Главная » Просмотр файлов » Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа

Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 12

Файл №1134949 Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа) 12 страницаЛ.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949) страница 122019-05-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

«чс Тогда й > О, так как иначе уе был бы предельным элементом для Е и, следовательно. входил бы в 7., что невозможно по условию. Для любого числа е > 0 найдется такой элемент хе~Е, что й (()уе — хД ( й+йе. Положим у0 — ха 1У вЂ” хеа Элемент у~Ь гтак как иначе уе входил бы в Е) и ()у(! =1. Возьмеи любой элемент х из Е. Пусть ь хе+ яуе «О!!»' Тогда !~у--1~ =!1 ~',;::;, --!1= и„"., ~ ~~" — ц > 1 а' е >Н „,Ье — И> „Н,— 1 1+,>1 что и требовалось доказать. Пусть Š— линейное нормированное пространство, его надпространство, Е(1.о — соответствующее факторпространство. Е71е допускает следующее нормирование: !!Л~~ = 1п1 й'х1~ кес для всякого 7.ЕЕ(Ц.

Покажем, что )(ь)~ удовлетворяет всем аксиомам нормы. !. Очевидно ()7.!))~0. Покажем, что )(Л)~ =0 тогда и только тогда. когда Е=Ц. Сначала заметим, что 7. есть замкнутое множество. В самом деле, пусть 1х„) — последовательность элеиентов из Е. сходящаяся к х ~ Е. Для любых и и т х„— х ЕЕе. При т — «оо х — х — х — х. а н и ф 2~ ЛИНЕИНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 75 Так как Тч замкнуто, то х„— хЕ Ее, Но тогда х входит вместе с х„в С.

Пусть теперь ))Ц =!Е1 ))х)) =О. кс2 Тогда з Е существует последовательность (х„) такая, что )) х„)) -РО, т. е. х„-РО. Вследствие замкнутости 2. должно содержать и О; но тогда А=Се. То, что ))1„2)) = О, очевидно. и первая аксиома полностью доказана. 2. Пусть е > О. Из определения величины ))Ц)) и ))Ц)) следует существование элементов х, ~2., и ха~12 таких, что ))х,)) ())Е,))+ —, )) 2)) < ))~2)) + Отсюда ))х,+ ха)) ())х,))+ ))ха)) <))Л,))+ )Щ+е. Тем более !Пг ))Х)) ~< Ы )(Х,+Х,)) <))2.,))+ ))ь2))+Е. кгс,+с, «Н ак к,ге, илн ))Е,+Е,2)) <)Щ+))) ))+е. Учитывая произвольность величины е.

отсюда получаем ))с,+ ц) <))у.,))+)щ. 3. ))ЕЦ = )А)))Е)). В самом деле, при Л+ О )) ХЕ)) = Зпг )) З,х)) = ) Х) !пав )) х)) = ) Х) )) Т.)). кге кес Если же А = О, то для любого Ь )) ЛЦ = )) С,)) = О = ) Ц )) Ц, и третья аксиома нормы полностью доказана. Установим в заключение, что скодимость по введенной в пространстве Е/Т. норме последовательности классов (1.„( к классу Е эквивалентна условию. что существует послеловательность элементов (х„), х„ Е е„ такая. что х„-ьх,х ~е. Пусть ))ф— Ь)) О. тв ЛИНЕПНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. Н то есть ))ń— Е)) =е„, е„-+О. Тогда ń— Ь содержит элемент у„— х такой, что у„б~„.

х6~ и ))у„— х)) < 2Е„. При этом в качестве х можно взять любой фиксированный (не зависящий от а) элемент хе~Е. В самом деле, если ))у„— х)) < 2е,. гле у„~Е„, х~ Р., то [)(ул х+ хо) «о)) < 2еч и так как хзЕЛ, х~А, то хе — хЕЕе и х»=у — х[-хоЕ~' Итак, для элемента хе ~ Е построена последовательность [х„), х„~Л„. такая, что х„-ьхе. Пусть. обратно, существует последовательность [х„), х, ~ С„, такая, что х„ -ьх, х ~ Ь.

Так как ))˄— Е)) = 1пг ))у„— у)) <))х,— х)), глас„, ггс то ))ф— Ц О и утверждение доказано. Теперь нетрудно показать, что если Š— полное пространство, то Е/~ также полно. Пусть [Ь„) — сходящаяся в себе последовательность классов пространства Е)1„„. Выбирая в каждом классе Ь„по элементу х„, так чтобы ))х„— х )) < 2))ń— У. )), получим сходящуюся в себе последовательность [х„) элементов из Е. Так как Š— полное пространство, то существует элемент х~Е такой, что х„-ьх. Но тогда С„-+А, где Ь вЂ” класс, содержащий элемент х, и полнота пространства Е/Е~ доказана. а 31 линейные тОполОГические прострлнс! ЕА ТУ Наконец.

отметим, что если Е,, Ет, ..., Ел — линейные нормированные пространства и Š— прямая сумма этих пространств. то Е также можно сделать нормированным. Например, положим для х = )х„ хз, ..., хл) ))х)) = ))х,))+ ~)Хз!)+ ... + ))Хл)). Можно также доказать, что если Е=Е!ЯЕз, то линейные нормированные пространства Е, и Е~Ез изоморфны. Ряды элементов банахова пространства. Пусть ли хз ..., хл, ... — элементы баиахова пространства Е. Выражение вида ~ хл назовем рядом, составленным из злемеил=! тов пространства Е. Рассмотрим частичные суммы з,= = х, + хз+ ... + Хл.

Если последовательность частичных сумм сходится, то ряд ~ хл называется сходящимся. л-! В силу полноты пространства Е для сходимостн последовательности (зл) достаточно, чтобы она была фундаментальной. Отсюда в свою очередь вытекает следующее достаточное условие сходимости ряда: пусть ))хл)).4 ал и числовой ряд ~ ал сходится; тогда ряд ~ хл также сходится.

Докал ! л=! зательство с очевидностью следует из неравенства )) Ел+ р — г„)) = )) Хл, + ... + Ха+ р)) ~( ар! +... + ал+р. В 3. Линейные топологические пространства Линейное нормированное пространство, некоторые свойства которого были указаны выше, является частным случаен линейного метрического пространства. В свою очередь линейное метрическое пространство является одним из видов более общего линейного топологического пространства.

Линейные топологические пространства нашли в последние голы широкое применение в различных вопросах функционального анализа, теории дифференциальных уравнений и некоторых других разделах математики. Мы коснемся здесь лишь простейшик понятий, относящихся к линейным топологнческим пространствам. Более подробное изложение свойств зтнх пространств имеется, например, в [12] *). ') См.

также монографию Н. Бурбаки, Топологические векторные пространства, Москва, 1959. 78 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫВ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 11 Множество Х (х, у, е, ...] называется линейным топологическиж просгпрапсжвом, если выполнены следующие четыре аксиомы: 1. Х вЂ” топологическое пространство, т. е.

в Х выделена система у подмножеств, которые назывзются огпкрыгпмжи и удовлетворяют таким условиям: 1) пустое множество и все пространство — открытые множества; 2) объединение любого множества открытых множеств есть открытое множество; 3) пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество. Любое открытое множество, содержащее точку х~Х, называется окрестностью втой точки.

Точка х множества М с: Х называется внутренней точкой етого множества, если она входит в него вместе с некоторой окрестностью У(х). Ясно, что каждая точка открытого множества 0 — внутренняя: в атом случае за У(х) можно взять, например, само множество О. Верно и обратное: если каждая точка множества М является внутренней, то множество М вЂ” открытое. Это следует из равенства М Ц У(х), У(х) г: М «Ел[ н свойства 2 открытых множеств. В. Х вЂ” отделимое топологнческое пространство; это означает, что для любых двух точек х и у пространства Х найдется окрестность точки х, не содержащая точки у. С помощью понятия окрестности вводится обычным образом понятие предельной точки множества: именно точка а ~Х называется предельной мочкой множества М ~ Х, если любая окрестность точки а содержит хотя бы одну точку множества М, отличную от точки а.

Совокупность всех предельных точен множества'М называется производным множеством этого множества и обозначается М'. Множество М = М О М' называется замыканием множества М. Множество М называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием. Можно показать, что замыкание и замкнутые множества з топологическом пространстве облздают многими свойствами замыкания и замкнутых множеств на числовой прямой, например: дополнение открытого множества есть замкнутое множество, имеют место свойства 1 — 4 замыкания, указанные на стр. 18, конечное множество замкнуто и т.

д, В топологическом пространстве можно также ввести понятие предела последовательности точек хо хг, „ х„, ... Именно, точках есть предел втой последовательности, если любая окрестность точки х содержит все точки последовательности, начиная с некоторого номера. Легко показать, что предел таким образом определяется однозначно. Ш. Х вЂ” вещественное линейное пространство (рассматриваются также номплексные пространства, но мы этого случая касаться не будем). ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 79 !Н.

Операции сложения элементов и умножения элемента на вещественное число непрерывнм в топологии пространства х. Это означает следующее: 1) для любых двух элементов х и уСХ и любой окрестности (У(х+ у) элемента х+у найдутся окрестности О(х), (7(у) элементов х и у такие, что и(х)+и(у) с=О(х+у) (символом А+В, где А и  — множества линейного пространства Х, обозначается множество элементов из Х вида а+ Ь, а~А, ЬЕВ); 2) для любого вещественного числа Л, любого злемента х~Х и любой окрестности йг элемента Лх найдется число Ь ) 0 и окрестность У элемента х тание, что аУ с %' для любых а, удовлетворяющих нерзвенству )а — Л)<Ь (символ аУ обозначает множество точек видз ау, где уСУ).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
9,47 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее