Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 26
Текст из файла (страница 26)
1!усть у — линейный функционал определенный на Е„. Для л х= ~! г,е, ЕЕ„, !"— ! гле 1е!, вм ..., е„) — базис в Е„, имеем ч т! ОВП1ИИ ВИД ЛИИВИИЫХ ЕКИКЦИОИЛЛОВ 181 то 11хе)! =! н 1 и !! и У(хе)=чая)дпУ! ° У1= ~ )Я = ~~~У!( 1~х„((, и потому и У~1 ~ Х!.у1~. Из (2) и (3) следует, что /!у(! = ~,1г.! !=1 Если в Еи ввести евклидову метрику, то легко убедиться, что в Е" метрика также будет евклидовой. Согласно терминологии, принятой в тензорной алгебре, элементы пространства Еи называются нонтравариантными, а элементы пространства Еи — !сова риантныл!и. Линейный функционал у(х) представляется в виде скалярного произведения у'(х)=(х, у) где х~Еи, у'~Е„.
061цнй внд линейных функционалов в е. Пусть у(х) — линейный функционал, заданный на в (см. стр. 24). ПОЛОжНМ Еи=(й1»!1, ГдЕ $<»1=1 И $!»1=0 дЛя ! ЧЬ и, И и 1 ! и пусть у (еи) = аи. Так как сходимость в пространстве в есть сходимость по координатам, то лля элемента х= ($1, йз,... . ьи, ...) имеет место равенство х = 11ю хл $»е» = ~~.', с»е». и»=1 Отсюда в силу непрерывности функционала у(х) получаем у (х) = ~р~ Е»у" (е ) = ~ ад».
»=1 »=1 Так как этот ряд должен сходиться для любой числовой последовательности Д»1, то а», начиная с некоторого номера, должны быть равны нулю н, следовательно, 182 ли!!явные е»нкционллы !гл. !ч Так как, обратно, такое вырви!ение для любых вещественных чисел ад и любого натурального а есть линейный функционал в пространстве г, то мы получаем; общий вид линейных функционалов, определенных на т!ространстве з, дается равенством у'(х) = ~ч'., аас . Числа л и а, й = 1, ....
а, однозначно определяются функционалом у. Общий вид линейных функционалов в С[0, 1[. Теорема Рисса. Пусть на С [О, 1[ задан линейный функционал г (х). Так как каждая непрерывная функция, заданная на [О, 1[ ограничена и так как для непрерывной функпии аир х(г)= юах х(Г), оага! оа!а! то пространство С[0, 1[ можно рассматривать как надпространство пространства М [О, 1[, где [,'х[1 =р(х, О)= вяр [х(г)<. о<!а! Заданный в пространстве С[0. ![ функционал у(х) продолжим с сохранением нормы на все пространство М [О, 1[; продолженный функционал обозначим через Р(х). Рассмотрим функции 1 для 0(с(С 0 для г' ($ (1.
Очевидно, Пусть докажем, что д(Г) — функция с ограниченным изменением. Разобьем [О, 1[ на части точками ге = 0 ( Г! ( !з ( ° ° ° ( ~л-! ( Гл = 1 ° Построим сумму л Х [а (г!) — а(г!-гн 1=1 $21 оыцнн внд лннгнных егнкцнонллов 183 и положим е, = з1пп !д (~,) — и (Г,,)!. Тогда л„!К(1!) — а(Ф! !)! = Хе! [Кт — К(Г! )! = !=! ! — 1 л л = ~„еД(Р(и! ) — Р(и, )! = Р ~Уе!(и! — иб ) Отсюда так как !!Р!! = !!Л и Итак, л Х !а И!) — а'(1!-!)! < !!.г"!! и, следовательно, д(Г) — функция с ограниченным изменением. Возьмем любую непрерывную функцию х (1), заданную на !О, 1), и построим функцию гл(1) = ~ х( — ) (и лЯ вЂ” и.~ ! (С)~.
[ л л г„(1) есть ступенчатая функция. Инеем Иоэтому л ! 1!!п Р (ал) =1нп ~ х ( — ) ~у ~ — ) — д ~ )1 = / х Я г1и Я. «=! о С другой стороны, при п — э со последовательность (ал(1)! равномерно сходится к х(1), т. е. !!гл — х!!-+О, а так как функционал Р (х) непрерывен, то Р (лл) — э Р (х).
184 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 1гл. !ч Поэтому Г(х) = ~ х(г) йд (1). о Но р (х) = у (х > для непрерывной функции х(1). Поэтому / (х) = ~ х (1) йд (1). (4) о При этом функция й(1) может быть заменена на функц1по д'(1), совпадающую с ней в точках непрерывности и полу- непрерывную слева: д (1 — 0) =Ю(1) Итак. приходим к теореме Ф.
Рисса. Теорема (Ф. Рисса). Всякий линейный функционал, заданный в про:транстве С [О, 1), выражается с помощью интеграла Стильтьеса по формуле (4), где д(Г) — функция с ограниченным изменением, определяемая по функционалу у'(х). Легко внлеть, что и, обратно, функцнонал 1 р(х) =~ х(Пйй(г). о где й(1) — любая функция с ограниченным изменением. является линейным функционалом в пространстве С(0, 11. В самом деле, аддитивность Ф(х) очевидна, а непрерывность следует из того, что при равномерной сходимости последовательности функций можно переходить к пределу под знаком интеграла Стильтьеса.
Таким образом, убеждаемся, что формула (4) дает общий вид линейных функционалов в пространстве С 10, 1) в том смысле, что этой формулой при всевозможнь1х функциях с ограниченным изменением д(1) выражаются все линейные функционалы в С(0, 11. Найдем норму функционала у'(х). Имеем и ~~й(1,) — й(1,,)! <1~~~<, 4 2! ощцнп внд лнньпных екнкционллов 185 откуда полное изменение ! Ч)а) ())Л. С другой стороны, из (4) 1 1 1 )у(х)) = / х(1)г(д(1) ( щах )х(1)) ~/)д! =~/)д)))х)).
о о<гчи о о (5) Отсюда )Л <~)й). Из (5) и (6) следует, что ! ))у)) =Ч),). (6) В силу линейности функционала у(х) будем иметь у (х) = ~ й»г'(е»). ") Магем. сб. 4 (46), !838. Легко показать, что соответствие между линейными функционалами в С(0, 1) и функциями с ограниченным изменением на )О, !), устанавливаемое формулой (4), взаимно однозначно, если считать тождественными две функции с ограниченным изменением, ' отличающиеся во всех своих точках непрерывности на постоянное слагаемое.
При замене в формуле (4) функции е(1) на д(1) неравенство (6) остается в силе, а неравенство (5) только усилится. Итак, равенство (7) сохраняется. А. А. Марков' ) обобщил теорему Рисса. найдя общий вид линейных функционалов в пространстве С(К) непрерывных функций на некотором компакте К. Общий вид линейных функционалов в 1.
Пусть у(х) — линейный функционал, определенный на 1р. Так как элементы е = )-(»!)С где Ц»'= 1 и,".»!=0 при 1+ А, образуют ьг »» базис в 1р, то любой элемент х ~1р можно записать в виде х = л.'; ~»е». »=~ лиивпныв евнкционалы !гл, ~ч у(х)= ~сДа. а 1 (8) Выясним свойства чисел са. Положим х„=(ф'), где ~!саД1~ ~ з18пса. если А (и. О, если А~а. Число д здесь взято так, чтобы выполнялось равенство 1 1 — + — = !. Р з Тогда у'(х„) = ~~'„~~ !са!а.
а=1 С другой стороны. 1 и у (х„) ~( !! д !1хд = !щ ~ ~~~ ел! а '~я) 1 =~~л Х~"~' ' Таким образом, ! я г и ~'„~ !са!а С, ')щ Я !са~а) откуда 1 ч~~ ~!са'!а «( !я. Это неравенство справедливо для любого а. Поэтому 1 ~'„', ~с„1а <~~д. (са! Е 1,. (9) Итак, Положим у'(е„) = са. Тогда числа с„однозначно определяются функпионалом /. и получаем $2! овщни вид лингиных екнкционллов !вт Обратно, возьмем произвольную последовательность (ие) ~(е. Тогда «Р (х) = Х йаЬ» А=! 1 1 ~у(х)~ = ~од„~( ч.'!)се(е ~ ($„~» 1 ,.".! ~се(е ((х(!.
Следовательно, 1 й'Д ~( ~~~ (с„~» Сравнивая (9) и (гб), заключаем, что ! 'йя =,Я~ ~с„)е () о) Следствие. Возьмем пространство ем Общий внд ли- нейного функционала, определенного на 1а, будет СО у (х) = ~~.", седа. е=! где ~~'.~ с~ (+. со и=! является линейным функционалом в пространстве (р. В самом деле, адднтивность этого функционала очевидна, а ограниченность доказывается с помощью неравенства Гельдера. Таким образом. формула (8) дает обгций вид линейных функционалов в пространстве ! . Вычислим норму функционала у'. Из формулы (8) с помощью неравенства Гельдера получаем 188 1гл. !у ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКПИОНАЛЬГ В функциональном анализе, кроме пространства 1„, рассматривают еше пространство 8 злементаии которого являются всевозможные последовательности чисел х= <Я!. $з..... $„, ...) такие, что ~[-.»< ( оо » 1 причем [<х![ = ~ч~~ [с»<.
Мох!Но доказать, что всякий линейный функционал в пространстве 1 имеет вид СО у (х) = ~'., сД». » ! где <с»< — ограниченная последовательность вешествецных чисел. Норма функционала у дается равенством <Щ = анр <с„<. Общий внд линейных функционалов в пространстве ;8 [О, Ц. Рассмотрим произвольный линейный функционал /(х). ааданный на Ар[0. Ц (р ) 1). Положим 1 для О ($(г, и!Я) = 0 для с(~ (1, и пусть 8'Я=у [и!($)[.
Докажем, что и(С) — абсолютно непрерывная функция. Пусть Ь,=(т!. 1!), !'= 1. 2, ..., и — произвольная система неперекрываюшихся интервалов, расположенных иа отрезке [О. Ц. Введем числа е„ определенные как выше (см. стр. 183). 190 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 1ГЛ. 1У получим г'(ао) = / ел(т)а(т)!1т. о Пусть х (1) — произвольная ограниченная измеримая функция. Тогда найдется такая последовательность ступенчатых функций 1г (1)), что (1) -ь х (1) почти всюду при т-+со.
При этом можно считать, что последовательность (г ®) равномерно ограничена. По теореме Лебега об интегрировании ограниченной последовательности получаем 1 11п1у(х )=йгп ~ х (г)а(г)с(г= Ш т 1 1 = ~ йп х„ (1) а ® А!1 = ~ х (Г) а (г) г(1. о о Так как. с другой стороны, ал(1) -ь х (1) почти всюду и ао(1) равномерно ограничены, то при и! — ьсо. Поэтому /(г„,)-+ г" (х) и, следовательно, 1 у(х) = ~ х(1) а(1)И, о Рассмотрим теперь функцию х„(1), определенную посред- ством равенства ( 1а(1)1» 'з(дна(1), если !~а(1)/(11, О, если /а(1)! > и, % 21 ОВШИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 191 где !) — число, сопряженное с р. т.
е. — +-- =! 1 1 Р Ч Функция х„(1) ограничена и измерима, Следовательно, У(х„) = ~ х„Я а(1) !11 о 1 !/(х„)! < Щ! !!х„!! = !Щ ~ !х„(1)!Р г(т~ Хо С другой стороны, 1 1 !~(хп)! = у (хп) = / ~п(1) и (1) г!1= ~ !хи(1)! !а(г)! л!1 ) о о ! 1 ! Ч ~! .®!! .®! =1~ „()!— е е ! = ~ !х„(1)!" 111, о Следовательно 1 1 1 ~ !х. (1)!' 11 < !!.у!! !;х„!! = !!д(~ !х„(1)!,11~, о !!о О!сюда 1 < 1 ~ !х„(1)! (1 < !!Л. о Но, очевидно, ! х„(г) ! -+ ! а (1) ! е нри п-+ОО почти всюду на: (О, 1), так как аф — суммируемая функция и, следовательно, обращается в бесконечность ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 1гл. !у 1 < 1 [п(г)[ы-~) лг[г - я г[[ о или 1 1 ~ [ц(г)[ч иг <[Л. о (1! ) Отсюда следует, что а (г) Е 1. [О, Ц.
Пусть теперь х(Г) — любая функция из Л„[0, 1[. Тогла су- 1 ществует ~ х(г)а(г)1(г. далее, найдется последовательность о ограниченных функций [х (Г)[ такая, что ~ [ х (г) — хй (г)[ гг о ч при лг -» со. В силу неравенства Гельдера [г х,„ (г) а (г) пг -» [г х (г)а (г) г(г при лг — »оо. Так как х (С) — ограниченные измеримые фуннции, то 1 ~х (г)ц(г)и=у(х„). о Следовательно.
у (х„) — » ~ х щ а (г) 1(г о лишь на множестве точек меры нуль. Переходя к пределу при а-» со, получаем / (х) = ~ х (/) а (/) г(/. о (12) Итак. всякий функционал, определенный на /р [О, 1], можне представить с помощью равенства вида (12). Обратно, если р(/) — произвольная функция, принадлежащая /. ]О, 1], то р(х)= ] х(/)])(Г)!(г а есть линейный функционал, определенный на,/р]0, 1]. В самом леле, аддитивность функционала очевидна, а ограниченность легко следует из неравенства Гельдера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
