Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Соболева на функции, принадлежащие пространству 'йр. , лп $ 61 ововпгвнныя пяонзводныв 119 Теорема вложении. Теорема (С. Л. Соболева). 1»ространстео Ф»1 при любом к <1 аложено е пространство Игр~1, т. е. любая функция 1р(х, у), имеюигая есе обобигенные производные 1-го порядка, имеет также при к <1 есе обоби»енные производные к-го порядка, причем й~уй оо <С,!!фй,1 е е Пусть 1р(х, у) ~ Ю'> и ~~р„(х, у)) — последовательность 1 раз непрерывно дифференцируемых функций такая, что д Ф» ф„(х.
у)-»гс(х. у). " -»~р11 ь»(х. у) дх1' дуг' дг 14р„ по метрике пространства Ер(О). Применим к» " интедх»' ду»' гральную формулу С. Л. Соболева дг 19» дг 1~р„ т» (()) 'Р» дх~~ду~ дх» ду + ~л~е / / А»12(, 4») д»'+1'д»'ы Преобразуя первый интеграл по формуле Грина, будем иметь о 1+1,1 О (! 4) В силу леммы 2 правая часть равенства (14) стремится к не- которому пределу 1,+1,1 О дг-11» К(Р)=/ / р(Š—,',,"'„, юг+ о + ~~)~ / / А1,",„(Р, Я)1р1" ~"" "(Я)асз. (15) 120 линеиные нормировАнные прострлнствА <гл.
н ср <о< д<1-П<г„с„<о< Но это значит, что <р„(х, у) — -»<р(х у) а дх 'дуга -ь)((х. у), т. е. )((х, у) является обобщенной производной порядка (1 — 1) от функции <р(х, у), н существование обобшеш<ых производных (1 — 1)-го порядка доказано. В свою очередь из существования обобщенных производных (1 — 1)-го порядка вытекает существование обобщенных производных (1 — 2)-го порядка и т. д., и первая часть теоремы доказана. Возьмем формулу (15), выражаю<цую (1 — 1)-ю обобщенную производную через 1-е обобщенные производные и саму функцию .1-< Р д< <и о 1,+1.=! О' Воспользовавшись очевидным неравенством (а<+аз+ ... -+а,)Р~(т~(а<~+аз+ ... +аРр), а<) О.
получим В силу неравенства Гельдера имеем )')'<мч«(-~~%-)ше7 < 1")'<а<оп ~ч. о / о гллвл ш ЛИНБИНЫВ ОПБРЛТОРЫ Одним из важнейших и наиболее хорошо изученных классов операторов является класс линейных операторов, определенных в линейных пространствах. ф 1. Линейные операторы Определение. Пусть даны два линейных топологических пространства Е„ и Е„ одновременно вещественных или комплексных и пусть дай оператор у = А (х)„ определенный на пространстве Е с областью вначений, расположенной в Е„. Будем также писать у = Ах.
Оператор у = Ах называется линейным, если 1) этот оператор аддитивен. т. е. для всех х, и ла из Е» А (х, + хз) = Ах, + А ха; 2) оператор А однороден. т. е. для всех х~Е и любых вещественнык (если Е вещественно) или комплексных (если Е„ комплексно) Л АР, )=ЛА . В дальнейшем будем обозначать через (Е -ьЕ ) множество всех линейных непрерывных операторов, отображаю- щихЕ, в Е. Очевидно, что для случая метрического пространства непрерывность оператора А означает, что для любого е ) 0 найдется б ) О такое, что совокупность образов элементов шара 8(х, б) лежит в шаре 5(Ах, е).
123 ЛИИЕЯИЫЕ ОПЕРАТОРЫ П р и м е р ы 1. Рассмотрим квадратную матрицу л-го порядка (лы). ! Д 1, ..., а. Равенства и т1,= ЯацДА, ! 1,...,л, а 1 определяют, очевидно, некоторый оператор у Ах, переводящий влемент х [11, Ет,..., $и] л-мерного евклидова пространства Еи в элемент у = (т1„п„..., ц„] того же пространства. А — линейный непрерывный оператор.
В самом деле, адаитивность оператора А следует иа равенства ~",' а1а(йа!+[3= Х а!АЯ!+ и", а!Асан, 1= 1, ..., п, а=! а 1 а 1 аквивалентного равенству А(х,+х) Ах,+Ах„ однородность его очевидна, а непрерывность вытекает нз нера- венства и ,Г и и Г п ХИ"-ц!)'~ ~/ Х Хо!„~/ Х(йа-1-~а). 1 1 !1а! а ! где х, [ф~), у = Ах [т)1~1), х -! х, получающегося очевидным образом с помощью неравенства Буняковского дяя сумм. 2. Положим у(т) ~ К(05)х(5)!(5, е где К(0 5) — непрерывная в квадрате 0<0 5<1 функция.
Вели «(8) ~ С[0, Ц, то, очевидно, и у (Г)Я С[0, Ц. Следовательно, оператор у* Ах отображает пространство С[0, Ц в себю Легко видеть, что А — линейный непрерывный оператор. В самом деле, 1 а) А (Х! +«1) ии ~ К (С 5) [Х! (5) +Хт (5)] Мтз «ы е 1 1 ~ К(1, 5) х, (5) а!5+ ~ К(5, 5) хт(5) !(5 А«!+Ахи о е и условие аддитивности выполнено, б) однородность оператора А очевидна, 124 линепные опе лтоеы 1гл. !и в) пусть (к„(Г)) сходится к к (Г) в смысле сходимости в С [О, 1], т. е.
разнопер!!о на [О, 1]. Так как в случае равномерной сходи- мости можно переходить к пределу под знаком интеграла, то ! ! '„.Х" " "-Х ' . "' э о т. е. 1!ш Ак„= Ак, и непрерывность оператора А также доказана. 3. Пусть ń— пространство функций, заданных и непрерывных на замкнутой плоской кривой Г с непрерывной кривизной, метрика в котором определяется равенством р(кь к,) шах]к,(!) — к,(!)]. г Пусть далее ń— пространство функций двух переменных, заданных и непрерывных в замкнутой области О, ограниченной кривой Г, метрика в котором дается равенством р (и„и,) = шах ] и, (э, т)) — и, (э, !)) ], о каждой функции к(г)~е» отнесем функцию и Я, !))~е„являющуюся решением задачи Лирнхле для области 0 при граничном условии к(!). Как известно, при сделанных предположениях эта задача однозначно разрешима.
Полученное соответствие определяет некоторый оператор и=Ак. В силу известных свойств гармонических функций А есть линейный непрерывный оператор, определенный на Е» с областью значений, расположенной в Е . 4. Пусть Е С[0, 1]. Рассмотрим в этом пространстве оператор у = Ак, опрелеляемый равенством у (!) = ~ к(т) йт. о Очевидно, А — линейный непрерывный оператор, определенный на всем Е. Рассмотрим в этом же пространстве другой оператор, у = Вк, определенный равенством у(О- — «(().
Ш Этот оператор определен уже не для всех к(Г)ЕЕ, и если Вк существует, то не всегда у ~Е. Однако если за область определения оператора В принять линейное многообразие функций, имеющих непрерывную производную (лежащее всюду плотно в С[0, 1]), то область значений оператора В будет аежать также в С[0, 1]. Оператор В, очевидно, аддитивен н однороден. Но в области определения этот оператор не является непрерывным, таи как производная от предела равномерно скодяшейся последовательности лингиные опгвхтплы функций может н не равняться пределу производных функций этой последовательности, если даже все этн производные сув~ествуют и непрерывны.
Простейшие свойства. Пусть А — линейный непрерывный оператор. Положим х = ' +( и, следовательно, ь = х — ~. ТОГда АХ = Аэ + АЬ" = А$ + А (Х вЂ” С), ОтКупа А (х — С) = Ах — Ах. (2) Положим в (2) х=$. Тогла А(0) = Ах — Ах =О. Положив в (2) х = О, получим А( — с)= — Аэ.
Те арена !. Аддитиеный оператор у —.--Ах, определенный на линейном вещественном пространстве Е . с областью значений е линейном вещественном пространстве Ею непрерывный в одной точке хвЕЕ, непрерывен на всем пространстве Е,. Пусть х — любая точка из Е, н хл-ьх. Тогда хл — х+ + хэ-ьхе, и так как А непрерывен в точке хв, то 0 ю А (хл — х + хв) = А хе. л А (хл — х Ф хз) = Ах„— Ах+ Ахв Но по свойству аллитнвности. Поэтом . 1пп Ахл — Ах+ Ахя —— Ахв, л Пусть г= т — целое отрицательное число. Тогла А (т х) = — А ( — тх) =' — ( — т) Ах = тАх.
откуда и следует, что Ит Ах, = Ах. л Теорема 2. Аддитивнмй и непрерывный оператор Ах, определенны» в вещественном пространстве Е . однороден. Пусть сперва г'=п — целое положительное число. Тогла А (пх) =Ах+Ах+ ... + Ах=пАх. лмнсйныв ОпеРАтОРы !Гл. пг Пусть 1= — — рациональное число. Имеем т л А ( — х) = тА ~ — х) . Положим — х= С. Тогда х=и~ и 1 л Ах =А(л~)=лА~~ =лА( — х), / ! (л !1 ! 1 откуда А ! — х) = — Ах. Следовательно, (л ~ л А ( — х) = тА ( — х) = — Ах.
Пусть, наконец, 1 — любое вещественное число. Необходимо рассмотреть лишь случай иррационального Е Найдется последовательность рациональных чисел (г„) такая, что ㄠ†«Е Поэтому 1!ш г„х = 1х, и так как А — непре» рывный оператор, то А (йс) = А (! цп г„х) = 1пп А (г„х) = В ш г„Ах = гАх. и » л Пространства операторов. В множестве линейных непрерывных операторов, определенных на линейном пространстве Е, с облзстью значений в линейном пространстве Е, можно ввести алгебраические операции. Пусть А и В будут такие операторы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
