Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Докажем. что сумма углов некоторого треугольника равна и. Пусть х есть точная верхняя граница суммы углов треугольника, и пусть существует треугольник АВС (рис. 5), на котором сумма углов достигает максимальной величины к. Произвольную внутреннюю точку 0 стороны АВ соединим отрезком С0 с вершиной С.

С1) разбивает наш треугольник на два треугольника АОС и ОСВ, сумма углов каждого из которых не превосходит х. С другой стороны, сумма углов обоих треугольников равна оповдилиния, овшив тиоэямы 227 х + и. Следовательно, н+л (2х. Но так как к не превосходит л, то отсюда следует, что Итак, существует треугольник, сумма углов которого равна и, и пятый постулат Евклида доказан. Ошибочным в этом доказательстве было предположение о существовании треугольника, у которого сумма углов достигает своей точной верхней границы (как мы С видим, это равносильно пятому постулату Евклида). В геометрии Лобачевского разность между н и суммой углов треугольника пропорциональна площади последнего и, если эта Ю разность стремится к нуРис.

5. лю, треугольник стягивается в точку. Теорема 1 обобщается на случай так называемых полу- непрерывных функционалов. Функционал у'(х) называется полунепрерывным снизу (сверху), если из условия х„-ьх следует, что ,г (х) ~(1пп у (х„), у (х) )~1пп г" (х„). л соответственно Для таких функционалов имеет место Т е о р е м а 2. Функционал з (х), полунепрерывный снизу (сверху) и определенный на компактном в себе множестве, ограничен снизу (сверху) на етом множестве и достигает на нем своей точкой нижней (верхней) границы.

Эта теорема имеет широкое применение в вариационном исчислении, так как важнейшие классы рассматриваемых в нем функционалов являются полунепрерывнымн. КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА !гл, ч Критерий компактности множества в метрическом пространстве. Мы дадим сейчас обший критерий коипактности множества, расположенного в метрическом пространстве. Для этого введем сперва следуюшее определение: Множество М метрического пространства Х называется е-сетью для множества М того же проетранства, если для любой точки х~ М найдется точка х,~еч' такая, что р(х* хе) < е (в частности. Л может совпадать со всем пространством Х'.

Теорема 3 (Хаусдорфа), Для компактности множества К метрического пространства Х необхо'димо. а в случае полноты Х и достаточно, чтобы для любого числа е) 0 существовали конечная е-сеень для множества К. Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что К компактно. Пусть хг — любая точка из К. Если р(х, х,) < е для всех ХЕК, то конечная е-сеть уже построена.

Если,же это не имеет места, то существует точка хг ~ К такая. что р (х,, х,))~ е. Если для любой точки х ~ К либо р(х, х,) < е, либо р(х, хг) < е, то конечная е-сеть уже построена. Если же это не имеет места, то найдется точка хэ такая, что р(хн хз) )~ е, р(х„хз) )~е. Продолжая так далее. построим точки хн х, ..., х„ такие. что р(х, х;) )~ е при ечь/. Можно сделать два предположения. Либо процесс построения точек после некоторого н-го шага оборвется, т. е. для любого х ~ К будет выполняться одно нз неравенств р(х, х,) <е, е=), 2, ..., )г.

В этом случае хн хг, .... х„образуют конечную е-сеть") для К. Либо указанный процесс построения точек х, можно продолжить неограниченно. Но эта возможность исключается, так как если бы она имела место, то мы получили бы бесконечную последовательность точек хн хг, ..., х„, ... такую, что р(хо х,)) е «) Полезно заметить, что зга е-сеть сос гонт иэ точек множе ства К. опввдклвния. Овп!Ие тйоввмы $ и для 1Ф/, и ни сама эта последовательность, ни' любая ее подпоследовательность не были бы сходящимися, что противоречит предположению о компактности множества К. Д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим, что пространство Х вЂ” полное и что для любого е) О существует конечная е-сеть для К. Возьмем последовательность чисел )е„~, !)ше„=О, и для каждого е„построим конечную е„-сеть л ы) ы) ы)) для множества К.

Возьмем любое бесконечное подмножество тс. К. Около каждой из точек хн), х)п,..., хн) опишем г' " ж замкнутые шары радиуса еи Тогда каждая точка из Т попадет в олин из этих шаров. Так кзк шаров — конечное число, то по крайней мере в одном из них окажется бесконечное множество точек из Т. Обозначим это подмножество множества Т через Ти Возьмем точки х~)). х)а), ...,хь, и опишем около каждой из этих точек замкнутые шары радиуса е). Рассуждая, как и раньше, найдем бесконечное множество Т,~Т), расположенное целиком в одном из построенных шаров радиуса е).

Продолжая так далее. получим последовательность Т,~Та~... =)Т„=)... бесконечных подмножеств множества Т, причем подмножество Т„содержится в замкнутом шаре радиуса е„и, следовательно, расстояние мехшу любыми двумя точками нз Т„не превосходит 2е„. Возьмем теперь точку $) ~ Т), точку $з ~ Т,, отличную от '-',, точку сз~Тз, отличную от точек "., и $,, и т. д. 11олучнм некоторую последовательность точек из Т Эта последовательность сходится в себе. В самом деле ~„~ Т„, и ~„).р ~ Т„ч.„~ Т„для любого натурального р Следовательно, р йлч.л э„) < 2е -+ О при и — ь оо, )э ) О. Так как по условию пространство Х вЂ ' полное, то последовательность Т„ сходится к некоторой точке с~ Х и, следовательно, компактность множества К доказана.

230 комплктнын множнствл 1гл, ч Следствие 1. Для того чтобы множество К полного метрического пространства Х было компактно, достаточно, чтобы для любого е ~ О суигествовала компактная е-сеть для К. Е Пусть М вЂ” компактная — сеть для К. Применяя к М 2 предыдущую теорему, находим, что существует конечная — сеть Фа для М. Тогда гче — конечная е-сеть для К. 2 В самом деле, для любой точки х~ К существует точка а ~ 1ч' такая, что р(х, Ы< —,'.

В свою очередь для точки $~М существует точка х,~Ме такая, что е р($, х,) < —. Следовательно, для любой точки хЕК найдется в )ча такая точка х,, что е е р( х) <р(. ь)+р(ь' г)< 2 + 2 т. е. Лге ЯвлветсЯ конечной е-сетью дла К. Так как пространство Х вЂ” полное, то по предыдущей теореме заключаем, что К компактно.

Следствие 2. Компактное пространство Х сепо рабелвно. В самом деле, возьмем последовательность (еи], е„-+О, и для каждого еи построим конечную е„-сеть И„= (хЯ Пусть М = Ц М„. Очевидно, М вЂ” счетное множество, всюду ч=! плотное в Х. Следствие 3. Компактное множество К метрического пространства ограничено. Пусть Гч', =(хн ..., х„1 есть 1-сеть для К и а — фиксированный элемент пространства Х.

Пусть, далее, д= щахр(а, х,). 23! ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ Очевидно, для любой точки х с К имеем р(х, а)~(!+А и требуемое доказано. Приведем теперь еще два признака компактности множеств в себе, которые могут быть приняты также и за определения этого понятия, Система )О„) открытых множеств пространства Х называется покрытием множества Мг=Х, если каждая точка к~М принадлежит хотя бы одному из множеств О, этой системы. Теорема 4. Для о!ого чтобы замкнутое множество Р метрического пространства Х было компактным в себе, необходимо и достаточно, чтобы из любого покрыпгия этого множества можно было выделать конечное покрытие.

Н е о б х о д и и о с т ь. Пусть ) О,) — система открытых множеств, покрывающих компактное в себе множество Р, такая, что из нее нельзя выделить конечное покрытие. Возьмем последовательность )е„), сходящуюся к нулю. Пусть х1, хг, ..., хв, есть е,-сеть длЯ множества Р. Тогда и! 11! <Ц где р! =О),хг', е1) П р. Легко видеть, что Р1 — компактное в себе множество диаметра, не превышающего 2е,.

Если множество р нельзя покрыть никакой конечной подсистемой, выделенной из )О„), то этого же нельзя сделать по крайней мере для одного из множеств Р1. Пусть Р1, будет множеством, которое нельзя покрыть никакой конечной подсистемой, выделенной из )О,). Рассуждая аналогично, выделим из Р1, компактную в себе часть Р1,1, диаметра, не превышающего 2ег, которую нельзя покрыть никакой конечной подсистемой, выделенной из )Ов), и т.

д. Мы получили последовательность вложенных друг КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА !гл. ч в друга компактных замкнутых множеств р! ~р! ! . !...:зР! ! !!32'''л диаметры которых стремятся к нулю. Пусть хв — точка, принадлежащая всем этим множествам. Так как система (0л) образует покрытие множества Р и хе~ Р, то найдется множество 0т, содержащее эту точку. В силу того, что множество 0т открытое. существует окрестность О (хе, е) точки хз, целиком входящая в 0„,. Выберем теперь я настолько большим, чтобы диаметр был меньше е. Тогда, очевидно, !!"'л Р! р,! с5(хз, е), и мы приходим к противоречию, так как, с одной стороны, множество р, ! ! согласно построению нельзя покрыть ! 2''' л ни одной конечной подсистемой, выделенной из (0л), а с другой стороны, это множество покрыто 0„,.

Характеристики

Список файлов книги