Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Пространство всех числовых последовательностей. Приведем пример метризуемого пространства. Пусть Х вЂ” множество всех последовательностей вещественных чисел, Введем в атом множестве понятие предельного перехода, полагая, что х„ = [ь[с"[[ стремится к х [$,.), если ф'[ -э сс для всех 1 = 1, 2, 3, ... (вообще неравномерно относительно ь).
Мы получаем, таким образом, некоторое неметрическое пространство, которое назовем пространством з. Покажем, что пространство в можно метризовать. Пусть х Дс) Св и у= (ТО) Сж Положим р(х, у)= )й — Чс! л [ 2' 1+][с — Чс! Аксиомы тождества и симметрии очевидны. Аксиома треугольника слелует из неравенства )а+Ь! ]а! )Ь! [+]а+Ь! 1+]а! 1+]Ь]' которое доказывается следующим образом. Пусть а и Ь одного знака. Можно считать, что а > 0 и Ь > 0 и тогда [а+Ь! а+Ь а Ь 1+]а+Ь! 1+а+Ь 1+а+Ь 1+а+Ь а Ь < — + — ° 1+а 1+Ь' ь зт ПРИМЕРЫ МЕТРИЧ..СКИХ ПРОСТРАНСТВ 25 Пусть теперь а и Ь разных знаков. Сии~лам, что (а(~(Ь!. Т~ гда !а+Ь! <(а!.
х Рассмотрим функцию у(х) = . Имеем 1+х 1 у'(х)=,1 „, ~О, так что у (х) — возрастающая функция. Значит, !а+Ь|, (а! !а! !Ь! 1+(а+Ь! 1+!а! 1+!а! 1+!Ь! Возвращаясь к аксиоме треугольника, находим ч, 1 ! », — »,! у 1 ! »; — ц, + й, — »,! ~~ 2' 1+ !»~ — »й ! ~" 2' 1+ ! й — ти + 1 — »с ! 1 !»г — т) ! ~уз 1 !Ти — ы! +!»г — Чг! ~ 2' +!а — »~! =р(х, у)+р (у, х), что и требовалось доказать. Покажем, что слодимость в смысле введенной метрики есть сходимость по координатам (вообще неравномерная относительно номеров координат). В самом леле, пусть х„ = 1»; ~, х = !»т! и х„ -« х.
Это означает, что 1+~»<дз — »,~ при л> а,(с). Ио тогда для каждого фиксированного 1 тем более 1»(ю —:;! 2' 1 + ~»,ю — »;~ при п)~ п,(е), и так как з произвольно, а 1 фиксировано, то ~»~~ — »,)-«О нри а — «со. Пусть, обратно, — » !-«О прн л-«со МЕТРИл!ЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА (гл. 1 для каждого 1. Возьмем произвольное число е ) О.
Выберем сна- чала ш так, чтобы )=те! Тогда ъ~ 1 р(хт х)= у,— ,~а 1 1=! т 1 21 1=! т 1=! + ![!ю-] !, 21 1+!В)Л) с 1 [ ![)л) Так как число слагаемых в оставшейся сумме конечно и фиксировано, то можно выбрать такое лл(с), что Еч 1 ![)~ю — [1! з л.1 21 1 [-![!)л) а.! 2 яри п)~ пл(с). По тогда для и~ л, (с) имеем Р(лл л)<с [л(1) — у (т) [ ,У 1+[к(0 — у(0[ о Так же как и в предыдущем примере, убеждаемся, что аксиомы метрики вмполняются.
Полученное пространство называется нространстаом Я [О, 1]. ))(ожио показать, что сходимость в 8 [О, 1] есть слодимосжь но мере. Определение сходимости по мере см. в [21]. что и требовалось доказать. Из доказанного следует, что сходнмость в смысле введенной метрики совпадает со сходимостью, ранее определенной в пространстве г, и, следовательно, введение втой метрики приводит к метризации пространства з. Пространство сходимостн по мере.
Пусть )( — совокупность всех измеримых функций х(Т), определенных на отрезке [О, 1]. Две функции, совпадающие почти всюду, мы считаем тождественными. Введем метрику посредством равенства зз) ПРИЬ»ЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 27 Пространство функций с интегрируемой р-й степенью. Пусть Х вЂ” множество всех функций х (1), принадлежащих 1р [О, 1] "). Две функции, отличающиеся лишь иа множестве меры нуль, мы снова считаем тождественными. Если х(1) ~).р[0, 1] и у(1) ~Ее[О, 1], то полагаем ! »' ! р(х, у)= ~ ]х(1) — у(1)]»11 о Выполнение аксиом тождества и симметрии легко проверяется; аксио- ма треугольника следует из неравенства Минковского для интегралов.
Полученное пространство называется пространством й [О, 1], Пространство й»[0, 1) называется гильбертовым функцио- нальным пространством, Пусть х„(1)С(. [О, 1], п 1, 2, ..., и (х,(1)) сходится к х(1) б йр [О, 1], т. е. ! ) [хв(1) х(1)] а1 ьО о при и -ь со, тогда говорят, что последовательность функций (хп(1)] сходится в среднем г показателем (индексом) р к функции х (1). При р = 2 говорят просто о сходимости в среднем. Пространство числовых последовательностей 1р (р)~ !). Пусть Х вЂ” множество последовательностей вещественных чисел х = (з», з„..., зп, ... ], прииадлежзщих 1, ьь). Если х = (з„з„... з» ° ) и У = (Ч» Чг ° ° Чв ° ° ° ) С 1р, то определим расстояние по формуле ! со р р (, у) = ~;Р ] ~! — Ч;]Р) .
»=! Выполнение аксиоа» симметрии и тождества проверяется без труда. Аксиома треугольника следует из неравенства Минковского для сумм. Полученное пространство называется пространством 1Р. Про- странство 1, называется координатным гильбертовым про- странством. Можно показать ***), что сходимость последовзтельности (..„), х„= [З!»в)] к злементу х = [Ц в пространстве 1 означаец что !) С(»и>-+З» ПРИ П-ЬОО ДЛЯ ВСЕХ »; 2) для любого е > 0 найдется такое число Фь (е), что ~ з!!") »[Р < зе для А») А»з(е) и всех и.
»=не! в) См. также Дополнение 1. '") См. Дополнение 1(стр. 494). ь"ь) Ср. ниже критерий компактности в пространстве 1 . (ГЛ. ! МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Пространство 1(в). Пусть Х-арифметическое и-мерное про- Р' етранство, т. е. множество всевозможных упорядоченных систем из и вещественных чисел,нпустьх (э! э! "° Эв] иу=(ЧьЧь" Чл]. Полагаем Полученное пространство называется пространством !(в).
В частности, 1э(в) есть н-меРное евклидово пРостРанство. Можно считать '), что 1(л) ~1 если каждый элемент Р )е1, ..., $в) ~1(ю отождествить с элементом )$1,..., эл,О, ... ) с1р. Отсюда сразу следует выполнение аксиом метрики для 11в!. СхоР димость в пространстве 11ГЛ есть слодимость ло координатам. Комплексные пространства.
Наряду с пространствами С[0, Ц, Ер[0, Ц, с, 1рможиорассмотреть заключающие их пространства, называемые соответственно комилекснамы С(0, Ц, Ер [О, Ц, с, ! . Элементами комплексного пространства С[0, Ц являются комвлекснозначиые непрерывные функции вещественного переменного, пространства Ар[0, Ц вЂ” комплекснозначные функции, р-я степень молуля которых суммируема. Элементамн комплексного пространства с (соответственно 1р) являются последовательности комплексных чисел, которые сходятся (соответственно ряд из р-х степеней модулей сходится).
Все определения, данные выше для вещественных пространств, переносятся на соответствующие комплексные простравства. Неметризуемое пространство. Приведем, наконе!ь пример множества, в котором можно ввести понятие сходимостн последовательности и в то же время нельзя ввести метрику, определяющую ту же сходимость. Рассмотрим множество Р[0, Ц всех вещественных функций, определенных на отрезке [О, Ц. Будем считать, что последовательность (х„(1)) с=Р[0, Ц сходится к л(1) ~Р[0, Ц, если для любого фиксированного 1 х„(1) -и х (1). Таким образом, сходнмость последовательности функций в множестве Р[0, Ц есть поточечнаяслодимость. Этасходнмостьнеметрнэуема.
В самом деле, предположим, что в Р [О, Ц можно ввести метрику, так что сходимост!ь определенная этой метрикой, будет по!очечной сходимостью последовательности функций. Пусть М— множество всех непрерывных функций полученного метрического ') См. ниже об изометрнчных пространсгвал. ПОЛНЫВ ПРОСТРАНСТВА $4! пространства Р [О, 1]. С одной стороны, по свойствам замыкания в метрическом пространстве, М М.
С другой стороны, М~М, так как М есть множество непрерывных функций и их пределов в смысле поточечной сходнмости, т. е. множество функций первого класса Бара, а М есть множество функций первого класса и их пределов, т. е. множество функций второго класса Бара *). ф 4. Полные пространства. Полнота некоторых конкретных пространств Определения, Последовательность (х„) элементов метрического пространства х называется сходяи(вася а себе или фундаментальной последовательностью, если для любого числа е) О найдется номер пе(е) такой, что р(х„, х )(е при и, т ) пв(е). Если последовательность !х„) сходится к пределу ха, то она сходится е себе. В самом леле, пусть хе=!них„. Тогда для любого е ) О найдется номер пе(е) такой, что р(х„, хе) ( —, прн и >~ пе(е).
Следовательно, р(х,, хм) (р(х„, хв)+р(х„, хе) ( е для п, т)~пе(е), что и требовалось доказать. Обратное утверждение для произвольного мегрического пространства неверно, так как существует метрические просгранства, в которых имеются последовательности, сходящиеся в себе, но не сходящиеся ни к какому пределу. П р и и е р ы. 1. Пусть Х вЂ” мвожество рациональных чисел, причем расстояние определяется по формуле Р (гь гь) ! г р — г, !.
Тогда Х есть метрическое пространство. Возьмем последовательность ! 1 ! — г, —,...,г 2 ' 4 '"''' " 2" ' , о, „„ф„„„р,р „. рррр. !гл. а Зо метвические ппостнлнствл Эта последовательность сходится и в себе н и пределу гч ††О. Возьмем теперь последовательность г„=(1+ — ) . Эта последовательность сходится в себе, но не имеет предела в пространстве Х, так как !!ш (1+ — ) =е не является рациональным числом.
2. Пусть Х есть пространство многочленов Р(г), 0~<,'Г~(1~ с чебышевской метрикой, т. е. если РОВ и О (Г) цХ, то р(Р, ()) = ]РО — Е(г)]. Пусть [Р„(Г)] — последовательность многочленов, равномерно схо лящаяся к непрерывной функции, не являющейся многочленом. Очевидно, что последовательность (Р„(Г)] — фундаментальная, но не имеет предела в пространстве Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
