Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Н полно в смысле метрики р(х, у)=][х — у[[. 11рн выполнении этик трех аксиом будем называть множество Н унилгарным нространсигвом. л-мерное унитарное пространство есть комплексное евклидово пространство. Если пространство Н удовлетворяет. кроме того, аксиоме 4. В Н для любого натурального числа и найдется п линейно независимых элементов. т. е. Н является бесконечномерным, то оно называется абслгрантным гильбвртовам пространством; в дальнейшем мы будем называть его просто гильберлгоаым пространством.
В р и м е р ы. 1. Комплексное пространство 12 становится гильбергозым, если для любых двух его элементов х * [я2, ая. "° ал ° "] У [Ч! Чт ' ' ' Чл, ° ) положить ОЭ ! ! Скодимость этого ряда для любых х и у из 12 вытекает из неравенства Буняковского для рядов. 2,р 'Д Комплексное пространство Ь2 [О, Ц. Это — пространство комплексных функций, определенных и измеримых на отрезке [О. Ц и таких, что ~ Р(1) [х(1) [2бг <+ где р(1) вещественно и р(1)жО почти всюду на [О, Ц, причем р(1) > О на множестве полной меры.
Ь [О, Ц будет гильбертовым пространством, если положить для х, у ф1.2 р ! (х, у) ~ р (1) х (1) у (1) б1. з Существование этого интеграла ири любых х (1) и у (1) нз Ьз р [О, Ц вытекает из неравенства Буняковского для интегралов. Б частно- Ф 4! АбСТРАКТНОЕ ГИЛЬВЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 66 стн, прн Р(!)!в~ 1 получаем комплексное пространство 1.! со ска- лярным произведением (х, у) = ~ к(г) у (г) !га е Аналогично определяется вещественное гильбертово пространство.
При этом скалярное произведение двух злементов должно быть вещественным. Вещественные пространства 1м Лдр, Ц являются вещественными гильбертовыми пространствами. Рассмотрим вкратце некоторые простейшие свойства гильбертовых пространств. Прежде всего легко выводим из аксиом 1 — 3, что (х у!+у!)=(х у!)+(х ут) (х Лу)=) (х у). Из последнего следует, я частности, что !1Лх,'~=1Л~ ~~х~1. Установим теперь для скалярного произведения неравенство Буняковского — Шварца. Для любых х, у Е Н, учьО, и любого комплексного Л имеем (х+Лу, х+Лу)) О или (х, х)+Л(х, у)+Л(у, х)+(Л~т(у, у) )~ О. Полагая Л= — ( 'У (у. у) получаем, что или (2) )(х, у)/ (~!х~)!)у,'!, что и представляет собой требуемое неравенство.
Для случая У=О неравенство (2) тривиально. Далее получаем !!х+уйз=(х+у, х+у)=(х. х)+(х. у)+(у, х)+ + (у, у) (~)х )~а+ 2(~х(( !~у!)+!!)у )Р =(()х ~)+ ~)у!~)т, нли ~)х+ у~) (~(х)!+ ()У(~. 66 лннвинын ногмноовлннын пгоствлнствл 1гл. н Аксиома 2, г) и формулы (1) и (3) показывают, что введенная с помощью скалярного произведения норма удовлетворяет всем аксиомам нормы линейного нормированного пространства, а следовательно, введенное с помощью этой нормы расстояние удовлетворяет всем аксиомам метрического пространства. Легко доказывается Лемма !. Скалярное произведение есть непрерывная функция относительно сходизгости по коряге. В самом деле, пусть х„— «х и у„— «у. Тогда ч:юла )~х„11 и ау„а ограничены; пусть М вЂ” их верхняя граница.
Имеем ~(х„, у„) — (х, у)(=!(х„, у„) — (х„, у)+ (х„, у) — (х, у)/4, (/(х„, у„) — (х„, у)/+/(х„, у) — (х, у)~= =Их„, у„— у)!+!(х„— х, у)~ ( (//х„// ~/у„— у/~+!~х„— х // )/уД ( ( М!/у„— у/~+~/у// !~х„— хЦ. Гак как ~,'х„ — х)!-« 0 и ~/у„ — у/!-« 0 при и †« оо, то и /(х„, у„) — (х, у)(-«О при и — »оо, что и требовалось доказать. Ортогональность. 1(ва элемента х и у ~ Н называются ортогональныльи (в этом случае записывают х 1 у), если (х, у)=0. Элемент х называется ортогональным надпространству 1.~Н, если х ортогонален любому элементу у ЕЕ.
В этом случае записывают х ( 1.. Имеет место следующая весьма важная Теорема 1. Если х~Н и Л вЂ” некоторое надпространство пространства Н, то где у ЕЕ и е 1 Ь. Указанное разложение единственно. Если х ЕЕ, то, очевидно, у =х, я=О. Предположим поэтому, что х Е Ь. Пусть д = 1п1 6 х — у 11з нес ф и АБСТРАКТНОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 87 и (у„] — последовательность из Ь такая, что г(„=)!х — у„(!а — эд прн а — ьсо.
Пусть, далее, Ь вЂ” любой элемент из 7., отличный от нуля. Тогда у +ел ~7. для любого комплексного е, и потому )(х — (у„+ел) йт ) гг, т. е. 8х — уйа — е(х — у„, л) — з(л, х — у„)+(е(е8л '5') гг. Полагая (х — у„, л) 5 л|Р получаем, что )(х — у л) р откуда Нх — у ° й) Г <Р!Р(7 — ) или Кх — у„, Ь)! <~,'л~!Уа„— А (5) При й = 0 неравенство (5) также очевидно выполняется. Из этого неравенства для любого и ~ 1 следует ~(у„— у, 7г)( <)(у„— х, л))+((х — у, 7г)! < <(М7.— г(+ У г,.— 4!М и, полагая, в частности, и = у„— у, получим Ь.— у.~! <Ус.— г(+ г'4 — с( Поэтому последовательность (у,) сходится в себе, а значит, в силу полноты Н и к некоторому элементу у Е Н. Так как ь замкнуто.
то у С 7.. Переходя к пределу в неравенстве (5), получаем, что (х — у, л) = О, н так как И вЂ” любой элемент подпространства Ь, то х — у ) Ь. Полагая х — у = а, получаем требуемое равенство х = у+». Остается доказать единственность этого представления. Пусть х = у + е, х = у'+ г'. 88 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. П где у, у'ЕЕ, е, е' ) С.
Тогла у — у'= г' — е и !)у — у'(!'=(г' — г. у — у')=О. (б) ибо у — у'~Л, а г' — з ) Л. Но (6) означает, что у=у'; следовательно, также г.=г'. Теорема полностью доказана. Элемент у в разложении (4) называется проекцией влемента х на подпространство Е. Легко видеть, что совокупность М всех элементов, ортогональных подпространству Е, есть также подпространство; в самом деле, то, что М вЂ” линейное многообразие, очевидно, а замкнутость его следует из непрерывности скалярного произведения. Поэтому можно сказать, что элемент л предыдущего разложения есть проекция элемента х на подпространство М. Это надпространство М называется ортогональным дополнением к подпространству г'.
и обозначается Н вЂ” Л; говорят также, что Н есть ортогональная сумма надпространств Е и М, и пишут Н.= Ь+ М. Очевидно, ортогональная сумма есть частный случай прямой суммы. Теорема дает, таким образом, разложение эле-. мента на проекции на два взаимно дополнительных ортогональных подпространства. Л е м и а 2.
Длн того чтобы линейное многообразие М было всюду плотно в Н, необходимо и достаточно, чтобы не существовало элемента, отличного от нулевого и ортогонального всем влементам многообразии М. Н е о б х о д и м о с т ь. Прежде всего очевидно, что из х ) М следует х ) М. Но по условию М=Н и, следовательно, х ) Н, в частности, х ) х, откуда следует. что х = О. и необходимость доказана. Достаточность. Пусть М не всюду плотно в Н. Тогда М+Н и существует элемент х~ М.
По предыдущей теореме имеем х = у+ г, где у ~ М, е ) М, и так как х~ М, то ЕФО; но это противоречит условию, и достаточность доказана. Ортонормальиые системы. Система е,, е,, ..., е„, ... элементов пространства Н называется ортонормальнод системой, если (еп е )=6,, а 41 АБСТРАКТНОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 89 где Ь,) — известный символ Кронекера, равный единице при 1= т' и нулю при 1+/.
Примером ортонормальной системы является система [е'щ"г[, н = О, + 1, + 2, ..., в комплексном пространстве ЕТ[О, 11. Бесконечная система элементов линейного пространства называется линейно независимой, если любая конечная под- система этой системы линейно независима. Любую систему ЬР йт, ..., Ь„, ... линейно независимых элементов можно превратить в ортонормальную с помощью следующего процесса ортогонализации Шмидта.
Полагаем е, = — „. ПУсть йз = лт — сжег ПодбеРем А, [А| [ число сщ так, чтобы Аа было оРтогонально ен Очевидно, для этого следует взять сщ —— (Ьх, е,). Полагаем ез= — ' йя [ й2! при этом )[д'з)[+ О, так как в противном случае Рт = О и элементы й, и л линейно зависимы, что противоречит усло- вию. Пусть ен ет, ..., еа, уже построены. Возьмем Ф-~ ДА = йа — ~ саге, г=1 и подберем числа са, так, чтобы ла было ортогонально е,, еп ..., е,;, для этого следует взять сю —— (йа. е,).
Полагаеи е„= ~~, причем снова ~да[+О и т. д. [[йа[ ' П р н м е р. Если совокупность степеней 1, О Гх, ..., Гч. ортогоналнзнровать в вещественном пространстве й „[а, Ь[ функций, суммнруемых с квадратом с весом р(Г), то мы придем к системе многочленоз р,(г)=сопзд р1(г), ряОО " Р (О ортогональных с весом р(Г): ь р (т) р, (г) р, (т) йг = а;д а Прн р (Г) = 1, а = — 1, Ь = + 1 мы придем с точностью ло постоянных множителей к системе многочленов Лежандра; прн р (Г) =е ", а:= — сю, Ь=+оз — к системе многочленов 90 линейные норыиРОВАннын пРООТРАнстВА сгл.
н Чебышева — Эрмнта; пря р(С) е ', и О, Ь со — к системе многочленов Чебышева — Лагерра. Пусть С вЂ” подпространство, порожденное ортонормальной системой ер ес... „еп, ..., и х ц 7.. Для любого е ) О сушеп ствует, следовательно, линейная комбинация ~ч'.[ а,е, такая, что л х — ~~'„, а!е, (е. 1-1 Но [[ х — ~с а,ес С 1 =[х)'-' — ~~'., а,(х, е,) — ~'.~, а,(е„х)+ ~~~с ~ а,ас(ен ес)= 1=1 1=1 С=с! и л л =[[х)2 — ~~Р~ а,с,— ~ а,с;+ ~ [а,[2, 1=1 1 1 1 где с,=(х, е,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
