Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Числа с, называются иоеффийиеи рами Фурье элемента х относительно ортонормальной системы [е,[. Из последнего равенства получаем и 2 п л х — ~~'.[ а,е, =[[х[2 — ~[с,['+~ [а,— с,[2. 1=1 1=1 1=1 Отсюда следует. что норма разности х — ~ч'.[ а,е, принимает ! 1 наименьшее значение, когда коэффициенты а, являются коэффициентами Фурье элемента х относительно системы [ес[. В этом случае имеем и 2 и О ( [ х — ~ч.", с;е, = [х [[с — ~~ ет ( е. (7) с ! 1=1 н так как е можно выбрать сколь угодно малым.
то л лл Х = НШ ~Ч'., С,Е, = ~Ч,'С С,ЕР к.лсл ! 1 с=! л Из формулы (7) следует также, что ряд ~',![с![' сходится, 1 1 АБСТРАКТНОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 91 % 4! причем ~) ) с,)'=))х))1. 1 1 Пусть теперь х — любой элемент пространства Н. Обоаначим через х проекцию х иа Е; тогда где с, = (х, е,) = (х, е,) и ~л."4) с1)' = ))е))1. 1 ! Так как х= я+ у, ЕС 1'., у ) Б. то )) х))4 = ) г ))в + ) у)~ )~)) е))1. Следовательно, для любого элемента х из Н справедливо неравенство О ~~'.) ) с,)'~~))х))'.
(8) где с,=(х, е,) (1=1, 2, ...). Это соотношение называется неравенством Бесселя. Замкнутость в смысле Стеклова. В. А. Стеклов, исследуя вопрос о разложимости функций по ортогональным системам. ввел важное понятие замкнутости этой системы. Пусть в пространстве Н дана ортонормальная система элементов )е,). Если не существует элемента х ~Н, отличного от нулевого и ортогонального всем элементам системы )е;), то эта система называется полной.
Ортонормальная система )е,) называется замкнутой, если подпространство г-, порождаемое этой системой, совпадает с Н. Ряд Фурье по замкнутой системе, построенный для любого х~Н, сходится к этому элементу и для любого х ~ Н имеет место равенство Парсеваля — Стеклова ~'., сзг =)) х))', 1 1 92 линапныв новмнвованныв пвостялнствл [гл. и Замкнутая ортонормальная система называется также о рт оно р малькам базисом гильбертова пространства. Если ортонормальная система полная, то она замкнутая. В самом деле, в этом случае не существует элемента, отличного от нулевого и ортогонального линейному многообразию 1., порождаемому системой.
Но тогда в силу леммы 2 1. = Н и система полная. Обратно, замкнутая ортонормальная система ~еД полна, так как для такой системы несли х ~ еп1=1,2,...,т.е.с,=0,1=1,2,...,то 1х'1=0, что означает полноту системы (е,). Примером полной ортонормальной системы является си- 1 1 1 стема тригонометрических функций =, = соа 1, = Мп 1, У2н' $~'й ' Ун =сов 21, ... в вещественном пространстве 1.з[ — и, и].
рн Легко доказать существование полной ортонормальной системы в любом сепарабельном гильбертовом пространстве. Пусть 0=(ун дм ..., л'„, ...) — любое счетное всюду плотное множество в пространстве Н, причем все л'„, и = 1, 2, ..., отличны от нуля. Полагаем е,= — ' 1аП ' и пусть 1., — одномерное подпространство, порожденное элементом еп Пусть и„,— первый элемент множества О, не принадлежащий А,, и и — проекция д,, на Н вЂ” 1ч.
Полагаем ля ез 9аП ' Пусть 1.з — подпространство. порожденное элементами е, и е,, и А'„,— первый элемент множества О. не принадлежащий 1з. Пусть лз — проекция л„, на Н вЂ” 1 . Полагаем и т. д. Получаем ортонормальную систему еи ез, ..., е„, $4! АБСТРАКТНОЕ ! ИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 93 и так как каждый элемент п„принадлежит некоторому (.„, в силу построения этих подпространств, то подпространство. определяемое системой (е,), совпадает с подпространством, ОПрЕдЕЛяЕМЫМ СИСтЕМОй (йг,], т. Е. С Н.
Прн ЭТОМ СИСтЕМа (Е4) необходимо счетная, ибо если бы она содержала конечное число р элементов, то, как известно из линейной алгебры, в Н не существовало бы р + 1 линейно независимых элементов, что противоречит аксиоме 4. Если (е,] — полная ортонормальная система, а х и у †элемен из Н с коэффициентами Фурье. соответственно с, н г(н ( = 1. 2, ..., то легко проверить, что (Х, У)= ~4 С44(4. 4=1 Изоморфизм гильбертовых сепарабельных пространств. Рассмотрим сепарабельное гильбертово пространство Н, и пусть (е,) — полная ортонормальная система в этом пространстве.
Если х — некоторый элемент нз Н, то этому элементу можно поставить в соответствие последовательность чисел (сн ст, ..., с„, ...), являющихся коэффициентами Фурье элемента х по системе (е,). Как было показано выше, ряд сходится, и, следовательно, последовательность (с,; ст, ...
..., с„, ...] можно рассматривать как некоторый элемент х комплексного пространства (Р Таким образом, каждому элементу х ~ Н соответствует некоторый элемент х ~ (я, причем в силу условия полноты системы 4 (10) где нижний значок показывает, в смысле какого пространства берется норма. 1(злее очевидно, что если х~Н соответствует х ~ !а и у ~ Н соответствует у ~ !м то хну соответствует х+у.
Отсюда и из (1О) следует Мх — у]м=()х — уЬ,. (1 1) йв линииныс ноэмиговлнные пвостглнствл 1гл. и Пусть теперь е = (ь!) — произвольный и Рассмотрим в Н элементы г„= ~ ь!е!. ! ! Имеем элемент из 1г. а=1, 2, ° е р и г 1г = ~ ь!е! = Х !!г! Р ! т+! ! а+! и потому 1г„— г 1-+О при и, т -ь со. Таким образом, последовательность (г„) сходится в себе в смысле метрики пространства Н и в силу его полноты сходится к некоторому элементу л этого пространства. Так как (е, е!) = Оп! (х„, е,) = ьг, то коэффициентами Фурье элемента л по выбранной ортонормальной системе являются как раз числз ь!.
Таким образом. каждый элемент г Е 1г соответствует некоторому элементу г ~ Н. Тем самым мы имеем взаимно однозначное соответствие между элементачн пространств Н и 1з. Формула (11) показывает, что это соответствие между пространствами Н и 1г есть соответствие изометрин. Так как, кроме того. очевидно, что если х соответствует х, то ),х соответствует Хх, то, учитывая ранее сказанное относительно сохранения операции сложении при рассматриваемом соответствии, получаем, что Н и 1г изоморфны. Таким образом, нами доказана Т е о р е м а 2. Всякое комплексное (вещестеенное) сепарабельное гильбертово пространство изолетрично и изоморфно комплексному (вещественному) пространсаву 1з и, следовательно, все комплексные (вещественные) сепарабельные пространства изометричны и изоморфны между собой.
Отсюда, в частности, следует Теорема 3. (Рисе, Фишер). Вещественные пространства 1г(О, 11 и 1 изометричны и изоморфны. $5! ововщенные пгонзводныв 5 6, Обобщенные производные и пространства С. Л. Соболева Во многих задачах математической физики целесообразно вводить обобщенные решения линейного дифференциального уравнения в частных производных. Совокупность обычных. решений такого уравнения, если ее рассматривать как функциональное пространство с некоторой метрикой, есть, вообще говоря, пространство не полное. Пополняя это пространство, мы приходим к обобщенным решениям — элементам пополненного пространства. Так, например, совокупность решений задачи о свободных колебаниях бесконечной струны, описываемых уравнением дги дги а2 дтт дхз ' имеет вид и(х, 1) = ф(х+ а()+ф(х — аг), (1) где ф и ф — дважды дифференцируемые функции.
Пополняя совокупность таких решений, например, по метрике равномерной сходимости, мы приходим к совокупности обобщенных решений, также имеющих вид (1), где ф и ф являются уже произвольными непрерывными функциями, При построении обобщенных решений возникает понятие обобщенной производной, впервые введенное С. Л. Соболевым. Ниже мы изложим для некоторых простейших случаев осноны теории обобщенных производных и пространств С.
Л. Соболева (30). Пусть Π— ограниченная выпуклая область на плоскости. Рассмотрим функции ~р(х, у), определенные и непрерывные вместе с производными до 1-го порядка включительно в некоторой области. содержащей в себе замыкание области О (в этом случае мы будем говорить. что у(х, у) непрерывна вместе с производными до 1-го порядка в О). В множестве таких функций введем норму, полагая 1 1Р1= Я ~гр(х, у)~г х у+,~ Я ...,~ для) а г,,д=г а Легко проверить, что все аксиомы нормы выполняются, и мы прихолим к линейному нормированному неполному пространщ ству, которое обозначим (г'~р'.
Пополняя это пространство во 96 Лйнейные нормиРОВАнные пРОстРАнстВА !Гл. >> введенной норме, мы получим пространство С. Л. Соболева (р>р". Пусть Д вЂ” элемент пространства В'р, ие принадлежа>и щий Ур~. Это значит, что существует последовательность функций )ф„(х, у))<=Ур~> такая, что ~Фр Ус)) о> -» 0 пРИ и -» ОО. Отсюда следует, что )~р,„— ~рр)) <о — »О, и, т-»со, р т. е. /'~')ф„(х, у) — ф„(х. у)) «х у- 0 о д><р д'Р 1 1 ~ д >,д > дх>,д >, ~ «х«У — »О, о 1,+1я — — 1, и, т-+со.
Г д>е (х, у) 1 Таким образом, последовательности )ф„(х. у)] и ! е"( ' У) 1 ( дх>' ду>' из Ьр(0) (см. стр. 499) сходятся в себе в среднем с показателем р. В силу полноты пространства 1.р(0) существуют функции ф>(х, у) и <р!э> '>(х, у)~Ь (0), являющиеся пределами указанным носледоватеяэиостей. Отождестви>э элемент уо с функцией фэ(х, у), а функцию <Рф~" ~>(х, у) назовем обобщенной производной 1-го порядка функции фе(х, у) и обод>тв(х, у) значим, как и обычную производную, через ' . Так дхп ду' как по определению Щ) =!!Е>))<р„)), то норму элемента 1з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
