Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 4
Текст из файла (страница 4)
в (1). Непрерывные функции. Пусть даны два метрических пространства Х и г' и функция у=~'(х), определенная на некотором множестве М пространства Х со значениями в пространстве )'. Функция у(х) называется непрерывной е тонне хо~ М, если для любого е) О найдется б) О такое. что р„(г(х), у'(хо)) ~ е для всякой точки х~ М. удовлетворяющей неравенству рх(х, хо) ( б. Из определения непрерывности у (х) следует, что если х„-«хо (хе хоЕМ) г (х„) ~ У (хо). то Верно и обратное утверждение: если )'(х„) †« у(хо) для любой последовательности )х„) с; М, сходящейся к хо~ М, то функция У(х) непрерывна в точке хо.
Локавагельство зтих утверждений точно такое же, как для вещественных функций вещественной переменной. в з) ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Гомеоморфизм. Пусть Х и У' — данные метрические пространства и существует взаимно однозначное отображение пространства Х на пространство )', Если это отображение взаимно непрерывно, то пространства Х и )' называются гомвоморфныма, Э 3. Примеры метричесних пространств Числовая прямая. Пусть Х Ег, где Ет — множество рсех вещественных чисел (числовая прямая). Если х, уЕ)о', то полагаем р (х, у) = [ х — у 1. Справедливость аксиом метрики очевидна. Сходимость в етом пространстве есть обычная сходимость числовых последователь.
настей. Евклидова пространство. Пусть Х вЂ” арифметическое и-мер нос пространство, т. е. множество всех упорядоченных систем из а вещественных чисел. Если х= [Зо, Сь ..., Св) и У= (т)ь Чь ..., Ч ), то полагаем р(х, у) = ] ~ ($! — Ч!)!. Е=! Справедливость аксиом метрики легко проверить. Пусть х, = ф>, ф, ..., ~<л)~, а -1, 2. З, ..., и ~о*,, о о ( .. т,!ото — !)' о) Е=! Это равносильно условию а!!в>-ьЦ, Е 1, 2, ..., а при й-лсо. Таквм образом, сходимость в рассматриваемом пространстве есть сходимостл по координатам.
Пространство Х с втой метрикой называют л-мврныл! ввклидовым пространством. Мы будем обозначать его Е и Пространство непрерывных функций с чебышевской метрикой. Пусть Х вЂ” множество всех непрерывных функций, заданных на отрезке [О, 1) '). ') Если отрезком изменения переменной Е будет [а, Ь), то его люжно преобразовать в отрезок [О, 1), вводя новую независимую переменную Š— а т = —. Ь вЂ” а 20 (гл.
с МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Введем метрику, полагая р (х, у) = вал [ х (Е) — у (Е) [. Проверим вмполнение аксиом метрики. То, что р(х, у)~0 и р(х, у)=0, лишь если х(Е) — у(Е), а также, что р (х, у) = р (у, х), очевидно. Остается проверить аксиому треугольника. Для любого с~[0, Ц имеем ]х (Е) — з (Е) [ = ] [х (Е) — у (ЕЦ + [у (Е) — е (ЕЦ[ ( ( ] х (Е) — у (Е) [ + [ у (Е) — е (Е) [ ( ( шах [ х (Е) — у (Е) [ + шах [ у (Е) — е (Е) [ с = р (х, у) + р (у, х). Поэтому р(х, х) = вал [х(Е) — е(Е) [(р(х, у)-[-р(у, х).
Множество всех непрерывных функций, заданных на отрезке [О, Ц, в котором метрика введена указанным образом, называетсн пространством непрерывных функций и обозначается С [О, Ц. Мы будем называть его также пространством непрерывных функций с чебышевской метрикой, так как расстояние между функциями совпадает с чебышевским уклонением. Рассмотрим сходимость в пространстве С[0, Ц. Пусть дана последовательность (х„(ЕЦ элементов из С [О, Ц, сходвщаяся к х(Е) (р(х„, х) -ьО при л-+со).
Это значит, что вах[х„(Е) — х(Е)]-ьО при и-всю„ с т, е, для любого числа з > 0 найдется номер ля=па(в) такой, что взх[х„(Е) — х(!) [ < а для и ) п,(в) н, следовательно, [х„(Е) — х(Е) [ < е для л>л, (з) и для всех 1~[0, Ц. Но это означает, что послеловательность (х„(ЕЦ равномерно сходится к функции х(Е). Легко вилеть, что и обратно, если последовательность (х„(ЕЦ равномерно сходится к х (Е), то р (хт х) -ьО. Таким образом, сходимость в пространстве С [О, Ц есть равномерная сходимость на отрезне [О, Ц.
Пространство ограниченных числовых последовательностей. Пусть Х вЂ” множество ограниченных числовых последовательностей х [с„ аь ..., $в, ...]. Это значит, что для кажлого х существует такаа константа Ке, ч'о ] й [< Кв дла всех Е. % з! ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ г! Пусть х= (Ц и у (с) ) принадлежат Х. Введем расстояние равенством р (х, у) = сир ($ — т! ~. Очевидно, проверки требует лишь аксиома треугольника. Имеем с стс гс! < с се с т)с! + ~ т)с гс 1 < < эир )К вЂ” Е !+ зпр )с!. — 4.~ = р (х, у) +р(у, г). Следовательно, и вир)$с — Ьс! Р(х, х) <р(х, у)+р(у,х). с Полученное пространство называется пространством т ограниченных числовых лоследоеательпостей. Г!усть х„и х — элементы из т, х„= ~$с~)),х= ($с] и р (х„, х)ьО при л -ьсо; вто значит, что лля любого е ) О найдется такой номер л, л,(е), что р (х, х) = епр ( ф" — Сс ) < е при п ) л (е). Отсюда (ц'и — сс ~ < е прн л м по (е) и любоч с.
легко видеть, что и обРатно, если (асс"с — сс! < е пРи л~ле(е) и всех С, то р(х„, х)-ьО при л-+оп. Следовательно, сходимость в пространстве т есть сходимость по координатам, равномерная относительно номеров координат. Пространство сходящихся числовых последовательностей. Пусть Х вЂ” множество сходящихся числовых последовательностей х=(,с,~„.... ~л ), причем существует спп ьс = 3. Пусть х = ($с, $е, ..., ~„, ...), У (Ч„пс,..., тСп, ...). Полагаем р(х, у) = епрСйс — т).!. с Полученное пространство называется пространством с. Очевидно, что пространство с сходящихся числовых последовательностей валяется подпространством пространства т ограниченных числовых последовательностей. Отсюда следует выполнение аксиом метрики в с н то, что сходимость в с есть сходимость по коордипаспам, равномерная относительно номеров ксордипат.
Пространство ограниченных вещественных функций. Рассмотрим множество всех ограниченных функций х(С) вещественной ЫЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1 переменной 1, заданных на отрезке [О, Ц. Введем метрику, полагая р (х, у) = зир [ х (1) — у (1) [. Без труда проверяем, что все аксиомы метрики выполняются. Множество всех вещественных ограниченных функций с такой метрикой называется пространством М [О, Ц. Легко видеть, что сходимость в пространстве М [О, Ц есть риапомернил сходимссто па отрезке [О, Ц.
Ясно также, что С [О, Цс: М [О, Ц. Пространство ограниченных измеримых функций. Прежде чем рассматривать вто пространство, введем одно понятие. Пусть а(1) — измеримая на [О, !] функция. Обозначим через Е класс всех множеств Е меры нуль, лежащих в [О, Ц, и рассмотрим иа й следующую функцию: зпр а (1) = Н(Е). !о, ц'~е Покажем, что если зта функция конечна для какого-нибудь ЕСв, то на некотором множестве Е„ она принимает минимальное значение. Пусть Ро = 1п! Ро (Е). ееа Согласно определению точной нижней границы можно указать такую последовательность множеств [Еи] с= у, что ! Ро ~( зпр а (1) ( ро+ —.
!В,Ц~ Ео п Пусть Еи=Ц Еи, тогла тЕи = 0 и и=1 1 р,< зпр а(1) ( ащо а(1) <р.+ — „. !в, ц ~е, !о, 1Г,е„ Так как зто неравенство верно для любого и, то ото!ода слелует, что ро — — рв(Еп). Число рв называется существенным максимумом функции а(1) па [О, Ц и обозначается чга! ваха(1) = т!п [ оир а (1)]. !о. ц еЕа !о, ц'~е Пусть Х вЂ” множество всех измеримых на [О, Ц функций х (1), у(1), е(1), ..., существенные максимумы которых конечны. Две функции х(1) и у(1) из Х мы считаем тождественными, если они почти всюду равны. Для двух функций х(1), у(1)~Х положим р (х, у) = чга! щах [ х (1) — у (1) [.
!в, ц 23 Зз) пРимеРы метРическ11х пРостРАнств Проверим выполнение аксиом метрики. 1) Так как знр [х(1) — у(1) [,РО, р. ц',е то р(х, у);> О, причем очевидно, что р(х, у) =О, если х(1) у(1) почти всюду. Пусть, обратно, р(х, у) =О. Тогда для некоторого множества Еху меры нуль знр [х(1) — у(1)[=0, (о, Ц ~е,у т. е. х(1)=у(1) вне Ее„и, следовательно, х(1) и у(1) почти всюду равны. 2) р(х у) =р(у, х) очевидно. 3) Пусть х(П у(П и «(1) — функции из Х, и Е«Е,— множества меры нуль такие, что р(х, «)= зпр [х(1) — «(1)[, р(у, «) знр [у(1) — «(1)[. 1о, ц,нхе 10, Ц'чн Положим Ееу = Еге()Еуе. Имеем зор [х(1) — у(1)[<: (о, Ц~,Е, енр [х(1) — «(1)[+ еор [«(1) у(1)[ < )о, Ц,е„у (о, 1Г~е„.у < ,„р [,к (1) — « (1) [ -1.
енр [ « (П вЂ” у (1) [ (о, ц~,е, 1с,ц~е р(х, )+р(,у). Тем более р(х, у) =тга1 |пах [х(1) — у(1) [< р(х, «)+р(«, у), (о, ц и неравенство треугольника доказано. Полученное пространство называется пространством М [О, Ц. Выясним, что представляет собой сходимость в атом пространстве. Пусть х„(1), х(1)~М[0, 1) и р(х„, х) — «О при и-ьсо. Это значит, что для заданного еа > 0 р(хт х) =т1п [ знр [х„(1) — х(1)[ ) < ее (о, ц,е при и> ие (ее).
Тогда найдется такое множество Еа меры нуль, что зор [х„(1) — х(1) [ < ее при и',~~ а,(еа). ;е, ц;и Поэтому [х„(1) — х (1) [ < е» при лдпе (ее) для любого 1~ [О, 1['~Ем Возьмем теперь последовательность [ет[, ет -РО при т -ь со 24 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1 н соответствующие множества Е . Пусть е > 0 любое. Имеем ! хп (1) — х (1) ! < с„< е Дла и',> л,(с„) и всех1С[0, 1)',ЦЕт Таким обРазом, хв(1)-ьх(1) т=с почти всюду на [О, !] и притом равномерно на указанном множестве полной меры.
Пусть, обратно, [хп(1)) равномерно сходится почти всюду к х (1). Следовательно, для любо~о с > 0 найдутся номер ль(с) н множество Ес меры нуль такие, что )х„(1) — х(1)! < с для и> л,(с) и любого (С[0, 1)'~ Е. Но тогда и зир ! х„(1) — х(1) ! (с С([О, Ь[ ~не для и) п,(с). Отсюда в свою очерель следует, что щ[п ! зир )х„(1) — х(1)][<с с([е, [!',в для п>п,(с), т. е. что р(хт х)-+0 при л Роз. Следовательно, сходимость в пространстве А[[9, 1) есть равномерная сходимость почти всюду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
