Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

называется взаимно однозначным. ') Условимся говорить, что нвкоторое обстоятельство имеет место на множестве, если оно имеет место для всех элементов етого множества, н е множестве, если оно имеет место, может быть, не для всех элементов множества. $ и ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВНСНМОСТЬ. ПРОСТРАНСТВО 13 Относительно свойств операторов, определенных таким весьма общим образом, почти ничего нельзя сказать. Поэтому введем дополнительные предположения.

Наряду с понятием функциональной зависимости другим основным понятием анализа является понятие предела и связанное с ним понятие непрерывности. Множество, в котором тем или иным способом определено понятие предела последовательности, называется пространством. Пространства, элементами которых являются функции или числовые последовательности, будем называть функциональными пространствами. Изучение некоторых классов операторов, определенных в функциональных пространствах, и составляет основное содержание функционального анализа.

Остановимся еще па некоторых понятиях, используемых в функциональном анализе. Пусть в множестве Х объектов некоторой природы для некоторых пар элементов а, Ь, с, ... этого множества введено соотношение а ( Ь. Предположим, что это соотношение удовлетворяет следующим условиям: !) из а ( Ь и Ь ( с следует а ( с; 2) а(а; 3) из а ( Ь и Ь ( а следует а=Ь. Тогда множество Х называется частично упорядоченным, а элементы а и Ь. для которых имеет место соотношение а ( Ь или Ь ( а. называются сравнимыми. Множество Х называется упорядоченным (или линейно упорядоченным), если для любых двух различных элементов а и Ь этого множества либо а < Ь, либо Ь < а. Подмножество У частично упорядоченного множества навывается ограниченным сверху, если существует элемент Ь такой, что у ( Ь для всех у ~ У.

Элемент Ь называется верхней границей множества У. Наименьшая из всех верхних границ называется точной верхней границей или верхней гранью множества. Аналогично опрелеляется множество, ограниченное снизу, нижняя граница и точная нижняя граница илн нижняя грань множества. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА )гл. г Наконец, элемент ге ~ Х называется максимальным, если в Х не существует элемента х чь ге, удовлетворяющего соотношению гг ( х. Имеет место следующая весьма важная Лемма Цор на. Если в частично упорядоченном множестве Х для всякого упорядоченного подмножества Г существует верхняя грань, то в Х существует максимальный елемент гз. Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если любое его непустое подмножество имеет минимальный элемент, т.

е. элемент, предшествующий всем элементам подмножества. Теорема Цермело. Всякое множество путем введения некоторого соотношении порядка можно сделать вполне упорядоченным. Л о к а з а т е л ь с т в о теоремы Цермело опирается на так называемую аксиому произвольного выбора Це р и ело, утверждаюгцую, что если дана любая система непустых попарно непересекающихся множеств, то существует новое множество, имеющее с каждым из множеств системы по одному и только одному общему влемен т у. Можно показать, что лемма Цорна, аксиома Цермело и теорема Цермело — эквивалентные друг другу утверждения. Подробнее об этом см.

[5[ и [21). П р и и е р. Пусть М вЂ” некоторое непустое множество н Т [г) — совокупность его подмножеств б Будем считать, что г, < гь еслу г,с: те Очевидно, что введенное таким образом соотношейие порядка удовлетворяет указанным выше трем условиям. Ясно также, что когда М содержит более двух элементов, прн таком упорядочивании множество Т не будет упорядоченным (тем более вполне упорядоченным).

Если Я вЂ” любое подмножество Т, то оно ограничено сверху и его точной верхней границей будет множество в=О гьз Б Т существует максимальный элемент: это само множество М, рассматриваемое как подмножество, и лемма Цорна в этом случае очевидна. Теорема же Цермело утверждает, что Т можно сделать вполне упорядоченным, введя в нем иное соотношение порядка, но как зто сделать — из теоремы не вытекает, так как доказательство ее носит неконструктивный характер. ЫЕТРНЧВСКИВ ПРОСТРАНСТВА 5 2.

Метрические пространства В математическом анализе мы встречаемся с несколькими понятиями предела, причем в некоторых случаях для послеловательности одних и тех же математических объектов в связи с разийвми задачами вводятся разные понятия предела. Прежде всего мы встречаемся с понятием предела последовательности вещественных чисел. Это понятие непосредственно обобщается на последовательности комплексных чисел и и-мерных векторов. Затем для последовательностей функций ыы имеем ряд понятий сходимости: простой (неравномерной). равномерной, в среднем и т, д.

Все эти понятия сходимости имеют большей частью то общее, что сходимость последовательности элементов х„ (являющихся числами, векторами или функциями) к элементу х означает неограниченное «сближение» х„ н х, неограниченное уменьшение «расстояння» между этими элементами прн неограниченном увеличении номера и. И в зависимости от того, как мы понимаем расстояние между элементамн х„ н х, мы получаем различные определения предела. Но тогда представляется целесообразным для некоторых множеств элементов дать общее определение расстояния между элементами, которое охватывало бы рассмотренные частные случаи, а затем с помощью этого расстояния ввести в множество понятие предельного перехода и превратить это множество з пространство.

Метрическое пространство. Множество Х называется лсесприческпм пространством. если каждой паре его элементов х и у поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число рх(х, у), удовлетворяющее следующим условиям: с) рл(х, у) = 0 тогда н только тогда, когда х = у (аксиома тождества). 2) р (х, у)=р (у, х) (аксиома симлсетрии).

3) р (х, у)+рд(у, л)) р„(х, г) (аксиома треузольнпна). Это число рх(х. у) называется расстоинием между элементами х и у, а перечисленные три условия — аксссолами метрики. Очевидно, что аксиомы метрики представляют собой формулировку наиболее общих свойств расстояния МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА !Гл. ! между точками обычного трехмерного евклидова пространства.

В дальнейшем, если ясно, о каком метрическом пространстве Х идет речь, то вместо рх(х, у) будем писать просто р(х. у). Элементы метрического пространства будем называть также и точками. Наконец, отметим, что всякое множество г, лежащее в метрическом пространстве Х и рассматриваемое с теми же расстояниями между элементами, что и в Х, является само метрическим пространством и называется подл рост ринством пространства Х. Предел последовательности. Элемент х метрического пространства Х называется пределом последовательности элементов хо хг, ..., х„, ...

из Х, если р(х„, х)-ьО ПРИ П-эоо. Будем писать в этом случае х„- х или !!ш х„= х. Относительно сходящихся последовательностей точек метрического пространства можно высказать несколько общих теорем. Т е о р е и а 1. Если последовательность точек )х„) метрического пространства Х сходится к точке х Е Х, то и любая подпоследовательность )х„) последовательности )х„) сходится к этой же точке.

Доказательство очевидно. Те о р ем а 2. Последовательность точек )х„) метрического пространства может сходиться не более чем к одному пределу. Пусть хе -ь х и х„— ь у. Тогда, каково бы нн было е)О, р(х, у) (р(х„, х)+р(х„. у) с е для достаточно больших и. Так как х и у — фиксированные точки, а е — произвольное положительное число, то это неравенство возможно, лишь если р (х, у) = О, т. е.

х = у. Т е о р е и а 3. Если последовательность )х„) точек из Х сходится к точке х~Х, то числа р(х„, О) огра- МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 17 ннчены длн любой фиксированной точки О пространсьпва Х. В самом деле, по аксиоме треугольника для любого и имеем р(х„, О) ~<р(х„, х)+р(х, О) < Е+р(х, О) =К, нбо (р(хю х)) как сходящаяся числовая последовательность ограничена и, следовательно, числа р(х„, х) не превосходят некоторой постоянной Е. Назовем шаром (соответственно замкнутым шаром) с центром в точке а и радиусом г совокупность точек х пространства Х, удовлетворяющих неравенству р(х, а) ( г (соответственно неравенству р (х, а) ( г).

Будем обозначать такой шар 8 (а, г) (соответственно Я (а, г)). Назовем, далее, окрестностью точки х любой шар с центром в этой точке. Легко видеть, что точка х является пределом последовательности 1х„) тогда и только тогдз, когда любая окрестность точки х содержит все точки рассматриваемой последовательности. начиная с некоторого номера. Множество, лежащее целиком внутри некоторого шара, называется ограниченным. Иногда бывает, что в некотором пространстве непосредственно задано понятие предела последовательности элементов. Если в этом пространстве можно ввести метрику так, что определяемое ею понятие предела последовательности будет совпадать с уже имеющимся понятием предела, то говорят, что данное пространство можно метризовать.

Замыкания. В метрическом пространстве могут быть введены многие важнейшие понятна, с которыми мы встречались в теории точечных множеств, расположенных на прямой. Так, если дано множество М ~ Х, то точка а ~ Х называется предельной точкой этого множества, если любая окрестность точки х содержит хотя бы одну точку множества М '~ а, т. е. если 8(а, г) П(М '~ а) Ф и для любого г.

Множество, полученное присоединением к М всех его предельных точек, называется замыкание.и множества М и обозначается М. 1В ывтэичнскин пгостялнствл Нетрудно установить. что замыкания точечных множеств метрического пространства обладают теми же основными свойствами, что и замыкания числовых точечных множеств. а именно: 1) М 11 М= М() пг 2) М ЯМ. 3) (М) =М =М 4) замыкание пустого множества пусто.

Множество М называется замкнутым, если М =М. Множество М называется открытмм, если его дополнение Х '~ М вамкнуто. Множество М называется плотным в множестве О, если О с, М. В частности. множество М называется всюду плотным в пространстве Х илн просто всюду плотным, если М=Х. Наконец, множество М называется нигде не плотным в пространстве Х. если каждый шар етого пространства содержит в себе некоторый шар, свободный от точек множества М. Подробное изложение свойств замкнутых и открытых множеств в метрических пространствах см.

Характеристики

Список файлов книги