Главная » Просмотр файлов » Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа

Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 13

Файл №1134949 Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа) 13 страницаЛ.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949) страница 132019-05-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Пусть хл — фиксированный элемент линейного топологического пространства и Π— открытое множество. Тогда ха+Π— также открытое множество. Возьмем любую точку у с х, + О, у = х +х, хсхО. Отсюда у — хоСО. Так как Π— открытое множество, то оно является окрестностью точки у — хл и в силу непрерывности сложения существуют ок- рестности У (у) и )У ( — х,) точек у и хл соответственно такие, что У (у) + йг ( — х,) с СГ (у — х,) О, В частности, У (у) + ( — х,) с: О, т.

е. У(у) с О+х. Таким образом, каждая точка лщожества х +О входит в него вместе с некоторой окрестностью, т. е. хе+О открыто. Аналогично доказывается, что множество ЛО открыто для любого вещественного числа Л и любого открытого множества О. Из доказанного следует, что если О (х) есть окрестность точки х линейного топологического пространства Х, то О (х) — х есть окрестность нуля пространства Х. Обратно, если У (О) есть окрестность нуля пространства Х, то У (О) + х есть окрестность точки х гого же пространства. Поэтому для того, чтобы задать совокупность всех окрестностей всех точек линейного пространства, т. е. 80 ЛИНЕИНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ.

Н совокупность всех его открытых множеств, определяющих топологию пространства, достаточно задать совокупность всех окрестностей нуля. Множество А линейного пространства Х называется сизгзгетрическим, если из хЕА следует — к~А. Если У есть окрестность нуля линейного топологического пространства Х, то очевидно, что — ипи также будет окрестностью нуля и прлтом симметрической. Наконец, заметим, что для задания топологии пространства нет необходимости задавать все окрестности нуля.

Лостаточно задать такую систему окрестностей нуля, называемую фундажентальнон или базисом, что для любой окрестности нуля У найдется окрестность нуля )г фундаментальной системы, целиком входящая вУ. Вообще, если мы имеем две системы 5 и о окрестностей пространства Х, то эти системы называются зквиэалентнммнд если для любой окрестности У~8 найдется окрестность УйЬ' такая, что У~У, и, обратно, для любой окрестности )У~Я найдется окрестность )г~б такая, что К ~ 'г'.

Ясно, что две эквивалентные системы окрестностей порождают в пространстве Х одну и ту же топологию. Примеры. 1. Пусть Х вЂ” совокупность вещественных функций, заданных на прямой — со < 1 <+со, бесконечно дифференцируемых на ней и обращающихся в нуль вне некоторого конечного отрезка *). Сумма функций н произведение функции на число определяются обычным образом. За окрестности нуля принимаются следующие множества: для любого е>0 н любого п окрестность нуля У(л, а) есть совокупность функций х(1) ~Х таких, что )х1а) (Ф)1<а для А=О, 1, 2...

л. Читатель легко проверит выполнимость всех аксиом линейного топологического пространства. 2. Линейное нормированное пространство является линейным топологическим пространством. Окрестностями нуля являются любые открытые(в смысле метрики, определяемой нормой) множества, соде жащие точку нуль. оэникает вопрос, в каких случаяк линейное топологическое пространство можно нормировать, т. е. ввести в него норму так, чтобы совокупность окрестностей нуля получившегося линейного нормированного пространства совпадала с совокупностью окрестностей нуля, ранее имевшейся в линейном топологическом пространстве.

Ответ на этот вопрос дает весьма важная теорема А. Н. Колмогорова. Множество А линейного топологического пространства называется ограниченным, если для любой окрестности нуля У (О) найдетса число А > 0 такое, что множество ДА попадет целиком в ь) для каждой функции этот отрезок свой. лыиеИиые топологические пРОстРАт!стел 81 а 3! рассматриваемую окрестность нулю Ограниченность множества А равносильна условию: Дли любой последовательности (х,) с: А и любой последоватЕЛЬНОСтн ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ (Ап), СХОДЯЩЕЙСЯ К НУЛЮ, Л„хп -ь О.

Доказательство етого утверждения мы опускаем. Из него, в частности, следует, что если А ограничено, то — А также ограничено. Теорема (А. Н. Колмогорова). Для того чтобы линейное топологическое пространство Х было нормируемылб необходимо и достаточно, чтобы в нем существовала выну»- лая ограниченная онрестность нуля. Пусть У вЂ” окрестность нуля пространства Х, обладающая указанными свойствами.

Без ограничения общности можно считать ев симметрической. Положим для любого х ~ Х !!х!1= !и! 7. а>о,хбхо Покажем, что введенная таким образом норма обладает всеми необкодимыми свойствами. Прежде всего !!О!!= О, так как 0~)гУ прн любом А > О. Пусть — 1 1 хеаО.

Тогда для некоторого и, х~ — У. В самом деле, если х~ — У пь п для любого и, то у»=пхЕУ для п=!,2, ..., 1 и потому последовательность (уп) ограничена. Отсюда — у» -> О. Но зто невозможно, так как ! — уп = х ныл. и — 1 Итак, х ь — У, поэтому - и 1 !1х,'!> — > О, п, и первое свойство нормы установлено. ()х !! Пусть теперь !!х!1= а, !,'у!1= !); х, уоаО. Тогда !! — '~ = 1 !! а !! и, следовательно, с(1+е) 1' а при сколь угодна малом в > О. Аналогично У С (1+ г) У.

() б Л. А. Люсте»и»». В. И. С»лоле» ЛИНЕИНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА !ГЛ. 11 В силу выпуклости У, а значит и (1+а) У, будем иметь — — + — — Е(1+ )и, а х !! у и+13 а а+(! или — +' Е (1+.) У. а+Р х+уЕ(а+О)(1+е) и. !! х + у 1! < (а+ б) (1 + з), Следовательно, Отсюда н так как з > 0 произвольно, то будем иметь ~!х+у!! <а+О= !!х!1+!!у!1. Если же либо х, либо у, либо оба зти элемента равны нулю то равенство !! х+ у 1~ = !! х ~!+ !~ у 11 очевидно. Следовательно, второе свойство нормы также доказано. В силу симметрии из х~ЛУ следует — хСЛУ и обратно. Поэтому !! — х!!=1~«!П Рассмотрим элемент ах, где а > О. Пусть хСЛУ.

Тогда ахСаЛУ ч, обратно, из ахСпЛУ следует хСЛУ. Поэтому !!ах()= !и! р= !и! а? =а !и! Л=а~!х!П а«ЕРП а«йаьн «ЕЛЫ В общем случае !!ах!!= !! ю ~ а ~ х!) = !! (а ( х!1= ) а( !~х!! С другой стороны, единичный шар !!х!1<1, очевидно, входит в окрестность У, откуда шар /!х/| <г войдет в гУ, а тем самым и в окрестность нуля У (0). н третье свойство норллы доказано. Для завершения доказательства теоремы достаточно показать, что для любой окрестности нуля )г(0) пространства Х найдется шар 1!х!!<Р, попадающий целиком в И(0), и обратно: для любого шара !!х!1< р найдется окрестность нуля )а (0), целиком входящая в этот шар. Возьмем произвольную окрестность нуля )г(0). Так как окрестность нули У, с помощью которой вводилась норма, является ограниченным множеством, то найдется число г > 0 такое, что гУ =1 (О). $ и австэлктнов гильвввтово пиоствлнство 63 Пусть, обратно, дан шар зхз <р.

Из определения нормы следует, что в этот шар войдет целиком окрестность нуля р'У, где р — произвольное число, меньшее чем р. Достаточность условий теоремы полностью доказана. Доказательство необходимости не вызывает затруднений. 5 4. Абстрактное гильбертово пространство В и-мерном вещественном (комплексном) векторном пространстве Е„.

помимо операций сложения векторов и умножения вектора на вещественное (комплексное) число, определено скалярное (или внутреннее) произведение векторов етого пространства. Именно. скалярное произведение векторов х = ]$н 3,, ..., 5„] и у = ]т)п г)п ..., т4] пространства Е„ есть число Норма. или длина, вектора х = ]си а...

„$„] выражается через скалярное произведение следующей формулой: л ]]х]]= ~]а ]'= у'(х, х). ~=1 В анализе широко применяется скалярное произведение функций. Естественно поэтому рассмотреть класс линейных пространств, в которых определено скалярное произведение элементов. Такие пространства называются гильбертоеылеи и задаются с помощью следующих аксиом. Аксиомы абстрактного гильбертова п ростр а н с т в а. Пусть Н вЂ” множество некоторых элементов х, у, е,...

Предположим, что 1, Н вЂ” комплексное линейное пространство. 2. Каждой паре х и у элементов нз Н поставлено в соответствие комплексное число (х, у), называемое скалярным лроизеедением этих элементов, удовлетворяющее условиям: а) (х, у) = (у. х) (в частности, (х, х) — вещественное число); 84 ЛИНЕЯНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. П б) (х,+ х, у)=(хн у)+(хт, у); в) (Хх, у)=Х(х, у) для любого комплексного числа Х; г) (х, х))~0, причем (х, х)=0 тогда и только тогда, когда х = 0; число )[х [[= ]~ (х, х) пазовом нормой элемента х. Ниже (стр. 85 — 86) будет показано, что эта величина удовлетворяет всем требованиям нормы линейного нормированного пространства. 3.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
9,47 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее