Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Для произвольных же неограниченно диффереицнруемых функций формулы Грегори и Эйлера — Маклорена нуждаются з лальнейшем обосновании, например, с помощью оценки остаточных членов, э и ОпеРАтОРы В нОРмиРОВАнных пРОстРАнстВАх 133 5 2. Линейные операторы в линейных нормированных пространствах Пусть Е и Е„ — линейные нормированные пространства. Так как линейное нормированное пространство есть частный случай линейного топологического пространства, то для линейных нормированных пространств сохраняется прежнее опрелеление линейного оператора, заданного на Е, с областью аначений. расположенной в Е, а также остаются в силе теоремы 1 и 2.
доказанные в предыдущем параграфе. Отметим лишь, что так как сходимость в Е и Е„ есть сходимость по норме, то непрерывность оператора А означает, что )(Ах„— Ах(~ -+О при 3х„— х!! — ьб. Операторы, рассмотренные в примерах 1 и 2 3 1, являются линейными непрерывными операторамн, преобразующими саик в себя линейные нормированные пространства Е„и С[0, 1). Оператор примера 3 также является линейным непрерывным оператором, преобразующим линейное нормированное пространство непрерывных функций, заданных вдоль Г, в линейное нормированное пространство функций, гармонических в области О, если нормы в этих пространствах задать равенствами ()х3 =гпах~х(г)~ и ~)иа =п1ах )иЯ, т1)!. г о Приведем еще один пример линейного оператора. Рассмотрим бесконечную матрицу (аы).
!. й = 1, 2, такую. что ~ч'~ ~ ~аг 1а ( со. а ) 1. Тогда система равенств Т4 = ~ч~~ а, ~А. 1= 1, 2, Ф! с помощью которой каждому элементу х= ($,] ~1р ставится в соответствие у= (г),), определяет линейный непрерывный ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ )ГЛ. П) оператор у= Ах, заданный на 1р, с областью значений. 1 ) расположенной в 1, где — + — = 1, т. е, А Е(1 -«1). р д Покажем прежде всего, что. действительно, у~1, если х~1Р.
Имеем (пользуясь неравенством Гельдера для сумм) = !!х!!2 ~~'„, ~~'.! !Е)А!» (!!х!!е ~ ~~Й !а, !е. Так как зто неравенство верно для любого и, то можно перейти к пределу при и-ь ОО, Тогда получим !!У!!' = Х !Ч)!' ( !!х!! ~я ~л~ !а)А!' и, значит, УЕ12. Докажем теперь, что А — линейный непрерывный оператор. Пусть х)= ~а<1"! Е1 и х = ($12)) Е 1,.
Тогда из равенства Ч', ц „(~)1)+2;2)) ~', д 2)1)+ ~~ л 212) следует, что А (х)+ х2) = Ах)+ Ахя. х=Ц61„. Ах=У= ))Ч;) Е 1я. х„= $$<")~ и Ах„= у = (Ч<,")), т. е. аддитивность оператора А. Однородность етого опера- тора очевидна. Пусть теперь ф г1 ОпеРАтОРы В нОРмиРОВАнных пРОс! РлнстВАх !Вб Имеем Ь» — И= ! / со 'сч с! л ! / со оо тч = ~~~'., ~~.", ( асв)ч) ~(х„— х11.
Отсюда ~~у„-у~~- О при )~х„— х~!-оО, и непрерывность оператора А доказана. Оператор А называется ограниссеннылс, если существует такая постоянная М, что )~Ах)~ 4 М))х(~ для любого х ЕЕ (здесь норма ~(Ах)~ берется в смысле метрики пространства Е„, в котором расположена область значений оператора А, а ~)х)! берется в смысле метрики пространства Е»'! Согласно этому определению ограниченный оператор преобразует ограниченное множество элементов (х~тЕ» в ограниченное же множество элементов 1Ах~ с= Е . Теорема !. Длн того чтобы аддитивный и однородный оператор А был непрерывен, нсобходилсо и достаточно, чтобы он был ограничен.
Не о бх од и м о с т ь. Пусть А — непрерывный оператор. Допустим. что он не ограничен. Тогда найдется последовательность элементов (хсс] такая, что !!Ах„!! ) и !!х«(!. Построим злементы .»л л1» эл -ь О, так как «1» 1 !с»с!! = «О при и — ьсо. 1 1 С лругой стороны, ()А$„~! = — (~А~„(~ ) 1. Значит, Аф«та АО = О. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. РН Поэтому оператор А не непрерывен в нулевой точке, что противоречит предположению. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть аддитивный оператор А ограничен, т. е. [[Ах[[ ( М [[х[[. Пусть хл — ьх, т.
е. [[х„— х[[-ьО; тогда и [[Ах„— Ах[[ = [[А (х„— х)[[ ( М [[х, — х[[-+О, т. е. Ахл — лАх; следовательно, А непрерывен. Локажем теперь одну лемму, которая иногда оказывается полезной. Л ем ма. Пусть дан линейный (не обязательно ограниченный) оператор А, отображаюи[ий банахово пространство Е„в банахово пространство Е„. Обозначим через Е„множество тех к~Е,. для которых [[Ах[[ (и [[х[[. Тогда (О Е.= ЦЕ., л 1 и по крайней мере одно из множеств Е„всюду плотно. Прежде всего каждое из множеств Е, не пусто, так как, например, О ~Е„для любого и; кроме того, очевидно, что всякий хЕЕ,, хчьО, попадает в одно из множеств Е„; для этого достаточно взять в качестве и наименьшее целое число, превосходящее — ~-. Поэтому можно написать [[Ак[[ Е.= Ц Е„. л Ввиду того, что полное пространство Е не может быть счетной суммой нигде не плотных множеств (теорема 3 стр.
43), по крайней мере одно из множеств Ет не является нигде ие плотным. Следовательно, существует шар 5 (х, г), в котором 5(хз, г) ПЕт всюду плотно. Рассмотрим шар Я(х!, г,). лежащий целиком внутри 8(хв, г) и такой, что х,ЕЕ . Возьмем любой элемент х $2) ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 137 с нормой ~(х(~ =г,. Элемент х, + хС Я(хн г,). ибо (~(х, + х) — х,!! = гн Так как 5(хи г,)с-Е», то найдется последовательность элементов (г„~ из 8 (х,, г,) П Е„, такая, что г» -«х, + х при 72 — «Оо (эта последовательность может быть стационарной, если х,+ хС Е ).
Имеем, следовательно, ХА = ЗА — Х, -«Х. При этом можем считать, что 2' ((!Ха(~, ибо ХА — «х и Гха =г,; кроме того, ~)ха~((гн Так как аа и х1ЕЕ„Р то (!Ах, !! = (~Аг, — Ах,)( (йАВ„~!+ ()Ах,~~ ( .(Вайлем!!+ 1~х$!!). Далее (~а Ц = !,'х + х,'а (ах ч + ях,я (г, + ах,а. Поэтому Обозначим через и наименьшее целое число, превосходящее йи,(г, + 2й», и) г( Тогда ((АХА)~ (а),х„)(, откуда следует, что все ХАЕЕ„. Итак, любой элемент х с нормой.
равной г,. можно аппроксниировать элементами из Е„. Пусть теперь х — любой элемент из Е». Рассмотрим элемент » й=г— ' й»й ' имеем ) )о показанному найдется последовательность (Яа) ~Е». сходящаяся к В. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ )ГЛ. П! Тогда х„= $» — -+ х.
)! х!! 1', !!Аха!! = —,' !!АВя!!.4 г и!!Ь!! =и!!ха!!. Отсюда следует. что ха с Ел' Итак, Е„всюду плотно в Е, и лемма доказана. Если в произвольном банаховом пространстве линейный оператор может быть не непрерывным, то в конечномерном пространстве всякий линейный оператор непрерывен. В самом деле, пусть ен ..., е„— базис в Е и, следовательно, любой элемент х этого пространства имеет внд А х= 1')$,е).
В силу гомеоморфнзма любого и-мерного бана1=1 иова пространства евклидову и-мерному пространству, если Ха = ~ С) Е) -ь Х = ~! $)Е1. ы) 1=1 1=1 то 5) ) — ь $1, 1 = 1. ..,, и. Но тогда (а) Ах„= ~ $! )Ае, -ь ~~~Р $)Ае) — — Ах, 1=1 1=1 и требуемое доказано. Норма оператора. Пусть А — линейный ограниченный оператор. Наименьшая из постоянных Л, удовлетворяющих условию !!Ах!! 4М!)х!! (а такие постоянные сушествуют в силу ограниченности А). называется норлгой оператора А и обозначается !!А!!.
Таким образом, по определению число !!А(! обладает двумя слелуюшими свойствами: а) для любого х~Е !!Ах!!~(!!А!! !!х!!; ф Я! ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 139 б) для любого е> О найдется такой элемент х,, что йАхе(( > ЦА)! — ВЦхей.
Покажем, что (2) ~/А)! = Внр ~)Ах((, нхи<! или, что все равно, )(А ~! = Впр ' — „. й-й (2') В самом деле, если ~)х)((1, то 'й'Ахй ()(А!)!(х'З ('Г А'а, значит и зпр йАхй.(~)Ай. йхйС! (3) х, Тогда йАЯ = йАхД > — (йАй — е)()хей = йА!) — е. )(хе(! !!хе!! Так как З$е)! = 1, то Знр !)АХ)()~)!Аеез~))~~)А(~ — Е. Лх!! <1 Следовательно, зпр !)Ах~()~((Ай'.
йхЯС! (4) Из (3) и (4) следует (2). Найдем для примера норму интегрального оператора с непрерывным ядром 1 у (Г) = ~ К (Г, в) х (з) !тз. з С другой стороны, для любого е> О существует элемент хе такой, что й Ах, !!' > ()! А )! — ЕЦ хД. Возьмем ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ >ГЛ. И1 рассматривая его как оператор, отображающий С [О, 1[ в С [О. 1!. Полагая 1 Ах = ~ К (С г) х (г) >й.
е будем иметь 1 >!А*1= *[1>», > >*>ш (< [е 1 1 «( шах 1 ! К (С г) ! Ей гпах ! х (г) ! = п>ах ~ ! К (С г) ! >та[! х [!. 3 о Следовательно 1 [[А,'!««>пах )' [К(С г) [п>г. (5) о 1 Так как ~ [К(С г)[л>г — непрерывная функния, то она о достигает максимума в некоторой точке та отрезка [О, 1[. Положим ео(г) = з[2п К(>а г). Пусть х„(г) — непрерывная функния такая, что ! х„(г) ! «( 1 и х„(г)= ха(г) всюду, кроме множества Е„меры, меньшей 1 —, где 2>иа ' М=п>ах[К(С г)!. 1, > 1!а множестве Э„всюду ! хч (г) — ео (г) ! «( 2. Имеем ! 1 1 ! ~ К(С г) ее(г) >й — ~ К(С г) х„(г)с[а).~ о о 1 «« ~ [К(С г) ! [х„(г) — ее(г)[п>г= о 1 ~ ! К(С г) ! ! х„(г) — ае (г) ! >й««2 шла [К(С г) [2 11п=„° е >, л Это нерааенство справедливо для любого 1е [О. 1!. й 2! ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 141 Имеем, следовательно, для всех 1Е [О, 1! 1 ! К(Г.
з)я (а)11 <) К(1, ) „(а)л1а+ — „<!!А!!!!Хл!!+ — „. о о Полагая в этом неравенстве 1=го, получим ) !К (ГО. 8) ! < !Аи!Хл!!+ —, о Так как !!х„!!<1, то предыдущее неравенство в пределе при и — +со дает ~ !К(Е з)!11з <!!А!!. о т. е. гпах ~ !К(1, а)! 1(а <!!А!!. о (6) Из (5) и (6) получаем ! !!А,'! =гпах / !К(Г, а)!г(а. о !!Ах!! < М!Рх!! лля всех хЕЛ. Наименьшая из таких постоянных называется лор.яол оператора А на линейном многообразии Е и обозначается в) !! А!! г ) В соответствии с этим норму оператора ив всем пространстве мы бУлем иногда обозначать !! А 11Е Пусть в линейном нормированном пространстве Е залано линейное многообразие Е, Это линейное многообразие можно рассматривать как самостоятельное линейное пространство, может быть неполное.
Предположим, что на определен алдитивный оператор А со значениями в некотором линейном нормированном пространстве Е„. Оператор А называется ограниченныгг на Ь, если существует постоянная М такая, что 142 ЛННЕПНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !ГЛ. 1Ы Теорема 2. Линейный ограниченный оператор Ао, заданный на линейном многообразии Е, всюду плотном в линейном нормированном пространстве Е„, со значениями в полном линейном нормированном пространстве Ею может быть продолжен на все пространство без увеличения нормы. Иными словами, на пространстве Е» можно определить оператор А такой, что Ах=Аох для хЕЕ, (!А!(е = ((А,,'(с, Пусть х — элемент Пространства Е, не принадлежащий Р..
Так как Ь всюду плотно в Е„, то найдется последовательность (х„(<='Ь такая, что (!х„— к!(-«О нрн п-«ОО, и, значит, ((х„— х ((-«О при и, т-«со. Но тогда ((Аоки 4ок !! = (!.4о(хо х„)!((((Ао((с((хл хп(! « при и, т -«со, т. е. последовательность (Аох„! сходится в себе, а следовательно, в силу полноты Е, и к некоторому пределу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
