Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если предположить, что выполнены соотношения Кагг( — и Кб(а, 3 3' то оператор У переводит замкнутый шар 8 (О, а), где О(х, у) — функция тождественно равная нулю, пространства Х в себя. Далее имеем шах~о — о~ ( АВ7: ~' /' ~ 7(ьь т(,, и, и„) У (ь' т)' АВС МРО „, „~ ~ В(!и — и(+~и — ил!+~иг "У~) АЖ мра <( 'р(и ") и аналогично шах(о — о,~ (7.41(и, й), шах ~ о„— о„) ( ь ар (и. и). 1 1 Если теперь предположить. что (лр < — и 7.б < —, 3 3' а зто, в частности. будет, если й достаточно мало, то оператор 0 осущеагвляет сжатое отображение шара Ю(0, а) в себя и мы приходим к теореме. Теорема 3. Пусть задана гладкая кривая АВ, обладающая тем свойством, что прямые, параллельные оснм координат, иересекают ее каждая не более чем в одной точке, и дано уравнение и „=~(х, у, и, ил, ит), (7) где функция, стоящая е правой части в области М(х, у)с АВС, ~и) (а, ~ и ( ( а, ~ и„( (а, непрерывна по совокупности первых двух переменных, а по остальным трем переменным удовлетворяет условию Ливанца равномерно относительно х и у.
сеПАРАВЕльные пРостРАнстВА Тогда, если треугольник АЕС достаточно мал, в нем существует решение уравнения (7), обращающееся на АВ вместе с первыми производными в нуль. С помошью принципа сжатых отображений были получены и другие результаты, некоторые из которых мы приведем ниже. Этот принцип является простейшим из серии принципов неподвижной точки. С другим принципом, принадлежашим Ю. Шаудеру. мы познакомимся, когда будем рассматривать компактные множества в метрических пространствах [23[. 8 8.
Сепарабельные пространства Пространство Х называется сепарабельным, если в этом пространстве существует счетное всюду плотное множество, иными словами, если в пространстве Х существует последовательность ХР Х,, ..., Х„.. такая, что для любого х ц Х найдется подпоследовательность х„. х„, ..., х„, ... последовательности (1), сходя- С 2 шаяся к х.
Если Х вЂ” метрическое пространство, то определение сепарабельностн можно сформулировать так: в пространстве Х сушествует последовательность (1) такая, что для любого е > О и любого х ц Х найдется элемент х, из (1) такой. что р (х, х„,) ( е. и-мерное евклидова пространство Е„сепарабельно. Действительно, множество Е„, состоящее из всех точек пров странства Е„с рациональными координатами, счетно и всюду плотно в Е„. Пространство С [О, 1[ сепо рабельно.
Рассмотрим в пространстве С[0, 1[ множество Св, состояшее из всех много- членов с рациональными коэффициентами. Св счетно. Легко убедиться, что Сз всюду плотно в С[0, 1[. В самом деле, воаьмем любую функцию х(г)цС[0, 1[. По теореме Вейер штрасса существует многочлен р(() такой, что шах [ х (1) — р (с) [ ч —, с 2' МВТРИЧВСКНВ ПРОСТРАНСТВА 1гл. ! где е ) 0 — заданное число. С другой стороны, очевидно, найдется другой многочлен ро(г) с раююнальными коэффициентами такой, что е гпах( р(С) — ро(1)(< —. 2' Отсюда следует, что Р(х ро)=п1ах(х(1) — ро(1)(<е, что и требовалось доказать. Пространство !р сел арабельно. Пусть Ео — множество элементов х вида (г,, га, ..., г„, О, О, ...(, где г; — произвольные рациональные числа, а и — проиавольное натуральное число, Ео счетно.
Легко показать, что Ео всюду плотно в 1р. В самом деле, возьмем любой элемент х=(Ц ~ [и, и пусть задано любое е ) О. Найдем сперва такое натуральное число и, чтобы 2 «=и+1 Возьмем затем элемент хо= (гн г,, ..., г„, О, О, ...) такой, что и ч Р ее ,',л. — "(' < —,. Тогда получим Е Е [Р(» хо)1'=,~~($« — '«('+ „~В ($«('< 2 + 2 =е"' «=и+« откуда Р(х, хо)<е, и требуемое доказано. Пространство 1Р[0, 1[ сепарабельно.
В самом деле, из свойства абсолютйой непрерывности интеграла Лебега (см. [21[) вытекает, что любая функция х (1) пространства Ар[0, 1] есть предел в среднем с показателем р последовательности ограниченных измеримых функций хи (г), 18 81 СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА определяемых условиями х [1), если [ х [г) [ ( и, х„[1) = О, если / х [Г) [ > и. Далее, из С-свойства измеримых функций [см.
[21[) следует, что каждая ограниченная измеримая функция есть предел в среднем с показателем р последовательности непрерывных функций. Следовательно, множество непрерывных на [О, 1[ функций всюду плотно в ь' [О, 1). С другой стороны, счетное множество многочленов с рациональными коэффициентами всюду плотно в пространстве С[0, 1[ в смысле метрики этого пространства, а тем более в смысле метрики пространства Ар[0, 1[. Но тогда рассматриваемое множество много- членов всюду плотно в Ер [О, 1) и сепарабельность пространства Е [О, 1[ доказана. Пространство з сеиарабельно. Пусть Ез — множество элементов х вида [гп га, ..., г„, О, О, ...), где г,— произвольные рациональные числа, а и — любые натуральные числа. Е, счетно.
Покажем, что из Еа можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к произвольно выбранному элементу х=[Е1 $8 "' 5. " [Ез. Для каждого а„построим последовательность рациональных чисел [г18>), я=1. 2, ..., сходящуюся при л-«со к Рассмотрим последовательность [х1"'[ элементов из Ез вида к<81= 1гж, г<81...,, 1ы>, О, О...,~. 1'8'''''А Легко видеть, что х1Ю-«х при л-«оо. В самом деле, для доказательства этого утверждения надо показать, что а-я компонента х11 сходится к а-й компоненте х при л-«со. Но это очевидно, так как если взять достаточно большое к ) л, то будем иметь ($ — геп~ ( Прострпнство лг не сепарабельно. Рассмотрим множество элементов х= [Ц из лг, где Е1 — — 0 или 1, Множество этих элементов имеет мощность континуума.
Возьмем два различных элемента х= [Ц и у= [811[ из этого МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1гл. 1 множества. Тогда р(х, у)=зпр~эг — на~=1 и мы имеем континуум элементов, находящихся друг от друга на расстоянии, равном единипе, Отсюда легко вытекает, что нг не сепарабельно. В самом деле, допустим, что в и существует счетное всюду плотное множество Ее. Опишем около каждого эле- 1 мента из Ез шар радиуса В= —. Тогда все элементы пространства т расположатся внутри этих шаров. Так как шаров счетное множество, то по крайней мере в одном из них должно быть два разных элемента х и у из рассмотренного выше контннуального множества.
Пусть пентр такого шара есть хе. Тогда 1 1 2 1 =р(х, у) (р(х, хе)+р(хв, у) ~( — + — = —, 3 3 3' что невозможно. Следовательно, лг не сепарабельно. Однако можно доказать, что пространство с. являющееся подпространством пространства ш, сепарабельно. ГЛАВА О ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Е !. Линейные пространства При рассмотрении многих конкретных пространств мы видим, что элементы этих пространств (функции, числовые последовательности и др.) можно складывать друг с другом и умножать на числа, получая элементы того же пространства.
Исходя из таких конкретных примеров, мы приходим к общему определению линейного пространства. Определение. Пусть Š— множество элементов некоторой природы, удовлетворяющее следующим аксиомам: !. Š— абелева группа относительно групповой операции сложении. Это значит, что определена сумма х+у двух любых элементов х, у~Е, являющаяся элементом того же множества, причем операция сложения удовлетворяет условиям: !) х+ у = у+ х — коммутативность; 2) х+(у+ е) =(х+ у)+ г — ассоциативность; 3) существует однозначно определенный элемент О такой, что х + О = х для любого х из Е; 4) для каждого элемента х Е Е существует однозначно определенный элемент того же пространства ( — х) такой, что х+( — х) = О.
Вместо х+( — у) будем писать х — у. Элемент О называется нулевым влементом или нулем группы Е, элемент — х называется влементом, нротиаололожным х. 58 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. П !1. Определено умножение элементов х. у, х, ... множества Е на вещественные (комплексные) числа Л, [[, т...,, причем Лх является снова элементом множества Е и выполнены условия: 1) Л ([[х) = (Л[[) х — закон ассоциативности умножения; 2) Л(х+у)=Лх+Лу, (Л+[[)х=Лх+[[х — два закона дистрибутивности; 3) 1 ° х =х. Множество Е, удовлетворяющее аксиомам 1 и 11, называстсн линейным или векторным пространством. В зависимости от того, иа какие числа, вещественные илн комплексные, допускается умножение элементов множества Е, мы получаем ееи[естеенное или комплексное линейное пространство "). Примеры. !.
Совокупность Е„л-мерных вещественных векторов образует вещественное лннеййое пространство. 2. Совокупность комплекснозначных решений обыкновенного однородного линейного дифференциального уравнения и-го порядка образует комплексное линейное пространство. 3. Совокупность элементов вещественных (комплексных) пространств С [О, !1, Ер 10, !1 образует вещественное (комплексное) линейное. пространство. 4. Совокупность элементов вещественных (комплексных) пространств т, с, !р образует вещественное (комплексное) линейное пространство. Прн этом суммой элементов х = (1[) и у Щ мы называем, как обычно, элемент к+У ~ В~+ Ч! $з+Чг ° $л+ Чл ) произведением элемента х на число Л вЂ” злемент Лх=(Л1Р Л12, ..., Ц„...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
