Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 8
Текст из файла (страница 8)
й 7. Принцип сжатых отображений Хорошо известен метод последовательных приближений, или итераций, широко применяющийся для доказательства теорем существования решений алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравнений. Большое аначение этого метода ааключается, кроме его широкой применимости, также в том, что он может служить для получения приближенных решений уравнений.
Метод последовательных приближений для различных типов уравнений укладывается в рамках функционального анализа в общую схему и МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА !ГЛ. ! приводит к прин пи п у сжатых отображений (сформулированному польским математиком С. Банахом). Теорема 1. Пусть в полном метрическом пространстве Х дан оператор А, переводящий элементы пространства Х снова в влементы этого пространства. Пусть, кроме того, для всех х и у из Х р(А(х), А(у)) (пр(х. у), (1) где а(1 и не зависит от х и у.
Тогда существует одна и только одна точна х такая. что А(хз)=хз. Точка хз называется неподвижной точкой оператора А. Возьмем произвольный фиксированный элемент х ~ Х и положим х,=А(х), х =А(х,), .... ха=А(ха 1) Покажем, что последовательность [хл) сходится в себе. Лля этого заметим. что р(хн хг)=р(А(х). А(х,))(пр(х, х,)=по(х, А(х) ), р(хг, хз)=р(А(х,). А(х,)) (пр(»1, хь) (пгр(». А(х)), р(х,, х„+1)(п"р(х, А(х)). Далее р(ха, ха+„) (р(х„, ха+,)+ + р(ха+1' хаь 2)+ ' ' +о(хл+Р-1' «л+р) ( ((Пл + ил+1+ + ил+ Р-1) р (Х А (Х) ) р(х, А(х)), (2) Так как по условию и ( 1.
то р(ха, ха,„) ( — р(х, А(х)). откуда в свою очередь следует, что р(ха, хл,р)-ьО при и -ь СО, Р ) О. Значит. Послеловательность )ха) сходитсЯ в себе. В силу полноты пространства Х существует элемент хам Х. являющийся пределом этой последовательности. хо — — 1ни ха. а пРннпип сжАтых отоБРАжгнни Докажем, что А(хо)=хо. В самом деле. р(хо А(хо))(р(хо, х„)+р(х„. А(хо))= =р(хо х )+р(А(х„,), А(хо])( ( Р (АО Хл) + аР (Хо-~ «О). Но при любом заланном е) О и достаточно большом л е о 0(хо хц) ( —. р(хо, х„,) ( 2 ° Следовательно, р(хо, А(хо)) ( е.
Так как е) О произвольно, то р(хо, А(хо))=О, т, е. А (хо) = хо, что и требовалось доказать. Предположим, что существует два элемента хо, уз~ Х такие, что А(хо) = хо А(уо) =уо. Тогда р(хо, уо)=р(А(хо), А(уо))(ар(хо уо). Если допустить, что р(хо, уо) ) О, то из предыдущего следует. что 1 (а, что невозможно в силу условия. Если перейти в формуле (2) к пределу при р — ьсо, то придем к опенке ошибки и-го приближения ео р(х„. хо) ( — р(х, А(х)). 3 а и е ч а н и е 1. Построение послеловательных приближений х„, сходящихся к неподвижной точке хо, можно производить, исходя из любого элемента х ~ Х.
Выбор элемента х будет сказываться лишь на быстроте схолимости 1«,) к своему пределу. Замечание 2. Иногда приходится рассматривать отображение А такое, что неравенство (1) выполняется не во всем пространстве, а лишь в некоторой замкнутой окрестности Ь'(х, г) какой-либо его точки х. Тогда принцип сжатых отображений можно применять при дополнительном условии, что оператор А преобразует этот шар в себя и потому последовательные приближения не выходят из рассматриваемой окрестности. Пусть, например, в дополнение к нера.- 1гл.
! МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА венству (1) удовлетворяется неравенство р (х, А (х) ) ~ (1 — а) г. Если х~У(х, г). то и А(х)ЕЗ(х, г), так как р(А(х), х) ~(р(А(х), А(х))+ р(А(х), х) ~( Сор(х, х)+р(х, А(х)) ~(аг+(1 — а)г =г. Поэтому можно рассматривать А как оператор, действующий в полном метрическом пространстве 5(х, г) (см. стр. 30) и удовлетворяющий в этом пространстве условию 1.
Но тогда по доказанному оператор А будет иметь в Я(х, г) единственную неподвижную точку. Приведем несколько примеров применения принципа сжатых отображений. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом итераций. Рассмотрим арифметическое и-мерное пРостРанство.
Если х = )Е!, $я, ..., $„), У= )т1,, !)а, ..., т)л), то положим р(х, у)=п!эх )$! — т1!). Легко доказать, что определенное так метрическое проел!ранга!во тл полное. Рассмотрим в этом пространстве оператор у = А (х), заданный с помощью равенств т)! —— Д) а!Д+Ь!, /=1, 2, .... и. /=1 Ймеем р (у,, у!) = р(А (х ), А (х,) ) = шах) П!!!! — т)<!я! ) = ! л л = шах 1 ~ а! (Еп! — $са!) .4гпах ~ ) а! )) Вп! — е!а>)~~ )/ ! !/ / ! ~(шах ~ ) а, ) шах) $"! — $<т! ) = ! /=! / л = шах ~'., ) а,/) р (хн х!). ! / ! ПРИН11ИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 47 Если теперь предположить, что л ~ ( а!7) < ! для всех 1. то мы окажемся в условиях применимости принципа сжатых отображений и, следовательно, оператор будет иметь единственную неподвижную точку.
Таким образом, мы получили теорему. Теорема 2. Если матрица (а„) такова, что л ~~ )а!71 < 1 для всех г, то система уравнений 1=1 л Ь! —,у~) а, е = Ьи ! = 1, 2, ..., п, 1л! имеет единственное решение х = (4)в), ~)з), ..., Р)в)~ Это решение можно получить методом итераций, исходя из произвольного вектора х = !$1, аг, ..., $„!. Условие (4) есть достаточное условие сходимости метода итераций для рассматриваемой системы. Если в и-мерном пространстве ввести другую метрику, то получим другое условие сходимости. Пусть, например, р(» у) = Х(а — ))!)' т 1=1 При такой метрике р (уи у ) = р (А (х,), А (х ) ) = Поэтому условием сходимости метода последовательных приближений будет на этот раз неравенство л л .д~ Ха' <!. 1=1/=1 МЕТРИЧГСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ~гл. ! Существование и единственность решения интегрального уравнения.
Пусть К(8, 8) — действительная функция. определенная и измеримая в квадрате а (8, г (Ь и такая, что ь ь ~ КТ(8, г)Жг(8(+ со. (б) и пусть /(8)ЕЕ8[а, Ь[. Покажем, что тогда интегральное уравнение ь х (8) = У'(Г) + Х / К (8, 8) х (г) й О имеет при 'каждом достаточно малом значении параметра Х еДинственное Решение х (1) ~ т.з [а, Р[. Рассмотрим оператор ь Ах = у (8) + Х / К (8, 8) х (8) сьг. й Покажем. что этот оператор переводит каждую функцию х(г)ЕЕт[а, Ь[ н функцию, принадлежащую снова тому же пространству.
Так как У(8)ЕЕ~[а, Ы. то достаточно доказать. что оператор А (х)= [ К(г, 8) х (8)ь[8 О К (г, 8) х (8) гьг — у (Т). переводит каждую функцию х (8) Е ь.ь [а. Ь[ в функцию из того же пространства. Из условия (5) и теоремы Фубинн (см., например, [21[) следует, что Кь(8, 8) интегрируема по 8 на [а, Ь[ для почти всех Г из [а, Ь[. Отсюда вытекает для почти всех 1 из [а, Ь[ существование интеграла ПВННШ1И СЖАТЫХ ОТОВРАЖЕНИИ 49 Тогда по неравенству Буняковского / ь '12 Ь ь у2 (/) = ~ 1 К (8, 8) х (8) и ~ У К2 (/, 8) л(8 Х х2 (8) л/ . й й а Так как функция ~ х2(8)1[8 й постоянная, а ~ К2(/, 8)лй а интегрируема по / па [а, (л[ в силу условия (5) и теоремы фубини, то у2(8) также интегрируема по / на [а, в[, причем /'у2(т) ~/, ~' ~ К2(/ ) л /'х2() ( Оценим теперь р (А (х), А (у) ).
Имеем р(А(х), А(у)) = =Я,/',(, = ~л1 ~/(/алл. / ь ь < [) [ ~ ~ к (/. а а ь ь = [).[~ ~ ~К2(/, а а 1 Ь 12 12 х (8) с(г — )л [ К (/, 8) у (8) л/г 1 11/ ~ й 1 ,2 8) [х (8) — у (8)[ л/гл~ вл/ 1 1 ь 112/ '1 2 г) Вл/ Ь[г ~[ [Х (г) — у (8)[2 С(8 й 1 л1 2 г) л//лй[ р(х, у). МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ.[ Если (6) а Ь Ь ~ Кт(й а)и[Ыа а а то мы находимся в условиях применимости принципа сжатых отображений. Поэтому существование и единственность решения рассматриваемого интегрального уравнения при зна- чениях А, удовлетворяющих У неравенству (6), доказаны. Применение к уравне- ниям в частных производи М ных.
В качестве третьего примера рассмотрим задачу Коши для квазилинейного гиперболического дифференциального уравнения второго 4' и порядка с двумя независимы- 0 ми переменными. Пусть в плоскости хОу Ряс. !. (рис. !) задана гладкая кри- вая АВ такая, что любая прямая, параллельная оси х или оси у, пересекает ее не более чем з одной точке. Требуется найти функцию и(х, у), удовлетворяющую внутри криволинейного треугольника АВС уравнению и„т =,[ (х, у, и, и,, и ) и такую, что и, и = — р и и =д принимают вдоль АВ заданные непрерывные значения.
Без ограничения общности эти значения можно принять тождественно равными нулю (см. [9Б т. П, гл. Ч, 9 б). Известно, что решение этой задачи Коши сводится к решению нелинейного интегрального уравнения и(х, у) = ~ / у'(С, т), и($, т!), и„($, т!), и„(Е, т!)) а[$ и[т[. Рассмотрим пространство Х, элементами которого являются функции и(х, у), определенные в замкнутом криволинейном треугольнике АВС, непрерывные в этой области и имеющие ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЯ непрерывные частные производные первого порядка. Расстояние зададим формулой р (и, о) = шах ) и (х, у) — о (х, у) ) + Авс + 1пах ! и (х, у) — о „(х, у) ~ + ~пах / и (х, у) — ог (х, у) ~.
лвс лвс Легко проверить, что при таком определении расстояния Х будет полным метрическим пространством, сходимость в котором означает равномерную в АВС сходимость последовательности функций и последовательностей их производных к предельной функции и ее производным. Предположим теперь, что в пространстве независимых переменных х, у, и, р, д при условии, что точка М(х, у) не выходит из АВС, а переменные и, р, д подчинены ограничению )и) < а, )р) < а, (д~~(а, где а — некоторая константа, функция ('(х, у, и, р, д) непрерывна по совокупности переменных и, более того, по переменным и, р.
а удовлетворяет условию Лившица ) у (х. у, и, р, д) — у'(х, у, й, р, а) ( ( <б(~ и — й)+!р — р~+),у —,т~), где Ь вЂ” некоторая константа. Из этого, в частности, следует, что )'(х, у, и, р, а) ограничена в рассматриваемой области. Введем в пространстве Х оператор о(х, у)= У(и)= ~ ~ г" (Б, ч), и, и,ь и )зЦгЬ~. Замечая, что и. (х у)= / У(х, ть и. и, и )~ут~, ог(х, у)= / у(З, у, и, ил и )г$, РМ получим ! о(х у)1 <КН2, !о (х, у) ! <Кг(, !Ф (х, у)! <КА где К=знр у(х, у, и, р, а)~ 52 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [Гл. т при М(х, у)~АВС и )и( <а, (р~-(а, ~д~ (а, а д — наибольшее из расстояний АС и ВС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
