Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 12
Текст из файла (страница 12)
«чс Тогда й > О, так как иначе уе был бы предельным элементом для Е и, следовательно. входил бы в 7., что невозможно по условию. Для любого числа е > 0 найдется такой элемент хе~Е, что й (()уе — хД ( й+йе. Положим у0 — ха 1У вЂ” хеа Элемент у~Ь гтак как иначе уе входил бы в Е) и ()у(! =1. Возьмеи любой элемент х из Е. Пусть ь хе+ яуе «О!!»' Тогда !~у--1~ =!1 ~',;::;, --!1= и„"., ~ ~~" — ц > 1 а' е >Н „,Ье — И> „Н,— 1 1+,>1 что и требовалось доказать. Пусть Š— линейное нормированное пространство, его надпространство, Е(1.о — соответствующее факторпространство. Е71е допускает следующее нормирование: !!Л~~ = 1п1 й'х1~ кес для всякого 7.ЕЕ(Ц.
Покажем, что )(ь)~ удовлетворяет всем аксиомам нормы. !. Очевидно ()7.!))~0. Покажем, что )(Л)~ =0 тогда и только тогда. когда Е=Ц. Сначала заметим, что 7. есть замкнутое множество. В самом деле, пусть 1х„) — последовательность элеиентов из Е. сходящаяся к х ~ Е. Для любых и и т х„— х ЕЕе. При т — «оо х — х — х — х. а н и ф 2~ ЛИНЕИНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 75 Так как Тч замкнуто, то х„— хЕ Ее, Но тогда х входит вместе с х„в С.
Пусть теперь ))Ц =!Е1 ))х)) =О. кс2 Тогда з Е существует последовательность (х„) такая, что )) х„)) -РО, т. е. х„-РО. Вследствие замкнутости 2. должно содержать и О; но тогда А=Се. То, что ))1„2)) = О, очевидно. и первая аксиома полностью доказана. 2. Пусть е > О. Из определения величины ))Ц)) и ))Ц)) следует существование элементов х, ~2., и ха~12 таких, что ))х,)) ())Е,))+ —, )) 2)) < ))~2)) + Отсюда ))х,+ ха)) ())х,))+ ))ха)) <))Л,))+ )Щ+е. Тем более !Пг ))Х)) ~< Ы )(Х,+Х,)) <))2.,))+ ))ь2))+Е. кгс,+с, «Н ак к,ге, илн ))Е,+Е,2)) <)Щ+))) ))+е. Учитывая произвольность величины е.
отсюда получаем ))с,+ ц) <))у.,))+)щ. 3. ))ЕЦ = )А)))Е)). В самом деле, при Л+ О )) ХЕ)) = Зпг )) З,х)) = ) Х) !пав )) х)) = ) Х) )) Т.)). кге кес Если же А = О, то для любого Ь )) ЛЦ = )) С,)) = О = ) Ц )) Ц, и третья аксиома нормы полностью доказана. Установим в заключение, что скодимость по введенной в пространстве Е/Т. норме последовательности классов (1.„( к классу Е эквивалентна условию. что существует послеловательность элементов (х„), х„ Е е„ такая. что х„-ьх,х ~е. Пусть ))ф— Ь)) О. тв ЛИНЕПНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. Н то есть ))ń— Е)) =е„, е„-+О. Тогда ń— Ь содержит элемент у„— х такой, что у„б~„.
х6~ и ))у„— х)) < 2Е„. При этом в качестве х можно взять любой фиксированный (не зависящий от а) элемент хе~Е. В самом деле, если ))у„— х)) < 2е,. гле у„~Е„, х~ Р., то [)(ул х+ хо) «о)) < 2еч и так как хзЕЛ, х~А, то хе — хЕЕе и х»=у — х[-хоЕ~' Итак, для элемента хе ~ Е построена последовательность [х„), х„~Л„. такая, что х„-ьхе. Пусть. обратно, существует последовательность [х„), х, ~ С„, такая, что х„ -ьх, х ~ Ь.
Так как ))˄— Е)) = 1пг ))у„— у)) <))х,— х)), глас„, ггс то ))ф— Ц О и утверждение доказано. Теперь нетрудно показать, что если Š— полное пространство, то Е/~ также полно. Пусть [Ь„) — сходящаяся в себе последовательность классов пространства Е)1„„. Выбирая в каждом классе Ь„по элементу х„, так чтобы ))х„— х )) < 2))ń— У. )), получим сходящуюся в себе последовательность [х„) элементов из Е. Так как Š— полное пространство, то существует элемент х~Е такой, что х„-ьх. Но тогда С„-+А, где Ь вЂ” класс, содержащий элемент х, и полнота пространства Е/Е~ доказана. а 31 линейные тОполОГические прострлнс! ЕА ТУ Наконец.
отметим, что если Е,, Ет, ..., Ел — линейные нормированные пространства и Š— прямая сумма этих пространств. то Е также можно сделать нормированным. Например, положим для х = )х„ хз, ..., хл) ))х)) = ))х,))+ ~)Хз!)+ ... + ))Хл)). Можно также доказать, что если Е=Е!ЯЕз, то линейные нормированные пространства Е, и Е~Ез изоморфны. Ряды элементов банахова пространства. Пусть ли хз ..., хл, ... — элементы баиахова пространства Е. Выражение вида ~ хл назовем рядом, составленным из злемеил=! тов пространства Е. Рассмотрим частичные суммы з,= = х, + хз+ ... + Хл.
Если последовательность частичных сумм сходится, то ряд ~ хл называется сходящимся. л-! В силу полноты пространства Е для сходимостн последовательности (зл) достаточно, чтобы она была фундаментальной. Отсюда в свою очередь вытекает следующее достаточное условие сходимости ряда: пусть ))хл)).4 ал и числовой ряд ~ ал сходится; тогда ряд ~ хл также сходится.
Докал ! л=! зательство с очевидностью следует из неравенства )) Ел+ р — г„)) = )) Хл, + ... + Ха+ р)) ~( ар! +... + ал+р. В 3. Линейные топологические пространства Линейное нормированное пространство, некоторые свойства которого были указаны выше, является частным случаен линейного метрического пространства. В свою очередь линейное метрическое пространство является одним из видов более общего линейного топологического пространства.
Линейные топологические пространства нашли в последние голы широкое применение в различных вопросах функционального анализа, теории дифференциальных уравнений и некоторых других разделах математики. Мы коснемся здесь лишь простейшик понятий, относящихся к линейным топологнческим пространствам. Более подробное изложение свойств зтнх пространств имеется, например, в [12] *). ') См.
также монографию Н. Бурбаки, Топологические векторные пространства, Москва, 1959. 78 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫВ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 11 Множество Х (х, у, е, ...] называется линейным топологическиж просгпрапсжвом, если выполнены следующие четыре аксиомы: 1. Х вЂ” топологическое пространство, т. е.
в Х выделена система у подмножеств, которые назывзются огпкрыгпмжи и удовлетворяют таким условиям: 1) пустое множество и все пространство — открытые множества; 2) объединение любого множества открытых множеств есть открытое множество; 3) пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество. Любое открытое множество, содержащее точку х~Х, называется окрестностью втой точки.
Точка х множества М с: Х называется внутренней точкой етого множества, если она входит в него вместе с некоторой окрестностью У(х). Ясно, что каждая точка открытого множества 0 — внутренняя: в атом случае за У(х) можно взять, например, само множество О. Верно и обратное: если каждая точка множества М является внутренней, то множество М вЂ” открытое. Это следует из равенства М Ц У(х), У(х) г: М «Ел[ н свойства 2 открытых множеств. В. Х вЂ” отделимое топологнческое пространство; это означает, что для любых двух точек х и у пространства Х найдется окрестность точки х, не содержащая точки у. С помощью понятия окрестности вводится обычным образом понятие предельной точки множества: именно точка а ~Х называется предельной мочкой множества М ~ Х, если любая окрестность точки а содержит хотя бы одну точку множества М, отличную от точки а.
Совокупность всех предельных точен множества'М называется производным множеством этого множества и обозначается М'. Множество М = М О М' называется замыканием множества М. Множество М называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием. Можно показать, что замыкание и замкнутые множества з топологическом пространстве облздают многими свойствами замыкания и замкнутых множеств на числовой прямой, например: дополнение открытого множества есть замкнутое множество, имеют место свойства 1 — 4 замыкания, указанные на стр. 18, конечное множество замкнуто и т.
д, В топологическом пространстве можно также ввести понятие предела последовательности точек хо хг, „ х„, ... Именно, точках есть предел втой последовательности, если любая окрестность точки х содержит все точки последовательности, начиная с некоторого номера. Легко показать, что предел таким образом определяется однозначно. Ш. Х вЂ” вещественное линейное пространство (рассматриваются также номплексные пространства, но мы этого случая касаться не будем). ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 79 !Н.
Операции сложения элементов и умножения элемента на вещественное число непрерывнм в топологии пространства х. Это означает следующее: 1) для любых двух элементов х и уСХ и любой окрестности (У(х+ у) элемента х+у найдутся окрестности О(х), (7(у) элементов х и у такие, что и(х)+и(у) с=О(х+у) (символом А+В, где А и  — множества линейного пространства Х, обозначается множество элементов из Х вида а+ Ь, а~А, ЬЕВ); 2) для любого вещественного числа Л, любого злемента х~Х и любой окрестности йг элемента Лх найдется число Ь ) 0 и окрестность У элемента х тание, что аУ с %' для любых а, удовлетворяющих нерзвенству )а — Л)<Ь (символ аУ обозначает множество точек видз ау, где уСУ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
