Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 25
Текст из файла (страница 25)
а значит, х, = хг, и однозначность представления показана. Возьмем теперь два элемента х' н х" ~ Е. Имеем у(х') — /(х") = у (х' — х") </!)'!! !!х' — х"!,' ( ц,!!У !! Их'+ хо!!+!!х" + хо!! ! ° 174 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКПИОНАЛЫ (гл. !ч Отсюда У (х') — !! 7 !! !!х'+ хе!! < У (х")+.!!Л !! х" + хе!!.
Так как х' и х" — произвольные элементы из Е, независимые друг от друга, то зпр !У(х) — !Щ !!х+хе!!! ~(1п1 (У(х)+!! Е!! /!х+х !/!. «'С с л(с Существует, следовательно, ве1цественное число с, удовлетворяющее неравенствам епр (Е(х) — !!7'!! !!х+хе!!! ~(с ( «Ес ~( !п( ! 7(х) +!!7'!! !!х+ хе!! !. (1) л«а Возьмем теперь любой элемент и Е Е,. По доказанному выше он имеет вид и =х+ гха, где элемент х ~ Е и вещественное число г однозначно определены.
Введем новый функционал ф(и), определив его для элемента и = х+ гхе равенством ф(и)=/(х) — гс, где с — некоторое фиксированное вещественное число, удовлетворяющее неравенствам (1). Очевидно, 7' и ф на Е совпадают. Очевидно также, что ф(и) аддитнвен.
Покажем, что ф(и) ограничен и имеет ту же норму. что и у(х). Рассмотрим два случая. 1) г) О. Из — ~ Е и из (1) получаем Итак, !«р(и)! (!/у!! !!и/!. (2) а и ТЕОРЕМА ВАНАХА — ХАИА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 17б 2) 1 ( О. Из (!) получаем /( — ) — > — !!/!!!! — -!-х (!= — — !!/!!!! +1~~!!= = — !! / !! !! и !!. Отсюда ф(и)=1~/ ~ — ) — с). (г ° г !!/!! !!и!! =!!/!! !!и,'!, т. е.
снова получили (2). Таким образом, неравенство (2) справедливо лля всех и~(Х.; хе)=Е, Заменив в (2) и на — и, получим — ф(и) «~!!/!!!!и!!. Отсюда и из (2) !ф(л)! <!!/!!!! !, откуда !!'р !! < !!/!! Но так как функционал ф есть продолжение функционала / с1.на Е,,то И!! >!!/!! Следовательно.
!!ф!!=!!/!! (отметим. что норму функционала ф мы определяем, исходя из того линейного многообразия, на котором он определен). Таким образом, функционал /(х) продолжен на Е, =(1.; х ) с сохранением нормы. Если пространство Е сепарабельно. то доказательство теоремы Банаха — Хана можно завершить следующим образом. Пусть )т' — счетное всюду плотное множество в Е. Возьмем влементы етого множества, которые не попали в Ь, и занумеруем их: ХВ, ХИ Х,, ..., Х„, .
Распространяя функционал /(х) на многообразия (Ь1 ха)=/.и (/.,1 х,) =Ц..., и т. д., мы в конце концов построим некоторый линейный функционал ю„, определенный на всюду плотном в Е линейном 176 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ (гл. Еч многообразии 1, равном объединению всех Л„, причем Продолжая затем функционал гр по непрерывности на все Е (теорема 3), мы приходим к требуемому функционалу Е. В общем случае доказательство теоремы Банаха — Хана завершается так. Рассмотрим всевозможные продолжения с сохранением нормы функционала у.
Как показано выше, такие продолжения существуют. В множестве Ф этих продолжений введем частичное упорядочение, полагая, что У' < У". если линейное многообразие 1.', на котором определен /'', является частью линейного многообразия Ь", на котором определен у", и у'(х) = г'"(х) при х ~ 1.'. Ясно, что соотношение ~' ( У" обладает всеми свойствами упорядочения.
Пусть теперь ~Я вЂ” произвольное упорядоченное подмножество множества Ф. Это подмножество имеет верхнюю грань, которой является функционал у., определенный на линейном многообразии Е„= Ц Ь„ где Е, — область опрея деления у,, причем г' (х)= г (х). если х~Т., есть элемент Ь„,. Очевидно, у,— линейный функционал и 8у„'8=8у8, т.
е. )',ЕФ. Таким образом, мы видим, что все условия леммы Цорна выполнены, и Ф имеет максимальный элемент Е. Этот функционал определен на всем Е, так как в противном случае его можно было бы продолжить и Р не был бы максимальным элементом Ф. Теорема полностью доказана.
3 а и е ч а н и е. Так как число с, удовлетворяющее (1), можно выбирать по-разному и максимальный элемент в множестве Ф может быть не один, то продолжение линейного функционала по теореме Банаха — Хана вообще не однозначно.
Г. А. Сухомлинов в) обобщил теорему о распространении функционалов на случай пространств с комплексными и кватернионными множителями. С л е д с т в и е 1. Пусть Š— линейное нормированное пространство и хзФΠ— любой фиксированный элемент из Е. ~) Метем. сб. 3 (45), 1938. $ Ц ТЕОРЕМА БАНАХА — ХАНА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 177 Тогда существует линейный функционал у(х), определенный на всем Е и такой, что 1) !!П= 1, 2) У(хе) =!!х,Д. Рассмотрим множество элементов (1хе! =й, где 1 пробегает всевозможные вещественные числа. Множество Е является подпространством пространства Е, определяемым элементом хе. На Ь определим функционал ф(х) следующим образом: если х = 8хе, то Р (хе) !! хе !! ' Очевидно, 1) ф(хе) !!хе!!, 2) !ф(х)! = !Г! !/хе!!=!/х!!, откуда !/~р!!= 1. Продолжая функционал ф(х) на все пространство без увеличения нормы, получим функционал 7 (х), имеющий тре- буемые свойства.
С л е д с т в и е 2. Пусть в линейном нормированном про- странстве Е заданы линейное многообразие Ь и элемент хе ~ 1„ находящийся на расстоянии д .Р 0 от е (и = 1п1 !!хе — х!!). иаэс Тогда существует функционал 7" (х), определенный всюду на Е и такой, что 1) 7'(х) = 0 для х ~ 7.. 2) 7" (хе) = 1, з) !!у!!= — „. 1 Рассмотрим множество (Ь; хе). Любой его элемент одно- значно представим в виде и=х+(хе, где хбг и Г— вещественное число. Построим функционал ~р(и) по следую- щему закону: если и = х+ 1хе, то гр (и) = Е Очевидно, ф(х)=0, если хат, и ф(хо)= 1 ° Найдем !!ф!!.
Имеем 178 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦНОНАЛЫ 1гл. Йг откуда !!ф!!( — „'. Далее, существует последовательность (х,)с=Е такая, что (4) 1! щ!!Хе — Хо!!= А е Имеем !ф(х„— хе)!~(!!ф!! !!х„— хе!!. И так как !ф(х„— х,)! = !ф(х„) — ф(х,)! =!. то 1 <!!ф!! !!х. — хе!! Переходя к пределу. находим 1 <!!ф!!и или !!ф!! > Сравнивая (4) и (5), получаем !!ф!! = — „. Продолжив ф(х) на все пространство с сохранением нормы, получим функционал 7(х), имеющий требуемые свойства. Первое следствие доказывает существование в любоьг линейном нормированном пространстве функционала.
не равного тождественно нулю. С другой стороны, из этого следствия вытекает, что если для некоторого элемента х линейного нормированного пространства Е выполняется равенство )'(х) = О для любого линейного функционала из сопряженного пространства Е', то х = О. Этому следствию можно дать также геометрическое истолкование, заключающееся в следующем: Через всякую точку хе, расположенную на иоверхности шара !!х!! <, г, т.
е. такую, что !!Хе!!= г, мохсио провести оиоркую илоскость к етому шару. Эта теорема есть обобщение предложения. доказанного лля и-мерного пространства Г. Минковским, ап ТЕОРЕМА БАНАХА — ХАНА Н ЕЕ СЛРДСТВНЯ 179 В самом деле, уравнение опорной плоскости к такому шару должно иметь вид Г (х) =г))у)!. Но для точки хе можно построить функционал у с нормой 1, для которого УО (хе) !! хе)! г' (б) Плоскость УО(х)=г является опорной и проходит в силу (6) через точку хе. Второе следствие интересно для выяснения вопроса о возможности аппроксимирования заданного элемента хе линейными комбинациями других заданных элементов )хн хм ..., хл, ...) ~Е. Именно, из второго следствия вытекает, что для того, чтобы хе был пределом некоторой л последовательности линейных комбинаций вида ~ с,хн 1=1 необходимо и достаточно, чтобы у(хе)=0 для всех линейных функционалов г, обращающихся в нуль на элементах хн хя,....
Действительно, пусть из у(х,)=0, 1=1, 2, ..., следует У(хе)=0. Тогда хе не может находиться на расстоянии Н ) 0 от линейного многообразия Л, порождаемого элементами )х;), ибо в противном случае по второму следстви1о существовал бы функционал уе такой, что уе(х,) = О, 1 = 1, 2, ..., а (О (хе) = 1. Но, если г( = О, то это означает, что или хе есть предельная точка линейного многообразия 1., или хе ~ Л, и, следовательно, хе может быть л аппроксимнрован элементами вида ~ с,хн (=1 Обратно, пусть хе есть предел последовательности элементов из 1, и пусть г (х,) = 0 для некоторого функционала у.
Тогда, полагая "л хО=11а$„, $„= ~ с)юхн найдем, что г (ф 1= ~~р~ с)л1/(х,.)= 0 и, следовательно, у(хе) =у(11аьл) =11аУ(9.) =О 1ЗО лннвиныг Функционллы 1гл. !ч ф 2. Общий вид линейных функционалов в некоторых функциональных пространствах и и у (х) = / ~ ~,. с!е! ) = ~ ~су (е!) = ~ "., у"!. 1=! г=! !=! Обратно, выражение вида л у (х) = ~ ~,~!, тле Г! — произвольные числа, есть, очевидно, линейный функционал иа Е„. Таким образом, выражение (1) дает общий вид линейного функционала, определенного на а-мерном пространстве. Так как г"! можно рассматривать как компоненты л-первого вектора г", то пространство Е„, сопряженное с Е„, есть также а-мерное пространство с метрикой, вообще говоря, отличной от метрики Е„.
Пусть, например, йх)~= щах(~г(; тогда и И / л )у(х)~= ~ ~ьу! «(~~.', ~э! !!у! !.4( ~~ !у! ( (~лй, откуда л ~).у~~ «~ Х, ~~!~. (2) С другой стороны, если взять элемент !! ла = Хз(Дну! е! Е Е„, ! ! Для многих конкретных функциональных пространств можно указать общий вид линейных функционалов, опрелсленных на этих пространствах. Знание общего вида линейных функционалов может оказаться полезным при различных исследованиях функциональных пространств. Линейные функционалы в и-мерном пространстве Е„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
