Главная » Просмотр файлов » Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа

Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 15

Файл №1134949 Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа) 15 страницаЛ.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949) страница 152019-05-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Числа с, называются иоеффийиеи рами Фурье элемента х относительно ортонормальной системы [е,[. Из последнего равенства получаем и 2 п л х — ~~'.[ а,е, =[[х[2 — ~[с,['+~ [а,— с,[2. 1=1 1=1 1=1 Отсюда следует. что норма разности х — ~ч'.[ а,е, принимает ! 1 наименьшее значение, когда коэффициенты а, являются коэффициентами Фурье элемента х относительно системы [ес[. В этом случае имеем и 2 и О ( [ х — ~ч.", с;е, = [х [[с — ~~ ет ( е. (7) с ! 1=1 н так как е можно выбрать сколь угодно малым.

то л лл Х = НШ ~Ч'., С,Е, = ~Ч,'С С,ЕР к.лсл ! 1 с=! л Из формулы (7) следует также, что ряд ~',![с![' сходится, 1 1 АБСТРАКТНОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 91 % 4! причем ~) ) с,)'=))х))1. 1 1 Пусть теперь х — любой элемент пространства Н. Обоаначим через х проекцию х иа Е; тогда где с, = (х, е,) = (х, е,) и ~л."4) с1)' = ))е))1. 1 ! Так как х= я+ у, ЕС 1'., у ) Б. то )) х))4 = ) г ))в + ) у)~ )~)) е))1. Следовательно, для любого элемента х из Н справедливо неравенство О ~~'.) ) с,)'~~))х))'.

(8) где с,=(х, е,) (1=1, 2, ...). Это соотношение называется неравенством Бесселя. Замкнутость в смысле Стеклова. В. А. Стеклов, исследуя вопрос о разложимости функций по ортогональным системам. ввел важное понятие замкнутости этой системы. Пусть в пространстве Н дана ортонормальная система элементов )е,). Если не существует элемента х ~Н, отличного от нулевого и ортогонального всем элементам системы )е;), то эта система называется полной.

Ортонормальная система )е,) называется замкнутой, если подпространство г-, порождаемое этой системой, совпадает с Н. Ряд Фурье по замкнутой системе, построенный для любого х~Н, сходится к этому элементу и для любого х ~ Н имеет место равенство Парсеваля — Стеклова ~'., сзг =)) х))', 1 1 92 линапныв новмнвованныв пвостялнствл [гл. и Замкнутая ортонормальная система называется также о рт оно р малькам базисом гильбертова пространства. Если ортонормальная система полная, то она замкнутая. В самом деле, в этом случае не существует элемента, отличного от нулевого и ортогонального линейному многообразию 1., порождаемому системой.

Но тогда в силу леммы 2 1. = Н и система полная. Обратно, замкнутая ортонормальная система ~еД полна, так как для такой системы несли х ~ еп1=1,2,...,т.е.с,=0,1=1,2,...,то 1х'1=0, что означает полноту системы (е,). Примером полной ортонормальной системы является си- 1 1 1 стема тригонометрических функций =, = соа 1, = Мп 1, У2н' $~'й ' Ун =сов 21, ... в вещественном пространстве 1.з[ — и, и].

рн Легко доказать существование полной ортонормальной системы в любом сепарабельном гильбертовом пространстве. Пусть 0=(ун дм ..., л'„, ...) — любое счетное всюду плотное множество в пространстве Н, причем все л'„, и = 1, 2, ..., отличны от нуля. Полагаем е,= — ' 1аП ' и пусть 1., — одномерное подпространство, порожденное элементом еп Пусть и„,— первый элемент множества О, не принадлежащий А,, и и — проекция д,, на Н вЂ” 1ч.

Полагаем ля ез 9аП ' Пусть 1.з — подпространство. порожденное элементами е, и е,, и А'„,— первый элемент множества О. не принадлежащий 1з. Пусть лз — проекция л„, на Н вЂ” 1 . Полагаем и т. д. Получаем ортонормальную систему еи ез, ..., е„, $4! АБСТРАКТНОЕ ! ИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 93 и так как каждый элемент п„принадлежит некоторому (.„, в силу построения этих подпространств, то подпространство. определяемое системой (е,), совпадает с подпространством, ОПрЕдЕЛяЕМЫМ СИСтЕМОй (йг,], т. Е. С Н.

Прн ЭТОМ СИСтЕМа (Е4) необходимо счетная, ибо если бы она содержала конечное число р элементов, то, как известно из линейной алгебры, в Н не существовало бы р + 1 линейно независимых элементов, что противоречит аксиоме 4. Если (е,] — полная ортонормальная система, а х и у †элемен из Н с коэффициентами Фурье. соответственно с, н г(н ( = 1. 2, ..., то легко проверить, что (Х, У)= ~4 С44(4. 4=1 Изоморфизм гильбертовых сепарабельных пространств. Рассмотрим сепарабельное гильбертово пространство Н, и пусть (е,) — полная ортонормальная система в этом пространстве.

Если х — некоторый элемент нз Н, то этому элементу можно поставить в соответствие последовательность чисел (сн ст, ..., с„, ...), являющихся коэффициентами Фурье элемента х по системе (е,). Как было показано выше, ряд сходится, и, следовательно, последовательность (с,; ст, ...

..., с„, ...] можно рассматривать как некоторый элемент х комплексного пространства (Р Таким образом, каждому элементу х ~ Н соответствует некоторый элемент х ~ (я, причем в силу условия полноты системы 4 (10) где нижний значок показывает, в смысле какого пространства берется норма. 1(злее очевидно, что если х~Н соответствует х ~ !а и у ~ Н соответствует у ~ !м то хну соответствует х+у.

Отсюда и из (1О) следует Мх — у]м=()х — уЬ,. (1 1) йв линииныс ноэмиговлнные пвостглнствл 1гл. и Пусть теперь е = (ь!) — произвольный и Рассмотрим в Н элементы г„= ~ ь!е!. ! ! Имеем элемент из 1г. а=1, 2, ° е р и г 1г = ~ ь!е! = Х !!г! Р ! т+! ! а+! и потому 1г„— г 1-+О при и, т -ь со. Таким образом, последовательность (г„) сходится в себе в смысле метрики пространства Н и в силу его полноты сходится к некоторому элементу л этого пространства. Так как (е, е!) = Оп! (х„, е,) = ьг, то коэффициентами Фурье элемента л по выбранной ортонормальной системе являются как раз числз ь!.

Таким образом. каждый элемент г Е 1г соответствует некоторому элементу г ~ Н. Тем самым мы имеем взаимно однозначное соответствие между элементачн пространств Н и 1з. Формула (11) показывает, что это соответствие между пространствами Н и 1г есть соответствие изометрин. Так как, кроме того. очевидно, что если х соответствует х, то ),х соответствует Хх, то, учитывая ранее сказанное относительно сохранения операции сложении при рассматриваемом соответствии, получаем, что Н и 1г изоморфны. Таким образом, нами доказана Т е о р е м а 2. Всякое комплексное (вещестеенное) сепарабельное гильбертово пространство изолетрично и изоморфно комплексному (вещественному) пространсаву 1з и, следовательно, все комплексные (вещественные) сепарабельные пространства изометричны и изоморфны между собой.

Отсюда, в частности, следует Теорема 3. (Рисе, Фишер). Вещественные пространства 1г(О, 11 и 1 изометричны и изоморфны. $5! ововщенные пгонзводныв 5 6, Обобщенные производные и пространства С. Л. Соболева Во многих задачах математической физики целесообразно вводить обобщенные решения линейного дифференциального уравнения в частных производных. Совокупность обычных. решений такого уравнения, если ее рассматривать как функциональное пространство с некоторой метрикой, есть, вообще говоря, пространство не полное. Пополняя это пространство, мы приходим к обобщенным решениям — элементам пополненного пространства. Так, например, совокупность решений задачи о свободных колебаниях бесконечной струны, описываемых уравнением дги дги а2 дтт дхз ' имеет вид и(х, 1) = ф(х+ а()+ф(х — аг), (1) где ф и ф — дважды дифференцируемые функции.

Пополняя совокупность таких решений, например, по метрике равномерной сходимости, мы приходим к совокупности обобщенных решений, также имеющих вид (1), где ф и ф являются уже произвольными непрерывными функциями, При построении обобщенных решений возникает понятие обобщенной производной, впервые введенное С. Л. Соболевым. Ниже мы изложим для некоторых простейших случаев осноны теории обобщенных производных и пространств С.

Л. Соболева (30). Пусть Π— ограниченная выпуклая область на плоскости. Рассмотрим функции ~р(х, у), определенные и непрерывные вместе с производными до 1-го порядка включительно в некоторой области. содержащей в себе замыкание области О (в этом случае мы будем говорить. что у(х, у) непрерывна вместе с производными до 1-го порядка в О). В множестве таких функций введем норму, полагая 1 1Р1= Я ~гр(х, у)~г х у+,~ Я ...,~ для) а г,,д=г а Легко проверить, что все аксиомы нормы выполняются, и мы прихолим к линейному нормированному неполному пространщ ству, которое обозначим (г'~р'.

Пополняя это пространство во 96 Лйнейные нормиРОВАнные пРОстРАнстВА !Гл. >> введенной норме, мы получим пространство С. Л. Соболева (р>р". Пусть Д вЂ” элемент пространства В'р, ие принадлежа>и щий Ур~. Это значит, что существует последовательность функций )ф„(х, у))<=Ур~> такая, что ~Фр Ус)) о> -» 0 пРИ и -» ОО. Отсюда следует, что )~р,„— ~рр)) <о — »О, и, т-»со, р т. е. /'~')ф„(х, у) — ф„(х. у)) «х у- 0 о д><р д'Р 1 1 ~ д >,д > дх>,д >, ~ «х«У — »О, о 1,+1я — — 1, и, т-+со.

Г д>е (х, у) 1 Таким образом, последовательности )ф„(х. у)] и ! е"( ' У) 1 ( дх>' ду>' из Ьр(0) (см. стр. 499) сходятся в себе в среднем с показателем р. В силу полноты пространства 1.р(0) существуют функции ф>(х, у) и <р!э> '>(х, у)~Ь (0), являющиеся пределами указанным носледоватеяэиостей. Отождестви>э элемент уо с функцией фэ(х, у), а функцию <Рф~" ~>(х, у) назовем обобщенной производной 1-го порядка функции фе(х, у) и обод>тв(х, у) значим, как и обычную производную, через ' . Так дхп ду' как по определению Щ) =!!Е>))<р„)), то норму элемента 1з.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
9,47 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее