Главная » Просмотр файлов » Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа

Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 25

Файл №1134949 Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа) 25 страницаЛ.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949) страница 252019-05-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

а значит, х, = хг, и однозначность представления показана. Возьмем теперь два элемента х' н х" ~ Е. Имеем у(х') — /(х") = у (х' — х") </!)'!! !!х' — х"!,' ( ц,!!У !! Их'+ хо!!+!!х" + хо!! ! ° 174 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКПИОНАЛЫ (гл. !ч Отсюда У (х') — !! 7 !! !!х'+ хе!! < У (х")+.!!Л !! х" + хе!!.

Так как х' и х" — произвольные элементы из Е, независимые друг от друга, то зпр !У(х) — !Щ !!х+хе!!! ~(1п1 (У(х)+!! Е!! /!х+х !/!. «'С с л(с Существует, следовательно, ве1цественное число с, удовлетворяющее неравенствам епр (Е(х) — !!7'!! !!х+хе!!! ~(с ( «Ес ~( !п( ! 7(х) +!!7'!! !!х+ хе!! !. (1) л«а Возьмем теперь любой элемент и Е Е,. По доказанному выше он имеет вид и =х+ гха, где элемент х ~ Е и вещественное число г однозначно определены.

Введем новый функционал ф(и), определив его для элемента и = х+ гхе равенством ф(и)=/(х) — гс, где с — некоторое фиксированное вещественное число, удовлетворяющее неравенствам (1). Очевидно, 7' и ф на Е совпадают. Очевидно также, что ф(и) аддитнвен.

Покажем, что ф(и) ограничен и имеет ту же норму. что и у(х). Рассмотрим два случая. 1) г) О. Из — ~ Е и из (1) получаем Итак, !«р(и)! (!/у!! !!и/!. (2) а и ТЕОРЕМА ВАНАХА — ХАИА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 17б 2) 1 ( О. Из (!) получаем /( — ) — > — !!/!!!! — -!-х (!= — — !!/!!!! +1~~!!= = — !! / !! !! и !!. Отсюда ф(и)=1~/ ~ — ) — с). (г ° г !!/!! !!и!! =!!/!! !!и,'!, т. е.

снова получили (2). Таким образом, неравенство (2) справедливо лля всех и~(Х.; хе)=Е, Заменив в (2) и на — и, получим — ф(и) «~!!/!!!!и!!. Отсюда и из (2) !ф(л)! <!!/!!!! !, откуда !!'р !! < !!/!! Но так как функционал ф есть продолжение функционала / с1.на Е,,то И!! >!!/!! Следовательно.

!!ф!!=!!/!! (отметим. что норму функционала ф мы определяем, исходя из того линейного многообразия, на котором он определен). Таким образом, функционал /(х) продолжен на Е, =(1.; х ) с сохранением нормы. Если пространство Е сепарабельно. то доказательство теоремы Банаха — Хана можно завершить следующим образом. Пусть )т' — счетное всюду плотное множество в Е. Возьмем влементы етого множества, которые не попали в Ь, и занумеруем их: ХВ, ХИ Х,, ..., Х„, .

Распространяя функционал /(х) на многообразия (Ь1 ха)=/.и (/.,1 х,) =Ц..., и т. д., мы в конце концов построим некоторый линейный функционал ю„, определенный на всюду плотном в Е линейном 176 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ (гл. Еч многообразии 1, равном объединению всех Л„, причем Продолжая затем функционал гр по непрерывности на все Е (теорема 3), мы приходим к требуемому функционалу Е. В общем случае доказательство теоремы Банаха — Хана завершается так. Рассмотрим всевозможные продолжения с сохранением нормы функционала у.

Как показано выше, такие продолжения существуют. В множестве Ф этих продолжений введем частичное упорядочение, полагая, что У' < У". если линейное многообразие 1.', на котором определен /'', является частью линейного многообразия Ь", на котором определен у", и у'(х) = г'"(х) при х ~ 1.'. Ясно, что соотношение ~' ( У" обладает всеми свойствами упорядочения.

Пусть теперь ~Я вЂ” произвольное упорядоченное подмножество множества Ф. Это подмножество имеет верхнюю грань, которой является функционал у., определенный на линейном многообразии Е„= Ц Ь„ где Е, — область опрея деления у,, причем г' (х)= г (х). если х~Т., есть элемент Ь„,. Очевидно, у,— линейный функционал и 8у„'8=8у8, т.

е. )',ЕФ. Таким образом, мы видим, что все условия леммы Цорна выполнены, и Ф имеет максимальный элемент Е. Этот функционал определен на всем Е, так как в противном случае его можно было бы продолжить и Р не был бы максимальным элементом Ф. Теорема полностью доказана.

3 а и е ч а н и е. Так как число с, удовлетворяющее (1), можно выбирать по-разному и максимальный элемент в множестве Ф может быть не один, то продолжение линейного функционала по теореме Банаха — Хана вообще не однозначно.

Г. А. Сухомлинов в) обобщил теорему о распространении функционалов на случай пространств с комплексными и кватернионными множителями. С л е д с т в и е 1. Пусть Š— линейное нормированное пространство и хзФΠ— любой фиксированный элемент из Е. ~) Метем. сб. 3 (45), 1938. $ Ц ТЕОРЕМА БАНАХА — ХАНА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 177 Тогда существует линейный функционал у(х), определенный на всем Е и такой, что 1) !!П= 1, 2) У(хе) =!!х,Д. Рассмотрим множество элементов (1хе! =й, где 1 пробегает всевозможные вещественные числа. Множество Е является подпространством пространства Е, определяемым элементом хе. На Ь определим функционал ф(х) следующим образом: если х = 8хе, то Р (хе) !! хе !! ' Очевидно, 1) ф(хе) !!хе!!, 2) !ф(х)! = !Г! !/хе!!=!/х!!, откуда !/~р!!= 1. Продолжая функционал ф(х) на все пространство без увеличения нормы, получим функционал 7 (х), имеющий тре- буемые свойства.

С л е д с т в и е 2. Пусть в линейном нормированном про- странстве Е заданы линейное многообразие Ь и элемент хе ~ 1„ находящийся на расстоянии д .Р 0 от е (и = 1п1 !!хе — х!!). иаэс Тогда существует функционал 7" (х), определенный всюду на Е и такой, что 1) 7'(х) = 0 для х ~ 7.. 2) 7" (хе) = 1, з) !!у!!= — „. 1 Рассмотрим множество (Ь; хе). Любой его элемент одно- значно представим в виде и=х+(хе, где хбг и Г— вещественное число. Построим функционал ~р(и) по следую- щему закону: если и = х+ 1хе, то гр (и) = Е Очевидно, ф(х)=0, если хат, и ф(хо)= 1 ° Найдем !!ф!!.

Имеем 178 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦНОНАЛЫ 1гл. Йг откуда !!ф!!( — „'. Далее, существует последовательность (х,)с=Е такая, что (4) 1! щ!!Хе — Хо!!= А е Имеем !ф(х„— хе)!~(!!ф!! !!х„— хе!!. И так как !ф(х„— х,)! = !ф(х„) — ф(х,)! =!. то 1 <!!ф!! !!х. — хе!! Переходя к пределу. находим 1 <!!ф!!и или !!ф!! > Сравнивая (4) и (5), получаем !!ф!! = — „. Продолжив ф(х) на все пространство с сохранением нормы, получим функционал 7(х), имеющий требуемые свойства. Первое следствие доказывает существование в любоьг линейном нормированном пространстве функционала.

не равного тождественно нулю. С другой стороны, из этого следствия вытекает, что если для некоторого элемента х линейного нормированного пространства Е выполняется равенство )'(х) = О для любого линейного функционала из сопряженного пространства Е', то х = О. Этому следствию можно дать также геометрическое истолкование, заключающееся в следующем: Через всякую точку хе, расположенную на иоверхности шара !!х!! <, г, т.

е. такую, что !!Хе!!= г, мохсио провести оиоркую илоскость к етому шару. Эта теорема есть обобщение предложения. доказанного лля и-мерного пространства Г. Минковским, ап ТЕОРЕМА БАНАХА — ХАНА Н ЕЕ СЛРДСТВНЯ 179 В самом деле, уравнение опорной плоскости к такому шару должно иметь вид Г (х) =г))у)!. Но для точки хе можно построить функционал у с нормой 1, для которого УО (хе) !! хе)! г' (б) Плоскость УО(х)=г является опорной и проходит в силу (6) через точку хе. Второе следствие интересно для выяснения вопроса о возможности аппроксимирования заданного элемента хе линейными комбинациями других заданных элементов )хн хм ..., хл, ...) ~Е. Именно, из второго следствия вытекает, что для того, чтобы хе был пределом некоторой л последовательности линейных комбинаций вида ~ с,хн 1=1 необходимо и достаточно, чтобы у(хе)=0 для всех линейных функционалов г, обращающихся в нуль на элементах хн хя,....

Действительно, пусть из у(х,)=0, 1=1, 2, ..., следует У(хе)=0. Тогда хе не может находиться на расстоянии Н ) 0 от линейного многообразия Л, порождаемого элементами )х;), ибо в противном случае по второму следстви1о существовал бы функционал уе такой, что уе(х,) = О, 1 = 1, 2, ..., а (О (хе) = 1. Но, если г( = О, то это означает, что или хе есть предельная точка линейного многообразия 1., или хе ~ Л, и, следовательно, хе может быть л аппроксимнрован элементами вида ~ с,хн (=1 Обратно, пусть хе есть предел последовательности элементов из 1, и пусть г (х,) = 0 для некоторого функционала у.

Тогда, полагая "л хО=11а$„, $„= ~ с)юхн найдем, что г (ф 1= ~~р~ с)л1/(х,.)= 0 и, следовательно, у(хе) =у(11аьл) =11аУ(9.) =О 1ЗО лннвиныг Функционллы 1гл. !ч ф 2. Общий вид линейных функционалов в некоторых функциональных пространствах и и у (х) = / ~ ~,. с!е! ) = ~ ~су (е!) = ~ "., у"!. 1=! г=! !=! Обратно, выражение вида л у (х) = ~ ~,~!, тле Г! — произвольные числа, есть, очевидно, линейный функционал иа Е„. Таким образом, выражение (1) дает общий вид линейного функционала, определенного на а-мерном пространстве. Так как г"! можно рассматривать как компоненты л-первого вектора г", то пространство Е„, сопряженное с Е„, есть также а-мерное пространство с метрикой, вообще говоря, отличной от метрики Е„.

Пусть, например, йх)~= щах(~г(; тогда и И / л )у(х)~= ~ ~ьу! «(~~.', ~э! !!у! !.4( ~~ !у! ( (~лй, откуда л ~).у~~ «~ Х, ~~!~. (2) С другой стороны, если взять элемент !! ла = Хз(Дну! е! Е Е„, ! ! Для многих конкретных функциональных пространств можно указать общий вид линейных функционалов, опрелсленных на этих пространствах. Знание общего вида линейных функционалов может оказаться полезным при различных исследованиях функциональных пространств. Линейные функционалы в и-мерном пространстве Е„.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
9,47 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее