Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Пусть хл — фиксированный элемент линейного топологического пространства и Π— открытое множество. Тогда ха+Π— также открытое множество. Возьмем любую точку у с х, + О, у = х +х, хсхО. Отсюда у — хоСО. Так как Π— открытое множество, то оно является окрестностью точки у — хл и в силу непрерывности сложения существуют ок- рестности У (у) и )У ( — х,) точек у и хл соответственно такие, что У (у) + йг ( — х,) с СГ (у — х,) О, В частности, У (у) + ( — х,) с: О, т.
е. У(у) с О+х. Таким образом, каждая точка лщожества х +О входит в него вместе с некоторой окрестностью, т. е. хе+О открыто. Аналогично доказывается, что множество ЛО открыто для любого вещественного числа Л и любого открытого множества О. Из доказанного следует, что если О (х) есть окрестность точки х линейного топологического пространства Х, то О (х) — х есть окрестность нуля пространства Х. Обратно, если У (О) есть окрестность нуля пространства Х, то У (О) + х есть окрестность точки х гого же пространства. Поэтому для того, чтобы задать совокупность всех окрестностей всех точек линейного пространства, т. е. 80 ЛИНЕИНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ.
Н совокупность всех его открытых множеств, определяющих топологию пространства, достаточно задать совокупность всех окрестностей нуля. Множество А линейного пространства Х называется сизгзгетрическим, если из хЕА следует — к~А. Если У есть окрестность нуля линейного топологического пространства Х, то очевидно, что — ипи также будет окрестностью нуля и прлтом симметрической. Наконец, заметим, что для задания топологии пространства нет необходимости задавать все окрестности нуля.
Лостаточно задать такую систему окрестностей нуля, называемую фундажентальнон или базисом, что для любой окрестности нуля У найдется окрестность нуля )г фундаментальной системы, целиком входящая вУ. Вообще, если мы имеем две системы 5 и о окрестностей пространства Х, то эти системы называются зквиэалентнммнд если для любой окрестности У~8 найдется окрестность УйЬ' такая, что У~У, и, обратно, для любой окрестности )У~Я найдется окрестность )г~б такая, что К ~ 'г'.
Ясно, что две эквивалентные системы окрестностей порождают в пространстве Х одну и ту же топологию. Примеры. 1. Пусть Х вЂ” совокупность вещественных функций, заданных на прямой — со < 1 <+со, бесконечно дифференцируемых на ней и обращающихся в нуль вне некоторого конечного отрезка *). Сумма функций н произведение функции на число определяются обычным образом. За окрестности нуля принимаются следующие множества: для любого е>0 н любого п окрестность нуля У(л, а) есть совокупность функций х(1) ~Х таких, что )х1а) (Ф)1<а для А=О, 1, 2...
л. Читатель легко проверит выполнимость всех аксиом линейного топологического пространства. 2. Линейное нормированное пространство является линейным топологическим пространством. Окрестностями нуля являются любые открытые(в смысле метрики, определяемой нормой) множества, соде жащие точку нуль. оэникает вопрос, в каких случаяк линейное топологическое пространство можно нормировать, т. е. ввести в него норму так, чтобы совокупность окрестностей нуля получившегося линейного нормированного пространства совпадала с совокупностью окрестностей нуля, ранее имевшейся в линейном топологическом пространстве.
Ответ на этот вопрос дает весьма важная теорема А. Н. Колмогорова. Множество А линейного топологического пространства называется ограниченным, если для любой окрестности нуля У (О) найдетса число А > 0 такое, что множество ДА попадет целиком в ь) для каждой функции этот отрезок свой. лыиеИиые топологические пРОстРАт!стел 81 а 3! рассматриваемую окрестность нулю Ограниченность множества А равносильна условию: Дли любой последовательности (х,) с: А и любой последоватЕЛЬНОСтн ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ (Ап), СХОДЯЩЕЙСЯ К НУЛЮ, Л„хп -ь О.
Доказательство етого утверждения мы опускаем. Из него, в частности, следует, что если А ограничено, то — А также ограничено. Теорема (А. Н. Колмогорова). Для того чтобы линейное топологическое пространство Х было нормируемылб необходимо и достаточно, чтобы в нем существовала выну»- лая ограниченная онрестность нуля. Пусть У вЂ” окрестность нуля пространства Х, обладающая указанными свойствами.
Без ограничения общности можно считать ев симметрической. Положим для любого х ~ Х !!х!1= !и! 7. а>о,хбхо Покажем, что введенная таким образом норма обладает всеми необкодимыми свойствами. Прежде всего !!О!!= О, так как 0~)гУ прн любом А > О. Пусть — 1 1 хеаО.
Тогда для некоторого и, х~ — У. В самом деле, если х~ — У пь п для любого и, то у»=пхЕУ для п=!,2, ..., 1 и потому последовательность (уп) ограничена. Отсюда — у» -> О. Но зто невозможно, так как ! — уп = х ныл. и — 1 Итак, х ь — У, поэтому - и 1 !1х,'!> — > О, п, и первое свойство нормы установлено. ()х !! Пусть теперь !!х!1= а, !,'у!1= !); х, уоаО. Тогда !! — '~ = 1 !! а !! и, следовательно, с(1+е) 1' а при сколь угодна малом в > О. Аналогично У С (1+ г) У.
() б Л. А. Люсте»и»». В. И. С»лоле» ЛИНЕИНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА !ГЛ. 11 В силу выпуклости У, а значит и (1+а) У, будем иметь — — + — — Е(1+ )и, а х !! у и+13 а а+(! или — +' Е (1+.) У. а+Р х+уЕ(а+О)(1+е) и. !! х + у 1! < (а+ б) (1 + з), Следовательно, Отсюда н так как з > 0 произвольно, то будем иметь ~!х+у!! <а+О= !!х!1+!!у!1. Если же либо х, либо у, либо оба зти элемента равны нулю то равенство !! х+ у 1~ = !! х ~!+ !~ у 11 очевидно. Следовательно, второе свойство нормы также доказано. В силу симметрии из х~ЛУ следует — хСЛУ и обратно. Поэтому !! — х!!=1~«!П Рассмотрим элемент ах, где а > О. Пусть хСЛУ.
Тогда ахСаЛУ ч, обратно, из ахСпЛУ следует хСЛУ. Поэтому !!ах()= !и! р= !и! а? =а !и! Л=а~!х!П а«ЕРП а«йаьн «ЕЛЫ В общем случае !!ах!!= !! ю ~ а ~ х!) = !! (а ( х!1= ) а( !~х!! С другой стороны, единичный шар !!х!1<1, очевидно, входит в окрестность У, откуда шар /!х/| <г войдет в гУ, а тем самым и в окрестность нуля У (0). н третье свойство норллы доказано. Для завершения доказательства теоремы достаточно показать, что для любой окрестности нуля )г(0) пространства Х найдется шар 1!х!!<Р, попадающий целиком в И(0), и обратно: для любого шара !!х!1< р найдется окрестность нуля )а (0), целиком входящая в этот шар. Возьмем произвольную окрестность нуля )г(0). Так как окрестность нули У, с помощью которой вводилась норма, является ограниченным множеством, то найдется число г > 0 такое, что гУ =1 (О). $ и австэлктнов гильвввтово пиоствлнство 63 Пусть, обратно, дан шар зхз <р.
Из определения нормы следует, что в этот шар войдет целиком окрестность нуля р'У, где р — произвольное число, меньшее чем р. Достаточность условий теоремы полностью доказана. Доказательство необходимости не вызывает затруднений. 5 4. Абстрактное гильбертово пространство В и-мерном вещественном (комплексном) векторном пространстве Е„.
помимо операций сложения векторов и умножения вектора на вещественное (комплексное) число, определено скалярное (или внутреннее) произведение векторов етого пространства. Именно. скалярное произведение векторов х = ]$н 3,, ..., 5„] и у = ]т)п г)п ..., т4] пространства Е„ есть число Норма. или длина, вектора х = ]си а...
„$„] выражается через скалярное произведение следующей формулой: л ]]х]]= ~]а ]'= у'(х, х). ~=1 В анализе широко применяется скалярное произведение функций. Естественно поэтому рассмотреть класс линейных пространств, в которых определено скалярное произведение элементов. Такие пространства называются гильбертоеылеи и задаются с помощью следующих аксиом. Аксиомы абстрактного гильбертова п ростр а н с т в а. Пусть Н вЂ” множество некоторых элементов х, у, е,...
Предположим, что 1, Н вЂ” комплексное линейное пространство. 2. Каждой паре х и у элементов нз Н поставлено в соответствие комплексное число (х, у), называемое скалярным лроизеедением этих элементов, удовлетворяющее условиям: а) (х, у) = (у. х) (в частности, (х, х) — вещественное число); 84 ЛИНЕЯНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. П б) (х,+ х, у)=(хн у)+(хт, у); в) (Хх, у)=Х(х, у) для любого комплексного числа Х; г) (х, х))~0, причем (х, х)=0 тогда и только тогда, когда х = 0; число )[х [[= ]~ (х, х) пазовом нормой элемента х. Ниже (стр. 85 — 86) будет показано, что эта величина удовлетворяет всем требованиям нормы линейного нормированного пространства. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
