Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Обратное неверно, как показывает следуюший пример. Пусть Š— гильбертово пространство Н с ортонормальным базисом (е,, е,...., е„....). Пусть А„есть оператор проектированияя на подпространство Н„, порожденное элементами еп е,...., е„. Для любого х Е Н л Ол А„х = ~и~~ (х, е„) е, -«ля (х, е,) е, = х г=г г=г и. следовательно, А„ -« / в смысле точечной сходимости. С другой стороны, для ев < 1, любого л и р ) О имеем ))А„е„+,— Аллрел+г)(= ()ел«,)(=1 > е, и, следовательно, равномерная сходимость последовательности (А„) в единичном шаре )(х()< ! пространства Н не имеет места, $41 ПРОСТРАНСТВО ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 149 Т е о р е и а 2.
Если и рост ранства Е„и Е» полные, то пространство линейных ограниченных операторое также полно в смысле точечной сходимости. Так как для каждого х последовательность )Алх) сходится в себе. то для наждого х существует у=йш А„х л и мы получаем оператор у = Ах, определенный на Е . с об пастью значений в Е». Как и выше, убеждаемся, что А — линейный оператор. Доказательство ограниченности оператора А вытекает из следующей теоремы: Теорема 3 1Банаха — Штейнхауса). Если последовательность линейных ограниченных операторов сходится в себе в ка»идой точке х банахова пространства Е„, то последовательность норм )))А„))) втих операторов ограничена. Предположии противное. Тогда множество ) )) А„х)) ) не ограничено на любом замкнутом шаре ))х — хо!) (е.
В самом деле. если ))А„х)) (с для всех и и всех х из некоторого шлра 51хо, е), то для любого Е Е Е„элемент е х= — $+х, ))16) принадлежит этоиу шару и, следовательно. )) А„х)) ( с, п = 1, 2, ..., нли — ))А„~)) — ))А„хо)) () ) ь)) Аль)+ Алхо)) (с' Отсюда лс)) ( +))~~~~)) ))ье)) Так как в силу сходимости последовательности )Алх„) последовательность норм )))А„хо))) ограничена, то )) Ал".)) ( с,)) Ц, и = 1, 2, .
1гл. гы линсгшын Опсглтогы и, следовательно, ~(А„'я (сп в=1, 2, ..., что противоречит сделанному предположению. Пусть теперь Ув(хв, ев) — любой замкнутый шар в Е; на неи последовательность ()~А„х,'() не ограничена и потому существуют номер и, и элемент х, ~8~ такие, что ((А»,х1~( > 1 В силу непрерывности оператора А„, это неравенство выполняется в некотором замкнутом шаре У,(хп е,)~Ба.
На 5, последовательность (~)А„х(1) снова не ограничена и снова найдутся номер л,, ия > ао и элемент х,~ Б, такие, что яА»,,хя'я > 2. В силу непрерывности оператора А»н это неравенство сохраняется в некотором замкнутом шаре Гт(хя, е,)~5, н т. д. Можно считать, что е,-ьО при и — ьоо.
Тогда будет существовать точка х, принадлежащая всем шарам У„(х„, е„). В этой точке что противоречит условию, что последовательность (А„х) сходится для всякого х ~ Е . Теорема, таким образом, доказана. Возвращаясь к оператору А»=!пп А„х, л из неравенства ((А„х((~( М()х)~, п = 1, 2, . вытекающего из теоремы Банаха — Штейнхауса, в пределе при и — ьсо получаем йАх)!(М))х(), т. е. ограниченность оператора А. 3 а м е ч а н и е. В формулировке теоремы Банаха — Штейн- хауса вместо сходимости в себе последовательности операторов 1А„) в каждой точке х Е Е» можно потребовать ограниченности этой последовательности в каждой точке пространства.
При этом доказательство теоремы не изменится. Ь 41 ПРОСТРАНСТВО ЛИНЕЯНЫХ ОПЕРАТОРОВ 1б1 Итак, существует предел любой точечно сходящейся в себе последовательности линейных ограниченных операторов, который также является линейным ограниченным оператором, т. е. пространство операторов полно в смысле точечной сходимости. Часто оказывается полезной следующая Т е о р е м а 4. Для того чтобы последовательность !Ап1 операторов точечно сходилась к оператору А, необходилсо и досгпаточно, чтобы 1) последовательность [!!Ал!!] была ограничена; 2) Алх — лАох для любого х иэ некоторого множества Х, линейные комбиналии элементов которого лежат всюду плотно в Е .
Необходимость первого условия есть не что иное, как доказанная выше теорема Банаха — Штейнхауса, необходимость второго условия очевидна. Требуется доказать лишь достаточность этих условий, Пусть М = впр !!АД, =о, ь,... и пусть Е(Х) — линейная оболочка множества Х. В силу линейности операторов Ал и Аои второго условия Апх-ь Аох для любого х Е Е(Х). Возьмем теперь элемент й пространства Е, не принадлежащий Ь (Х). Для заданного е ) О найдется элемент х ~ Е (Х) такой, что !!э — х!! < —. Имеем 4М ' !! ль ~оп!! <!! лл Лпх!!+!! лх Аох!!+!!Лог Лол!1~<л <!!Алх Аох!!+(!!'4л!!+ 4о!!)1!х — «!! < !!Апх — 4ох!1+ 2 В силу того, что Ллх л А„х.
найдется номец по такой, что !!Алх — Аох1!» 2 для п)~по. Поэтому для гг)~ по имеем !!А„$ — АоЦ < е. и теорема доказана. 152 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1гл. и1 1!Н О О 1(т 1!т! О ! 2 1!з! 1!з! 1!з! г з (2) Для виданной функции х(1), определенной па отрезке [0,1[ строится иятерполяциояпый мяогочлея Лагранжа 1.„х, узлами которого являются точки и-й строки матрицы Т, Ь„Х и ! Х [гьвп') 1~1! (1), где и мп (1) П чг гь )' ь=! 1(п»(1) мп (г) мп (1)(1 'ь ) Какова бы яи была матрица Т, существует непрерывная Функция х(1), для которой иптерполяциояяый многочлея Епх не стремится равномерно к х(1) при н-ьо». Будем рассматривать Б„х как оператор, преобразующий функцию х(г)ЕС [О, 1[ в влемеит того же пространства. Введем, кроме того, в рассмотрение величину Л„= шал Хп (1), гле ).е (1) = ~чР~ ( (~ь~ (1) ~.
ь=! Тогда нетрудно доказать [22[, что [ (.и [ = 1" и. С другой стороны, имеет место неравенство С. Н. Бернштейна Л> !пп 8[г я Следовательно, [Б [ь о при и -ь о». Отсюда сразу следует сформулированная выше теорема, ибо если бы ьпх -ьх дла всех я~С [О, 1[, то ноРмы [[йп[ были бь' ограничены. Применения н теории интерполирования. Доказанная выше теорема Банаха — Штейикауса имеет многочисленные применения. В качестве примера такого применения приведем следующую теорему.
Теорем а 5. Пусть яа отрезке [О, 1[ заданы точки, образующие бесконечную треугольную матрицу ОЬРАтные опеРАтоРы $ б. Обратные операторы Определения. Мы уже ввели понятие обратного оператора и указали на важность этого понятия. С понятием обратного оператора связаны. как мы сейчас увидим, вопросы о существовании и единственности решения операторных уравнений вида Ах=у, (1) где у — известный элемент линейного пространства Е, а х— искомый элемент того же пространства. Так как к уравнениям вида (1) относятся линейные алгебраические системы.
линейные дифференциальные, линейные интегральные и дру гне уравнения, то очевидно, что нахождение оператора, обратного данному оператору, является весьма важным, Итак, рассмотрим уравнение (1) н предположим, что оператор А имеет обратный оператор А '. Положим х= А у. Подставляя это значение в (1), получим тождество АА у=у, т. е. у=у.
Следовательно, х=А 'у есть решение уравнения (1). Допустим, что сушествует х, — другое решение уравнения (1): Ах, =у. Действуя на обе части этого равенства оператором А ° получим -1 х,=А у=х. Следовательно, решение х = А 'у единственно. Если оператор А имеет правый обратный оператор С, то, как легко убелиться, х=Су есть решение уравнения (1). однако вопрос о единственности остается открытым. Допустим, что оператор А имеет левый обратный В. Тогда, если уравнение (1) имеет решение х, т.
е. Ах=у, ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !Гл. Нв А Ах =х (2) лля любого х Е Е и АА у=у (2') лля любого у Е Е, то операторы А и А ' называются взаимно обратными. Из этого определения следует. в частности, что (А ) =А. Если оператор А ' удовлетворяет лишь одному из предылуших условий, то он называется левым, соответственно правым. обратным для оператора А. Легко показать.
что Оператор. обратный к линейному. также линеен. В самом деле, пусть х=А (у,+у) — А у,— А ут. Имеем в силу аддитивности А Ах=АА '(уг+у) — АА уг — АА уз= =(у1+у,) — у,— ут=б то, применяя слева к обеим частям этого равенства опера- торВ, находим, что х=Ву, т, е. что решение единственно. Однако вопрос о существовании решения остается открытым. Анализ предыдущих рассуждений показывает, что обратный оператор (двусторонннй, левый или правый) мы применяем не к любому х ~ Е, а лишь к элементам вида Ах, т. е. к образам элементов пространства Е. Совокупность этих образов есть некоторое линейное многообразие (часть пространства Е).
Обобщая указанную ситуацию, мы приходим к следующему более общему определению обратного оператора. Пусть даны два линейных пространства Е и Е„и оператор А, отображающий Е на Е . Если существует оператор А, определенный на Е, со значениями в Е такой, что ОБРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Отсюда х=А Ах=А 0=0, т. е А (у!+ уг) = А уь+ А уг и адлитивность оператора А ' доказана.
Аналогично уста— 1 нзвлизается однородность оператора А . Однако из непрерывности оператора А в некоторой топологии, вообще гав>ря, не следует непрерывность обратного оператора в той же или другой топологии, т. е. оператор, обратный к линейному ограниченному, может не быть линейным ограниченным оператором. Теоремы об обратном операторе.
Приведем несколько теорем, даюшь!х достаточные условия существования обратного линейного ограниченного оператора. Предварительно сделаем одно замечание. Пусть линейный ограниченный оператор А отображает Е на Е„ взаимно однозначно. Тогда существует обратный оператор А который является линейным. В самом деле, для любого у Е ЕР существует лишь один прообраз х РЕ„. Ставя в соответствие каждому элементу у ~ Ет его прообраз х Е Е ., мы получаем оператор А , который по смыслу своего определения удовлетворяет условиям (2), а из этих условий вытекает линейность оператора А Те о р ем а П Пусть линейный оператор А, отображаюиьий линейное нормированное пространство Е на линейное нормированное пространство Е, удовлетворяет для л!обого хе Е, условию ((Ах(()~т!)х(), т ) О, (3) где т — некоторая константа.
Тогда существует обратный линейный ограниченный оператор А Из условия (3) следует, что А отображает Е на Е„ взаимно однозначно: если Ах, = у и Ахг — — у, то А(х,— хг)=0 и согласно (3) т((х! — хг~(~()(А (х, — хД!) = О, откуда х, = хг. Поэтому, как показано выше, существует линейный оператор А '. Этот оператор ограничен, что сразу ггл. Еы ЛННЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ же следует из (3): ~А 'у~ ( — ((АА у1= — ((У(! для любого У~Е„. Теорема доказана. Рассмотрим два линейных ограниченных оператора А и В, отображающих линейное нормированное пространство Е в себя. Тогда имеет смысл произведение АВ. Покажем, что (4) ((АВ(! ~((! А(! ((В((.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
