Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 31
Текст из файла (страница 31)
лииепные скнкциоиллы 1гл. гЧ Слабая сходимость в б. Теорема 10. Лля того чтобы последовательность [х„(~)] о= 1р [О, 1] слабо сходилась и влементу хо(г)~ Ее[0, 1], необходимо и достаточно, чтобы 1) последовательность [Зх„~[] была ограничена; 2) Г х„(т)дс — «Г хо(т)дт д,гн любого ~~ [О, 1]. о о Первое условие совпадает с первым условием обшего критерия. Рассмотрим второе условие. Положим 1 для 0 <1-<т, о,(() = 0 для т<(<1. Тогда линейные комбинации функций о,(г), т.
е. суммы ~с,[о, ٠— а, (1)~, тле О=то< т, « ... т„, < т„=1. лежат всюду плотно в со[0, !]=Ц,[0. 1]. Следовательно, чтобы х ( ) хо(')' необходимо и достаточно, чтобы выполнялось первое условие и чтобы при и -« со Г х„(1)а (~) И -«Г хо(1)пч (1) или Г хь (() «~-~ Г хо И) б1 о о для любого т~[0, 1]. Слабая сходимость в гильбертовом прас т р а н с т в е. Так как в гильбертовом пространстве Н всякий линейный функционал у (х) есть скалярное произведение, то в этом пространстве сь «хо слльля сходнмосгь означает, что для любого УЕ Н (хл у) — » (х у) Ранее мы видели, что если хл-»хо, ул-»уо, то (хл, ул)-ь -»(хо, уо).
т. е. скалярное произведение непрерывно по сово купности обоих аргументов относительно сильной сходимости. Если же хл —" » хо. Ул — » уо, то вообще (хл, у,)ть(хо, уо). Так, например, если ха=у»=ел, где [еп! — произвольная ортонормальная последовательность, сп то е,— »О, а (ел, ел) =[[ел!!о= 1-ра 0=(0, О). М = зцр ![у.[!. л Имеем [(ха' Уп) (хо Уо)[~~[(~л «о Ул)[+[(Ео Ул Уо)! < ~~ Л[![хл «о[[+[(хо ул — уо)! и оба слагаемые справа стремятся к нулю. Наконец, отметим, что если хл — "-»хо и ![хл[! — » ![хо![, то хл — »хо, так как [! хл — хо[!'=(хл — хгл хл — х) = [(хл, хл) — (хгл х,)[+ + [(х, хо) — (хо, хл)[ + [(хо, х ) — (хл, хо)[, и все слагаемые справа снова стремятся к нулю. Однако если В самом деле, купности.
Пусть хп -' хо уа» уо то (хл ул)» (хо уо). в этом случае нормы ![У,[! ограничены в сово- ГЛАВА Ч КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА В МЕТРИЧЕСКИХ И НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Более ста лет тому наззд чешский математик Б. Больцано заметил, что всякое ограниченное бесконечное множество точек числовой прямой имеет хотя бы одну предельную точку. и обратил внимание на важность этой теоремы для строгого обоснования математического анализа. Идея выделения сходящейся последовательности из некоторых множеств.
состоящих уже не из точек, а из функций илн кривых, была использована при доказательстве теоремы существования решения обыкновенного дифференциального уравнения, в вариационном исчислении и т. д., и это привело к общему определению компактности множества, расположенного в некотором пространстве. В 1.
Определения. Общие теоремы Множество К, расположенное в метрическом пространстве Х, называется компактным, если всякая последовательность элементов этого множества содержит сходящуюся подпоследовательность. Если пределы указанных последовательностей принадлежат К, то множество К называется компактным е себе, если же эти пределы принадлежат пространству Х, не принадлежа, может быть, множеству К. то К называется компактным е пространстве Х, илн относительно пространства Х. Ясно, что для того, чтобы множество К было компактно в себе, необходимо и достаточно, чтобы оно было компактно в пространстве Х и замкнуто. Если, в частности, каждое бесконечное подмножество пространства Х содержит сходящуюся к некоторому эле опивдвления.
Овщик творимы менту нз Х последовательность, то пространство Х называется нольиантнылг. Компактное метрическое пространство называют также нолвпаатоль. Ясно, что компакт есть полное метрическое пространство. П р и м е р ы. 1. Пусть Х= [О, 1]. Очевидно Х вЂ” компактное пространство в силу теоремы Больцано. 2. Пусть Х = Е, — одномерное евклидова пространство (числовая прямзя), Х иекомпактно. В самом деле, его подмножество М = [1, 2, 3, ..., и, ...) не содержит никакой сходящейся последовательности.
Однако всякое ограниченное множество в пространстве Х компактно в силу теоремы Больцано. 3. Пусть Х есть и-мерное евклидова пространство Е„. Аналогично предыдущему имеем, что Х 'некомпактно, но всякое ограниченное множество элементов этого пространства компактно. 4. Пусть Х С [О, Ц. Это пространство некомпактио и, более того, в С [О, 1] существуют ограниченные некомпактные множества (см. стр. 226). 5. !!усть Х=!ь Это пространство некомпактно. Более того, в этом пространстве имеются ограниченные некомпактные множества.
Таким множеством будет, например, замкнутый единичный шар Г(0, 1) = 5. В самом деле, рассмотрим следу!ощую последовательность точек из 3: в, = ( 1, О, О, ... ], ет = [О, 1, О, ... ), . Имеем [[е! — е 1! = г'2 при ! + /. Поэтому последовательность [е!) и любая ее подпоследовательность ие сходятся, что и доказывает некомпактность 3, Нетривиальным примером компактного в пространстве 1, множества может служить так называемый основной параллелепипед координатного гильбертова пространства, представляющий собой совокупность У точек х= Ди йв ..., $ь, ...), 1 координаты которых удовлетворяют условию О ( йн ~ —. Компактность множества У вытекает из общего признака компактности, который будет сформулирован ниже (стр.
248). Для компактных множеств можно доказать аналог теоремы о вложенных шарах полного метрического пространства, при этом полнота Х не предполагается. Именно имеет место следующая Теорема (Кантора). Пусть дана последовательность Х! -э Хз ~ ° ~ Хл х» кОмпАктные множества (гл, ч пепуетых замкнутых компактных множеств метрического пространства Х. Тогда пересечение К=ПК, 1=! не пусто. В самом деле, выберем в каждом множестве К, по точке хн Получим последовательность (х1) 1=.
К,. Так как К, компактно, то иа (х1) можно выбрать сходящуюся подпоследовательность ~х1„). Пусть хе=1!шхг . га' Так как при любом фиксированном и, начиная с номера га ) и. все члены этой последовательности принадлежат К, и К„замкнУто, то хеЕК„. Но тогда хе~ПК1, и теоРема !=1 доказана. Теоремы существования экстремума.
Доказательство основных теорем о непрерывных функциях, заданных на отрезке, опирается на свойство его компактности. Некоторые из этих теорем можно распространить на непрерывные функционалы, заданные на компактных множествах произвольного метрического пространства. Например, имеет место следующая теорема, являющаяся обобщением известных теорем Вейерштрасса. Теорема 1. Пусть К вЂ” компактное е себе множество пространства Х и Г(х) — непрерывный функционал, заданный на этом множестве.
Тогда 1) функционал г(х) ограничен на К; 2) функционал у(х) достигает на К своих точных верхней и нижней границ. 1. Покажем, что функционал у(х) органичен сверху (аналогично доказывается, что у (х) органичен снизу). Допу* стим противное. Тогда найдется последовательность (х„~ точек из К такая, что у'(х„)) и. Так как К компактно в себе, то последовательность (х„) содержит подпоследовательность (х„„), сходящуюся к точке хеЕК.
Тогда, с одной стороны, г (х„~) ) п„и, следовательно, Т(х„~) — + Оо прч й-+со. С другой стороны, в силу непрерывности функцио- 5 и ОпРеделения. Оящие теоРемы нала всюду на К и, в частности, в точке хз ~(х„) — »У'(хз) пРи )г — » со. Получено противоречие. Следовательно, ограниченность функционала )'(х) доказана. 2. Пусть р = знрг"(х). Это означает, что у'(х) ( р для л»К всех х ~ К и для любого е ) О существует такая точка хеЕК, что У(хг) ) !1 — е.
Следовательно, существует последовательность точек (х„) такая, что р — — ( у (х„) ( р. 1 (1) Так как К компактно в себе, последовательность (х„~ содержит подпоследовательность ~х„~), сходящуюся к точке хе~К. Тогда — — (~(х„~) (р 1 и, следовательно, 1пп У (х„) = !!. С другой стороны, так как г'(х) непрерывен во всех точках множества К и, в частности, в точке хз, то !Пп У(хе ) = у(хз). а-» э Значит, у (хр)= — р, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается, что если а= — 1и1/(х), то хек найдетсЯ такаЯ точка ~в~К, что УЯз)=а. 3 а м е ч а н и е.
Следует отметить, что если непрерывныйй функционал Г'(х) задан на некомпактном е себе множестве Л, то зпрУ(х) и !п11(х) могут не до- ее К как стигаться. Рассмотрим, например, в С 1О, 1] множество гг1 всех функций х(г) таких, что х(О)= О, х(1)= 1 и гпах!х(1)1(1. с комплктныв множвстВА 1гл. ч функционал У (х) = ~ х (1) с(1 о непрерывен на Ат и не достигает на нем своей нижней границы. В самом деле, если х(1)=1", то 1 2л+ 1 Значит. 1п1 у" (х) = О. Но очевидно, что для всякой непрерывной кривой х= х(1), соединяющей точки (О, О) и (1, 1), у (х) ) О (отсюда, в частности, вытекает, что рассматриваемое множество кривых некомпактно, хотя оно и является ограниченным и замкнутым множеством в С [О, 1) ). Таким образом, прежде чем опираться на теорему 1, необходимо убедиться в компактности множества, на котором определен непрерывный функционал.
Гипотеза о достижении точной верхней или нижней границы функционала на некомпактном множестве может привести к неправильным выводам, как показывает предыдущий пример. В качестве второго примера того же рода приведем ложное доказательство пятого постулата Евклида. Известно, что пятый постулат Евклида равносилен гипотезе, что сумма углов хотя бы одного треугольника равна и. Можно совершенно строго доказать, что сумма углов треугольника не может быть больше л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
