Главная » Просмотр файлов » Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа

Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 18

Файл №1134949 Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа) 18 страницаЛ.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949) страница 182019-05-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Соболева на функции, принадлежащие пространству 'йр. , лп $ 61 ововпгвнныя пяонзводныв 119 Теорема вложении. Теорема (С. Л. Соболева). 1»ространстео Ф»1 при любом к <1 аложено е пространство Игр~1, т. е. любая функция 1р(х, у), имеюигая есе обобигенные производные 1-го порядка, имеет также при к <1 есе обоби»енные производные к-го порядка, причем й~уй оо <С,!!фй,1 е е Пусть 1р(х, у) ~ Ю'> и ~~р„(х, у)) — последовательность 1 раз непрерывно дифференцируемых функций такая, что д Ф» ф„(х.

у)-»гс(х. у). " -»~р11 ь»(х. у) дх1' дуг' дг 14р„ по метрике пространства Ер(О). Применим к» " интедх»' ду»' гральную формулу С. Л. Соболева дг 19» дг 1~р„ т» (()) 'Р» дх~~ду~ дх» ду + ~л~е / / А»12(, 4») д»'+1'д»'ы Преобразуя первый интеграл по формуле Грина, будем иметь о 1+1,1 О (! 4) В силу леммы 2 правая часть равенства (14) стремится к не- которому пределу 1,+1,1 О дг-11» К(Р)=/ / р(Š—,',,"'„, юг+ о + ~~)~ / / А1,",„(Р, Я)1р1" ~"" "(Я)асз. (15) 120 линеиные нормировАнные прострлнствА <гл.

н ср <о< д<1-П<г„с„<о< Но это значит, что <р„(х, у) — -»<р(х у) а дх 'дуга -ь)((х. у), т. е. )((х, у) является обобщенной производной порядка (1 — 1) от функции <р(х, у), н существование обобшеш<ых производных (1 — 1)-го порядка доказано. В свою очередь из существования обобщенных производных (1 — 1)-го порядка вытекает существование обобщенных производных (1 — 2)-го порядка и т. д., и первая часть теоремы доказана. Возьмем формулу (15), выражаю<цую (1 — 1)-ю обобщенную производную через 1-е обобщенные производные и саму функцию .1-< Р д< <и о 1,+1.=! О' Воспользовавшись очевидным неравенством (а<+аз+ ... -+а,)Р~(т~(а<~+аз+ ... +аРр), а<) О.

получим В силу неравенства Гельдера имеем )')'<мч«(-~~%-)ше7 < 1")'<а<оп ~ч. о / о гллвл ш ЛИНБИНЫВ ОПБРЛТОРЫ Одним из важнейших и наиболее хорошо изученных классов операторов является класс линейных операторов, определенных в линейных пространствах. ф 1. Линейные операторы Определение. Пусть даны два линейных топологических пространства Е„ и Е„ одновременно вещественных или комплексных и пусть дай оператор у = А (х)„ определенный на пространстве Е с областью вначений, расположенной в Е„. Будем также писать у = Ах.

Оператор у = Ах называется линейным, если 1) этот оператор аддитивен. т. е. для всех х, и ла из Е» А (х, + хз) = Ах, + А ха; 2) оператор А однороден. т. е. для всех х~Е и любых вещественнык (если Е вещественно) или комплексных (если Е„ комплексно) Л АР, )=ЛА . В дальнейшем будем обозначать через (Е -ьЕ ) множество всех линейных непрерывных операторов, отображаю- щихЕ, в Е. Очевидно, что для случая метрического пространства непрерывность оператора А означает, что для любого е ) 0 найдется б ) О такое, что совокупность образов элементов шара 8(х, б) лежит в шаре 5(Ах, е).

123 ЛИИЕЯИЫЕ ОПЕРАТОРЫ П р и м е р ы 1. Рассмотрим квадратную матрицу л-го порядка (лы). ! Д 1, ..., а. Равенства и т1,= ЯацДА, ! 1,...,л, а 1 определяют, очевидно, некоторый оператор у Ах, переводящий влемент х [11, Ет,..., $и] л-мерного евклидова пространства Еи в элемент у = (т1„п„..., ц„] того же пространства. А — линейный непрерывный оператор.

В самом деле, адаитивность оператора А следует иа равенства ~",' а1а(йа!+[3= Х а!АЯ!+ и", а!Асан, 1= 1, ..., п, а=! а 1 а 1 аквивалентного равенству А(х,+х) Ах,+Ах„ однородность его очевидна, а непрерывность вытекает нз нера- венства и ,Г и и Г п ХИ"-ц!)'~ ~/ Х Хо!„~/ Х(йа-1-~а). 1 1 !1а! а ! где х, [ф~), у = Ах [т)1~1), х -! х, получающегося очевидным образом с помощью неравенства Буняковского дяя сумм. 2. Положим у(т) ~ К(05)х(5)!(5, е где К(0 5) — непрерывная в квадрате 0<0 5<1 функция.

Вели «(8) ~ С[0, Ц, то, очевидно, и у (Г)Я С[0, Ц. Следовательно, оператор у* Ах отображает пространство С[0, Ц в себю Легко видеть, что А — линейный непрерывный оператор. В самом деле, 1 а) А (Х! +«1) ии ~ К (С 5) [Х! (5) +Хт (5)] Мтз «ы е 1 1 ~ К(1, 5) х, (5) а!5+ ~ К(5, 5) хт(5) !(5 А«!+Ахи о е и условие аддитивности выполнено, б) однородность оператора А очевидна, 124 линепные опе лтоеы 1гл. !и в) пусть (к„(Г)) сходится к к (Г) в смысле сходимости в С [О, 1], т. е.

разнопер!!о на [О, 1]. Так как в случае равномерной сходи- мости можно переходить к пределу под знаком интеграла, то ! ! '„.Х" " "-Х ' . "' э о т. е. 1!ш Ак„= Ак, и непрерывность оператора А также доказана. 3. Пусть ń— пространство функций, заданных и непрерывных на замкнутой плоской кривой Г с непрерывной кривизной, метрика в котором определяется равенством р(кь к,) шах]к,(!) — к,(!)]. г Пусть далее ń— пространство функций двух переменных, заданных и непрерывных в замкнутой области О, ограниченной кривой Г, метрика в котором дается равенством р (и„и,) = шах ] и, (э, т)) — и, (э, !)) ], о каждой функции к(г)~е» отнесем функцию и Я, !))~е„являющуюся решением задачи Лирнхле для области 0 при граничном условии к(!). Как известно, при сделанных предположениях эта задача однозначно разрешима.

Полученное соответствие определяет некоторый оператор и=Ак. В силу известных свойств гармонических функций А есть линейный непрерывный оператор, определенный на Е» с областью значений, расположенной в Е . 4. Пусть Е С[0, 1]. Рассмотрим в этом пространстве оператор у = Ак, опрелеляемый равенством у (!) = ~ к(т) йт. о Очевидно, А — линейный непрерывный оператор, определенный на всем Е. Рассмотрим в этом же пространстве другой оператор, у = Вк, определенный равенством у(О- — «(().

Ш Этот оператор определен уже не для всех к(Г)ЕЕ, и если Вк существует, то не всегда у ~Е. Однако если за область определения оператора В принять линейное многообразие функций, имеющих непрерывную производную (лежащее всюду плотно в С[0, 1]), то область значений оператора В будет аежать также в С[0, 1]. Оператор В, очевидно, аддитивен н однороден. Но в области определения этот оператор не является непрерывным, таи как производная от предела равномерно скодяшейся последовательности лингиные опгвхтплы функций может н не равняться пределу производных функций этой последовательности, если даже все этн производные сув~ествуют и непрерывны.

Простейшие свойства. Пусть А — линейный непрерывный оператор. Положим х = ' +( и, следовательно, ь = х — ~. ТОГда АХ = Аэ + АЬ" = А$ + А (Х вЂ” С), ОтКупа А (х — С) = Ах — Ах. (2) Положим в (2) х=$. Тогла А(0) = Ах — Ах =О. Положив в (2) х = О, получим А( — с)= — Аэ.

Те арена !. Аддитиеный оператор у —.--Ах, определенный на линейном вещественном пространстве Е . с областью значений е линейном вещественном пространстве Ею непрерывный в одной точке хвЕЕ, непрерывен на всем пространстве Е,. Пусть х — любая точка из Е, н хл-ьх. Тогда хл — х+ + хэ-ьхе, и так как А непрерывен в точке хв, то 0 ю А (хл — х + хв) = А хе. л А (хл — х Ф хз) = Ах„— Ах+ Ахв Но по свойству аллитнвности. Поэтом . 1пп Ахл — Ах+ Ахя —— Ахв, л Пусть г= т — целое отрицательное число. Тогла А (т х) = — А ( — тх) =' — ( — т) Ах = тАх.

откуда и следует, что Ит Ах, = Ах. л Теорема 2. Аддитивнмй и непрерывный оператор Ах, определенны» в вещественном пространстве Е . однороден. Пусть сперва г'=п — целое положительное число. Тогла А (пх) =Ах+Ах+ ... + Ах=пАх. лмнсйныв ОпеРАтОРы !Гл. пг Пусть 1= — — рациональное число. Имеем т л А ( — х) = тА ~ — х) . Положим — х= С. Тогда х=и~ и 1 л Ах =А(л~)=лА~~ =лА( — х), / ! (л !1 ! 1 откуда А ! — х) = — Ах. Следовательно, (л ~ л А ( — х) = тА ( — х) = — Ах.

Пусть, наконец, 1 — любое вещественное число. Необходимо рассмотреть лишь случай иррационального Е Найдется последовательность рациональных чисел (г„) такая, что ㄠ†«Е Поэтому 1!ш г„х = 1х, и так как А — непре» рывный оператор, то А (йс) = А (! цп г„х) = 1пп А (г„х) = В ш г„Ах = гАх. и » л Пространства операторов. В множестве линейных непрерывных операторов, определенных на линейном пространстве Е, с облзстью значений в линейном пространстве Е, можно ввести алгебраические операции. Пусть А и В будут такие операторы.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
9,47 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6314
Авторов
на СтудИзбе
312
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее