как >ч' в Е„компактно, то М в Л также компактно. Л о с т а т о ч н о с т ь. Предположим, что каждое ограниченное множество элементов из Е компактно. Возымея в Ь произвольный элемент хи )) х> )) = 1. Обозначим через подпространство, порождаемое элементом хР Если Е = 1ч. то теорема доказана. Если же Л> не совпадает с Е, то по лемме й 3 гл. 1! найдется в Л элемент хг такой, что 1~хзу=1 и Обозначим через Ег подпространство, порождаемое элеиентами х, и х .
Имеются две возможности; либо Е = Е> и теорема доказана, либо Ег не совпадает с Ь. Тогда по лемме найдется элемент х, такой, что 1 1 >>хз>>= ! 1>хз х»>~~ >»хз хз~~~~ 2 ° Продолжим этот процесс. Тогда мо>кно сделать два предположения: либо для некоторого и Ез совпадет с Е и теорема будет доказана, либо мы построим бесконечную комплктные множаствл [гл. ч Лемма. При неограниченном возрастании ~ Лг< «= функция р (Лп Лг, ..., Л„) = )) х — Л,х, — Лгхг— Мы имеел< — Л„х„)) -ь со. <р(Л,, Лг, ..., Л,) )~))Л<х<+Лгхг+ ...
+Л„х„)) — ))х)). Рассмотрим другую непрерывную функцию от параметров Лп Лг, .... ˄— ф(Л,, Лг, ..., Л„) =))Л,х,+Лгх + ... +Л„х„)). На сфере а-мерного евклидова пространства ~ч,< Лг «= (являющейся компактным в себе множеством) эта функция достигает наименьшего значения р, которое больше нуля в силу линейной независимости элементов хп хг, ..., х„. е) На стр.
84 мы определили комплексное пространство А Здесь мы рассматриваем вещественное Лг р которое определяется аналогично. последовательность ) х„) такую, что )) х„)) = 1 и )) х,— х )) )— 1 при и+ т для любых а и т. Но вторая возможность отпадает, так как она означала бы существование ограниченного ())х„))= 1) и некомпактного ~))х„— х„,)))~ — при ачьт) 1 множества, что противоречит условию теоремы. Задача о наилучшем приближении. П.
Л. Чебышев исследовал задачу о наилучших приближениях функций линейными комбинациямн задан«ь<х функций. Придерживаясь принятой здесь терминологии, это были аппроксимации в пространствах С, Лг ре), Е и т. п. Рассмотрим задачу о наилучшей аппроксимации произвольного элемента х нормированного пространства Е линейными комбинациями заданной конечной системы линейно независимых элементов хп хг, .... х„~ Е. Докажем, что вадача о наилучшей аппроксимации разрешима )2).
251 КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ Пусть задано произвольное й > О. Если и Лг > — (й+!!х!!), >=! то Т Л,х; — !!х,'!= >=! Р(Л, Л,, ..., Ли)> =р'Б Л л, 1/ 'л 1=> — !!х!!)~ Г и > У Х л' ' р — !!х!!> и 1=1 и лемма доказана. Те о р е м а.
Существуют вещее>пленные числа Л» ,о> Лл ° ° °, Лл танив, Чта ВЕЛиЧика <о> <о> >р(ЛР Л2, ..., Ли)=!!х — Л>х> — Лэхз — ... — Л„х„!! !'Р(~ 1 Л2 ЛЛ) ГРО ! Р2 . Рл)!= и л л = !!х — ~~.", Л,х,!! — !!х —,'~~~ р>х> !! -4!! ~ч.", (Л,— р,) х>!! ( >=1 >=1 >=1 л и ( ~~", !),, — р, ! !! х> !! ~4 тах ! Л> — р, ! ~~'.! !! х, !!. >=! >а><и ") То есть в конечномериом пространстве, порождаемом элемеятамн хь хь ..„хл, имеется элемент, наиболее близкий к х.
имеел> минимум при Л,=л~~>, Лз=л>2>, ..., Лл=)л л). Утверждение теоремы очевидно, если х линейно зависит от ХР ХТ, ..., Хл. БУДЕМ ТЕПЕРЬ СЧНтатЬ, Чта Х НЕ ЛЕжИт В подпространстве, порожденном злементами хн хэ, ..., х . 11РЕжДЕ ВСЕГО ЯСНО, Чта <Р(ЛР Лз, ..., Лл) ЕСТЬ НЕПРЕРЫВНаЯ функпия своих аргументов, что следует из неравенства компюстныи множвотвл сгл. и В силу леммы ср(Л1, Л2, ....
Лл))~)(х11 вне некоторого шара ч," Л,' (г'. 1=1 Так как этот шар компактен в себе, то !р(Лн Л2, ..., Ли) как непрерывная функция достигает на нем своего наименьшего значения т в некоторой точке (Л~ . Лсг, ..., Лс„ ). Но ч (ср(0, О, .... 0)=11Х11. Поэтому и есть наименьшее значение функции ср(Л1, Лг, ..., Ли) на всем пространстве точек Лн Лг, ..., Лл, чем теорема и доказана. Линейная комбинация Л1 Х1+ Л2 Х2+ ..
+ Лл Хи дающая наилучшую аппроксимацию элемента х, в общем случае не является однозначной. Для получения однол вначзости на аппроксимирующие выражения ~ Л,хс при1=! ходится налагать дополнительные условия. Тзк, в пространстве С (О, 1) рассматривают системы функций, удовлетворяющие так называемому условию Чебышева. Однако можно указать некоторые пространства, в которых наилучшая аппроксимация всегда определяется однозначно. Пространство Е называется строго нормированным, если при х+О, у+О равенство ()х+у(~=((х)(+!1у)! возможно лишь при у=ах, где а ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
