Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Чтобы убедиться в справедливости последнего утверждения, достаточно указать на ряд теорем существования решений дифференциальных, интегральных и иных уравнений, полученных в последние годы методами функционального анализа, или на функционально-аналитическую разработку приближенных методов анализа. Обобщение основных понятий математического анализа стало возможным потому, что в процессе развития различных его ветвей обнаружилось много общего в понятиях и методах, ВВЕДЕНИЕ которыми там пользуются.
причем часто эти понятия и методы находят себе аналогии в алгебре и геометрии. Так, метод последовательных приближений применяется для получения решения самых разнообразных задач алгебры и анализа. Далее, определение функционала, экстремума функционала и условия существования экстремума в вариационном исчислении аналогично определению функции (одной или нескольких переменных), экстремума функции и условия его существования в дифференциальном исчислении. Общеизвестны аналогии между теорией линейных обыкноВенных лпфференциальных и линейных разностных уравнений, с одной стороны, и теорией систем линейных алгебраических уравнений, — с лругой. Еше более последовательно эти аналогии выявились в исторически позже возникшей теории линейных интегральных уравнений.
Наряду с обобщением понятий анализа в математике прои сходил процесс обобщения геометрических понятий, начавшийся открытием Лобачевским неевклидовой геометрии. Создание геометрии и-мерного пространства позволило геометрически толковать функции многих переменных как образы многомерной геометрии.
Вместе с тем стали выявляться новые аналогии между анализом и геометрией, причем возникавшие новые возможности геометризации анализа требовали дальнейшего обобщения геометрических понятий. Приведем некоторые примеры. Совокупность решений линейного однородного обыкновенного дифференциального уравнения порядка л изоморфна л-мерному векторному пространству. Для совокупности решений линейного однородного уравнения в частных производных геометрическим аналогом булет бесконечномерное обобщение и-мерного векторного пространства. Замечательный пример далеко ведущей и глубокой аналогии между понятиями анализа и геометрии дает теория разложений по ортогональным системам функций. Эти системы во многом сходны с системами ортогональных векторов евклидова пространства, что подчеркнуто их названием.
Разложению вектора по осям отвечает разложение функции в ряд Фурье, теореме Пифагора отвечает теорема Парсе- валя — Стеклова и т. д. При этом для геометрического изображения бесконечной ортогональной системы функций снова потребовалось бесконечномерное обобщение евклидова пространства. введения С развитием математического анализа и геоме~рии не только увеличивалось число аналогий как между понятиями различных областей анализа, так и межлу понятиями анализа и геометрии, но также становилось ясным, что аналогии в развитых теориях являются следствиями родства в понятиях, лежащих в основе этих теорий.
Такими понятиями являются понятия функциональной зависимости, предельного перехода, близости, расстояния, которые явно или неявно и в разных формах используются в этих теориях. Как уже указывалось, характерным для функционального анализа является не только обобщение, но и геометризация основных понятий и методов классического анализа. Функции тех или иных классов рассматриваются как точки или векторы «функциональных пространств». Как мы уже говорили выше, такое рассмотрение потребовало дальнейшего обобщенна геометрических понятий — бесконечномерных евклидовых, векторных и других пространств. Это привело в конце концов к созданию общих понятий метрических, линейных нормированных, топологических пространств, охватывающих как ранее рассматривавшиеся геометрические объекты, так и разные функциональные пространства.
Введение абстрактных пространств позволило трактовать многие вопросы анализа в терминах геометрии. Такое геометрическое изложение аналитических теорий широко применяется не только в математической литературе, но и в работах по физике и механике. Многие факты были при этом угаданы по аналогии с фактами и-мерной геометрии, доказательства многих других были получены геометрическим путем. Таким образом, был обретен новый геометрический метод в анализе. Одновременно с обобщением геометрических понятий пронсхолил процесс обобщения алгебраических понятий.
С одной стороны, алгебраические операции над числами переносились на объекты более широкой природы (матрицы, операторы и т. д.). Возникают и внедряются в разные отделы математики понятия группы, ~ ольца, поля и т. д. В связи с примененном алгебраических понятий к анализу начинают рассматриваться алгебраические образования, в которых ввелен предельный переход. С другой стороны, все более широко начинает использоваться тот факт. что опе.- рации анализа являются предельными для алгебраических.
вввдвнив И обобщения алгебраических понятий в функциональном анализе играют ту же роль, что и соответственные злементарные главы алгебры в обычном классическом анализе. Так, линейной алгебре отвечает теория линейных операторов, которой посвящена значительная часть втой книги. Основной метод анализа — аппроксимация нелинейного объекта линейным — переносится и в функциональный анализ (см. гл. НП1). Прелельному переходу от многочленов числового аргумента к более произвольным функциям его отвечает предельный переход от «многочленов на кольцах> (кольца матриц. операторов и т. д.) к более произвольным функциям таких аргументов.
На етом основаны такие важные дисциплины, как матричное исчисление, операционное исчисление. спектральная теория линейных операторов (см. гл. НП). Развившись в большую самостоятельную математическую дисциплину, функциональный анализ и поныне продолжает ассимилировать н обобщать методы других, уже более новых математических дисциплин. Достаточно назвать интенсивно развивающиеся в последние годы теорию линейных топологических пространств, теорию представлений групп и некоторые другие современные разделы функционального анализа. ГЛАВА ! МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА В Е функциоиальнаа зависимость.
Пространство. Упорядоченность Одним из основных понятий математического анализа является понятие функциональной зависимости. Напомним опрелеление функциональной зависимости, даваемое в анализе: пусть Х и У вЂ” два множества вещественных чисел; если каждому числу х ~ Х по некоторому закону (правилу) ставится в соответствие единственное число у ~ )', то говорят, что на множестве Х определена однозначнол функция у =г (х), область значений которой расположена в множестве У.
Множество Х называют также областью определения функции. Легко вилеть„ что для идеи функциональной зависимости не является необходимым, чтобы Х и У были множествами вещественных чисел. Понимая под Х и У мьюжества злементов различного характера. мы приходим к понятию более общей функциональной зависимости, примеры которой имеютсн в разных ветвях математического анализа. Примеры. 1. Пусть у=у(хь хь ..., х„) — вещественная функция л вещественных переменных. Тогда Х есть множество упорядоченных систем иэ л вещественных чисел, У вЂ” множество вещественных чисел.
2. Пусть у у(х) — вектор-фуикция, относящая вещественным числам х л-мерные векторы у. Здесь Х вЂ” множество вещественных чисел, У вЂ” множество л-мерных векторов. 3. В варчационном исчислении рассматриваются функционалы 1 (у) = ~ Р (х, у, у') ел, мптгичискип пгостглнствл (гл. ~ 12 где т — кривая, заданная уравнением у = у (х), в котором у (х) принадлежит классу С, функций, обладающих непрерывной производной, н проходящая через две данные точки А (а, у ) и В (Ь, уь).
В этом случае Х вЂ” множество кривых с указаннымй свойствами, У в множество вещественных чисел. 4. В теории интегральных уравнений рассматривается выражение вида ь у(Г) = ~ К(й з)х(з) дп е Предполагается, что ядро К(й з) определено и непрерывно в квадрате а~(й е(Ь. Тогда написанное равенство можно рассматривать кая некоторый закон, со~ласка которому каждой функции х (Г), непрерывной на [и, Ь[, соотносится другая функция, непрерывная на том же отрезке.
Здесь Х н У вЂ” множества непрерывных функций. Введем теперь общее определение функциональной зависимости. Пусть даны два произвольных множества Х и У и дан закон (правило), согласно которому каждому элементу х ~ Х ставится в соответствие единственный, вполне определенный элемент у~ У. Будем говорить тогда, что задан онерагнор у=у(х) (пишут также у=ух), определенный на множестве Х, с областью значений, расположенной в множестве У"). Говорят также, что задано отображение множества Х в множество У.
В том частном случае, когда значения оператора являются ве~нественными числами, оператор называется функционалом. Элемент у ~ У, соответствующий при отображении у =- Г (х) элементу х ~ Х, называется образом элемента х, а х— прообразом элемента у~ У. Если отображение у = у (х) переводит Х на У, то, очевидно, у каждого элемента у ~ У существует по крайней мере один прообраз х. В том случае, если у каждого ус У имеется только один прообраз х~ Х, отображение Х на У, устанавливаемое формулой у = у (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
