Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Приведем некоторые следствия из аксиом линейного пространства. !. О х = О *'). В самом деле, х = 1 ° х = (1 + О) ° х = 1 ° х + О ° х = х.+ О ° х. ч) Иа стр. 13 термин пространство имел другой смысл. Однако во всех линейных пространствах, которые будут рассматриваться в дальнейшем, понятие предела последовательности будет введено. ьч) Символом О мы обозначаем и число нуль и нулевой элемент линейного пространства. Из текста будет ясно, о чем идет речь в том или ином случае. линеиные НРостРАнстВА ап Отсюда х+( — х) = х+ 0 ° х+( — х) нли 0=0+0 х=О х. 2.
( — 1) х= — — х, так как ( — 1) х + х = ( — 1+ 1) х .= 0 х .=- О. 3. Л. 0= 0, так как Л ° 0 = Л [х+( — х)) =Лх+Л( — х) = = Лх+ ( — Л) х = Лх — Лх = О. 4. Если Лх=)гх и хФО, то Л=р. В самом деле, если Лх=)гх. то Лх — )гх=О или (Л вЂ” р)х= О. Отсюда. если предположить, что Л ~ )А, х= (Л вЂ” р)х= 0=0, 1 1 что противоречит условию. Отметим, что если Š— линейное пространство, то коммутативность сложения является следствием остальных аксиом. Действительно, (х + у) — (у + х) = (х + у) + ( — 1) (у + х) = = х+ у+( — 1) у+( — 1) х = х-+ [у+-( — 1)у[+( — 1) х = = х + О+ ( — 1) х = х+ ( — 1) х .=- О.
Будем говорить, наконец, что два линейных пространства Н и Е' изохорфнм, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее алгебраические операции, т. е. такое, что если х~»х' и уч-»у', то х+ у ~-» х'+ у' и Лх ч-» Лх'.
В линейных пространствах можно ввести понятие линейной зависимости и линейной независимости элементов. Элементы х,, хз, ..., х„ линейного пространства называются линейно независимыми, если из равенства Л,х,+).зхз+ ... +Л„х„= 0 60 линвпные иопыияовлнныи пяоствлнствл 1гл. и следует, что Л,=Л,= ...
=Л„=О. Если, наоборот, существуют такие не все равные нулю Л1 Л2 Лл л1х1+ лгхг+ ... + Лчхч — — О, что то элементы хи хг, ..., х„ называются линейно зиеисимыми. Пусть в этом последнем случае, например, Л„Ф О. Тогда л, Л1 1 х= — — х — — х —...— =х ч Л„ 1 Л„ 2 ''' Л„ л- или, полагая — — = а,, Л1 л„ х, = а,х, + агхг+ ... + а„,х„, В этом случае говорят. что элемент х„есть линейная комбинация элементов х,, хг, ..., х„ Линейные многообразия. Непустое множество Е элементов линейного пространства Е называется линейным многообразием, если вместе с элементами х,, х,, ..., х„множество с содержит любую линейную комбинацию а,х,+азха+ ... -+а„х„ этих элементов. Отметим, что всякое линейное многообразие содержит нулевой элемент О.
В самом деле, так как 7. не пусто, то оно содержит некоторый элемент х. Так как Ь вЂ” линейное многообразие, то оно содержит и элемент — х=( — 1)х. а следовательно, и х+( — х)=О. Рассмотрим элементы хи хг, ..., ха линейного пространства. Совокупность всевозможных сумм ~'.; агхг, оче1=! видно, образует некоторое линейное многообразие Аа в Е. ЛИНЕИНЫЕ ПРОСТРАНСТВА % и 61 В самом деле, если элементы уг имеют вил е у =~п1х1, 1=1 то любая линейная комбинация этих элементов в силу равенства л й1У1+ )"гут+ ' ' ' + )'дул Х ргх! 1=1 имеет тот же вид.
Построенное линейное многообразие Ц есть, очевидно, наименьшее линейное многообразие. содержащее элементы хн хя, ..., хл (наименьшее в том смысле, что всякое другое линейное многообразие Е, содержащее элементы хн хт...., х„, содержит Ц). Определение наименьшего линейного многообразия, содержащего заданные элементы, нетрудно распространить и на случай бесконечного, например, счетного множества элементов.
В самом деле, пусть )хн хм ..., х„, ...) — счетное множество элементов из Е. Наименыиим линейным многообразием !'.з, содержащим эти элементы, будет множество всевозможных сумм вида ~ ).!х!. где не только 1=! ).! — произвольные числа, но и й принимает произвольные натуральные значения. Наименьшее линейное многообразие.
содержащее заданные элементы, называют также линейным многообразием. порожденным данными элементами. или линейной оболочкой этих элементов. Если линейное многообразие Е пространства Е определяется конечным числом элементов, то оно называется конечномерным. Если Е определяется элементами хо хм .. „х„и эти элементы линейно независимы, то и называется числом измерений линейного многообразия Ь. В этом случае совокупность элементов хн хг, ..., х„называется базисом Ь ч). Если же элементы хн хз, ..., х„линейно зависимы, то числом измерений линейного многообразия Ь называется максимальное число линейно независимых элементов из совокупности х,, хм ..., х„.
") Определение базиса для некоторых бескоиечномерных пространств булет дано виже. 62 линеиные нОРмиРОВАнные ИРостРАнстВА 1гл.!г Иными словами, Е будет п-мерным, если в Е существуют и линейно независимых элементов, а всякий (и-+ 1)-й элемент этого линейного многообразия линейно зависим. Если в пространстве Е (линейном многообразии Е) для любого числа и существует и линейно независимых элементов, то пространство Е (линейное многообразие Е) называется беснонечномэрнмм.
Например, легко видеть, что пространство С[0, 1) бесконечномерно. Прямые суммы. Введем понятие о разложении линейного пространства в прямую сумму двух или нескольких линейных многообразий. Пусть Š— линейное пространство и Ен Е,, ..., ń— принадлежащие ему линейные многообравия. Если каждый элемент х ~ Е однозначно представим в виде х=х,+ха+ ... +хи, х,ЕЕ1, 1=1, 2, ..., п, (1) то говорят, что пространство Е есть прямая сумма линейных многообразий ЕР Ез, ..., Еи, а выражение' (1) называют разложением элемента х по элементам иэ ЕР Ез Еи Будем писать в этом случае » Š— чЗУЕР Легко видеть; что если и!! а Е, = ~ Я Е!А1, ь=! то Ф! Е=Х БЕЕ'" 1=1 А=! В самом деле, тогда каждый элемент х ~ Е представим в виде и и х= ~ х,= ~'.~ (х!!'+хдз'+...
+х~„!), х, ~ЕР х!Ао~ Е!А'! ° 1=! 1=! и это представление однозначно, ибо если и и х= ~~'.~ х1= ~~'„',(х! + ха + ° ° ° +х!» ) 1 ! 1=! ЛИНЕЙНЪ!Е ПРОСТРАНСТВА — другое такое представление, то в силу однозначности разложения элемента х ~ Е по элементам линейных многообразий Е|, ..., 1.„ имеем Х<=Х1 +Х2 +, +Ха =Х1 +Х2 + +Хм< Х| <О <1| <1| -<1| -<1| -<1| а в силу однозначности разложения элементов х<~<и по элементам линейного многообразия Е1, Ет, ..., Ь,„, имеем <1| и| Н| ,х<„'|=х<'>, <=1, 2.....
и; й=1, 2, .... т,. Нетрудно доказать, что если Е=1.161.2, то Ь1 и Ц имеют общим лл|иь нулевой элемент пространства. В самом деле, если бы 1.1 и Е| содержали другой общий элемент и, то для элемента хПЕ, имеющего представление х=у+«. уЕУч* «Еба. мы имели бы также представление х =(у — и)+ («+ и), у — и ~ 1.1, «+ и ~ 1.2, отличное от первого, что по условию невозможно.
Обратно, если любой элемент ХСЕ может быть представлен е виде х=у+«. уЕЕ|, «ЕЕ2, <2) и Ц,ПЕ2 —— О, то Е=Ц,ЮУ2. Для доказательства этого утверждения достаточно установить однозначность разложения (2). Но если х=у+«=у+«. у. убей<, «. «ЕУч, то у — у=« — «у — у61ч « — «612. В силу сделанного предположения отсюда следует, что у — у= « — «=О, т. е. у=у, «= «, что и требовалось доказать. В ряде случаев оказывается полезным понятие о прямой сумме двух .или нескольких пространств.
Пусть Е,, Е2...,, Š— линейные пространства. Рассмотрим множество Х всевозможных упорядоченных систем х = (х<...., х„) элементов данных пространств (х< ~ Ее, 64 линейные нОРмиРОВАнные НРОстРАнстВА 1гл. 11 1 —.— 1. 2, ..., п). Если даны такие системы х=(хп хж ..., х„) и у=(уи у, ..., у„) и скаляр Л. то положим х+ у==(х, + ун ха+у,, ..., х„+у„) и Лх.= — (Лх,, )хж ..., Лх„). Легко проверить, что для определенных так операций сложения и умножения на скаляр все аксиомы линейного пространства выполняются, так что множество Х рассматриваемык упорядоченных систем является линейным пространством. Если все пространства Е1 являются метрическими пространствами, то Х можно метризовать, полагая, например, р(х, у) = шахр(хп у,) нли Р(х, У)= 1 ~1Рз(хп У;), где р(х1, у,) — расстояние между точками х1 и уг пространства ЕР Из полноты пространств Е,, Е,, ..., Е„ следует полнота пространства Х.
Доказательство этих утверждений предоставляем читателю. Пример. Пусть Е1 для любого 1 — числовая прямая. Тогда и ~', Я Е1, метрнзованное вторым способом, есть л-мерное евклндоэо 1=1 пространство. Факторпространства. Рассмотрим линейное пространство Е и некоторое линейное многообразие Ле, принадлежащее Е. Пространство Е как группа по отношению к операции сложения распадается на классы смежности по отношению к подгруппе Ле. Именно, пространство Е распадается на множества Л такие, что два элемента х, и хз принадлежат одному и тому же множеству Е тогда и только тогда, когда х, — хя принадлежит 1~.
Если х' — произвольный элемент из Е, то всякий другой элемент иэ Л представим в виде х = х'+ хе, где хэ~ Л . яп ЛИНЕЯНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Можно поэтому сказать, что Ь образовано «сдвигом на х'» линейного многообразия ЕР Построим факторгруппу Е~~з. Элементами ее являются множества Е, образованные сдвигами линейного многообразия т.з.
Операция сложения в Е(Ез определяется следующим образом: пусть Л, и А — элементы из Е/Уо; тогда суммой А,.+ 12 называется класс смежности, образованный из всевозможных сумм х, + х2, где х2 б ~т, х2 ц Ц, А, + Е2 есть действительно класс смежности, так как если х,+х и х,'+х'— два элемента этого множества, то (Х! + Х2) — (Хг+ Х2) = (Хт — Хт) + (Х2 — Х2) = Хв+ уе Е 10 так как хе, У2ЕЕз и Ез — линейное многообРазие. Следовательно, ~, + Ц ~ Ь, где Š— некоторый класс смежности. Если у — любой элемент этого класса, то, взяв элемент вида х, + хз, входящий в Е (это возможно, ибо ЕлЕ, + А2), будем иметь У вЂ” (хт+ Х2) = ха с ещ откуда у=х1+х +хе —— -х,+хз, где х, ~ Ен х, ~ Е2. Поэтому Е ~ Е, + ь2. Следовательно, ~, + Ц = Е.
Аналогично доказывается, что ХŠ— совокупность элементов вида Ах, где х~Е и А+ О, есть тоже класс смежности. Далее по определению полагаем, что О А.=Ц для любого Е ~ Е(1, Легко проверить, что Е/ьа удовлетворяет всем аксиомам линейного пространства. При этом роль нуля пространства Е(т т играет ЕР Заметим, что если Е~Е(т.а содержит Π— нулевой элемент пространства Е, — то С совпадает с 12, так как в этом случае любой элемент х ~ Е имеет вид х = О+ хо = хо с ~- Верно и обратное утверждение.
Пространство Е)тз называется факторлрост ране тво.а пространства Е по Ц. Пример. Рассмотрим в С[0, Ц линейное многообразие С2 1 всея непрерывных функций, обращающихся в нуль прн 2' бб линепные ноРмиРОВАнные НРостРАнствл [Гл. и Соответствующее факторпространство изоморфио вещественной прямой. В самом деле, пусть х([) я у (Г) принадлежат одному классу смежности относительно См Это значит, что х[ — ) — у[1 — ) =0 или х( — ) =у[ — ). Такам образом, в класс смежности объеди- (,2) 12)' 1 няются функции, имеющие в точке Г= — одинаковое значение. 2 Взяв в каждом классе смежности по представителю х([) = сопщ, мы получилн взаимно однозначное соответствие между множе- ством констант и множеством классов смежности.
Легко видеть, что это соответствие - изоморфизм. Можно доказать, что если пространство Е = Е[ Щ Ез то Е)Е[ изоморфно Е,. Связь веществеийых и комплексных пространств. Для комплексных чисел, кроме алгебраических операций, основ- ной является также операция сопряжению а+И= а — И. Естественно рассматривать комплексное пространство, на котором определена аналогичная операция в инволюция.
Инеолюйией называется операция, определенная для всех элементов х, у, г.... линейного комплексного простран- ства Е, относящая им элементы х, у, г, ... из Е, причем 1) х + у = х+ у. 2) Хх = Хх (), — комплексный множитель), 3) (х) = х=х ч). Элементы х ~ Е, для которых х = х, называются веще- ственными. Элементы х~Е, для которых х= — х, назы- ваются чисто мнимыми. Очевидно, что если х — веще- ственный, то [х — чисто мнимый элемент, и если у — чисто 1 мнимый, то —.у — вещественный элемент.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
