Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 16
Текст из файла (страница 16)
я или все равно функции >рэ(х, у), мы можем записать в прежнем виде ововщвннын производныв где пол знаком суммы стоят теперь обобщенные произволные 1-го порялка функции фе(х У). Итак, если функция фф'д (х, у) ~ 1. (О) есть обобщенная р производная 1-го порядка от функции ~рз(х, у)~рр(0), тз существует в 0 последовательность непрерывно дифференцируемых до 1-го порядка функций фз(х, у), сходящихся в среднем с показателем р к <ре(х, у) и таких, что послелогд'р„(х, у) вательность р ", ', ~ также сходится в среднем с покадхл ду" зателем р к грн»ьн(х, у). о' Из определения обобщенной производной вытекает ее однозначность как элемента пространства 1.„(0).
Если функция щ (х, у) ~ 1р(0) непрерывно лифференцируема в 0 до 1-го порядка включительно в обычном смысле, можно взять последовательность (ф„(х, у)), в которой ф„(х, у).= — Фе(х у) для всех и, и, следовательно, дР о дР~р„ = йр'»Рд(х, у) = дхл дуа " дхл ду" т. е. в этом случае обобщенная производная совпадает с обычной производной. Часто дается другое опрелеление обобщенной производной. Пусть сперва ф(х, у) и ф(х, у) имеют непрерывные производные до 1-го порядка в О, причем ф(х, у) обращается в нуль в некоторой граничной полосе 0р, состоящей из точек области, отстоящих от ее границы на расстоянии, не превышающем р.
Тогда, применяя несколько раз формулу Грина, будем иметь /,, ~р (х, у) дх ду = д 1р о д'р =( — 1)' / / ф(х, у),, дхду. а Пусть теперь ф(х, у) — произвольная функция пространства 1. (О). Если найдется функция у(х, у)Е1р(0) такая, чро для всякой функции ф(х, у), обладающей указанными 98 линеиные ноэмияов»нные пгостя»яств» (гл, п выше свойствами, справедливо равенство , ф( ° у)~ у= /' дгф дхй дуп = ( — 1)' ~ / ф (х, у) у (х, у) а~х г(у, о" то функцию )((х, у) будем называть обобщенной производной 1-го порядка функции ф(х, у). Эквивалентность двух определений обобщенной производной.
Чтобы доказать эквивалентность этих двух определений, нам понадобится ряд вспомогательных понятий и теорем. Обозначим, как обычно, через г расстояние между точками Р(х, у) и ЯЯ, Ч). Функция ге» (х У' ь Ч)= 0 . г)~Ь, как функция от х и у непрерывна, имеет непрерывные производные всех порядков и обращается в нуль вне круга К„ радиуса Ь с центром в точке ЯЯ, Ч). В силу симметрии гв»(х, у; $, Ч) относительно точек Р и Я все вышесказанное остается верным, если рассматривать ге»(х, у; $, Ч) как функцию от а и Ч в круге К» с центром в точке Р(х, у). Заметим при этом, что дифференцирование ы» по х можно заменить дифференцированием по $, с заменой знака на обратный, и то же самое для у и Ч. Выберем, наконец, постоянную с» так, чтобы Так как ~ ~ ю„(х, у; 9, Ч) щ агЧ= с» ~ ~ е'*-"' а~г(Ч= «» «» за» » и =е» ) гИ~е'г»' г Иг= 2пс» ~ е' " Иг. е о 0 овоащенныв пяоизводныи то получим ! //.,!., м ь я~а.
пм!~п~< яе ! ((Л!фб, Ч)! $~Ч'~'~лы.(х, У; '! ль / !! Яе ! ~( ~ ~ ~!рЯ, Ч)~ с!$г!Ч ~ ~ г» (х. у, '! о / !Яе 1 -!т~ьД/ .(* ю ь е'а!~ч)! 1 да ! $. Ч)'с$с(Ч ' ~( ! $ Ч) "Ъ'Ч а последний интегРал в силУ огРаниченности !за(х, У; $, Ч) можно сделать сколь угодно малым при достаточно малом Ь ~разу для всех положений точки Р (х, у) на плоскости. откуда видно, что выбор с„ при данном /! не зависит от положения точки Р (х, у) на плоскости.
функция двух пар переменных х, у и С, Ч с описанными свойствами называется усредняющим ядром. Функция гзь(х, у; $, Ч) представляет собой олин из примеров усред- няющего ядра, Пусть !р(х, у) — произвольная функция из Ь (О). До- определим ее во всей плоскости, полагая !р(х, у)=0 для Р (х, у) ~ О. Функция 'Рл(х У)=ХХыь(х У' ь Ч)ф(ь Ч)6%!тЧ кл называется средней функцией от функции ф(х, у). Нетрудно проверить, что интеграл, определяющий функ- цию ф„(х, у), равномерно сходится во всей плоскости, Б самом деле, если /се — круг радиуса 6 с центром в какой.
либо точке плоскости, то, полагая 100 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГГЛ. Ц Аналогично доказывается равномерная сходимость интегралов / г дхг'дуц при любых ( и ), + )т —— ). Отсюда следует, что ф„(х. у) есть бесконечно непрерывно лифференцируемая функция. Заметим также, что если )ф„(х, у)) принадлежат ограниченному множеству пространства Е (О), то, как показывают предыдушне опенки, средние фуйкг1ни )ф,(х, У))А = ) ) ыа(х. У; С, Ч)<Р„(С, Ч1йайЧ будут равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. Докажем две леммы о средних функциях..
Лемма 1. Для любой функции ~р(х. у)Е ь (0) и при любом И ) 0 )! та !! . ~ )! Р !!АР' Запишем уа (х, у) в виде 1 ! ~ра(х, у)=~ ) ыа(х, у; $, Ч)игр($, Ч)ы„(х, у; С. Ч) г(айЧ. КА Применяя к интегралу неравенство Гельдера, будем иметь (=Ф) р ~, А! < () ),~, и ь ч~~ч, чг~гм)'х (,к,', ! х((( .<, х ь чисп)'- 'А к„ ! =(((~Р. х г.
ч~еч, ч~ ~и~)'. \,КА (о) ововшннныв пгонзводныв так как / ~ юи(х. у; $, и))((С(()) равен единице. Возвышая и обе части неравенства в степень р и интегрируя по О. найдем У У ! ри(х, у)! а)х с(у < а <) ) () ) ъ( ): (, ()(и((, и)('<((и)< (). Так как вне Ки функция (аи(х, у; $, и)) равна нулю, а вне О функция ф(а, ))) равна нулю, мы можем область интегрирования во внутреннем интеграле принять равной О, после чего в силу теоремы Фубини переменить порядок интегрирования.
Будем иметь Внутренний интеграл снова равен единице и, следовательно', ! ! ! фи(х у) !'~х (у < ! ! ! ф6. Ч) !'с% ПЧ, откула и вытекает требуемое неравенство. Замечание. Пусть О* — подобласть области О. Тогда ~ ~ !(р„(х, у)!" с(х((у < ~ ~ !ф(х, у)!" ((х с(у+а(л). а* а* тле а(Л)-+О при И-»О. если граница области О» достаточно гладкая. 102 линепныв ИОРмиГОВАнныв пРОстРАнстВА 1гл.
ы В самом деле, как и при доказательстве леммы, находим ( ~( ((р„(х, у) (Р йх йу ~С ц(п" * " » »"")'"" о* к„ Пусть 0*„— совокупность точек области 0'~ 0", отстояших от границы области 0' на расстоянии. не превышаюшем й. Тогда .Ц о <1) ( 1')' .(. < (, чм~е, ю('л<()и Ф(< о о 1..1о„ < (((~((. и(('((~ .(, < ь еа о)((<(= о" () о„ "» ) /(р(с тр(гйсйч= / ~(р(а ч)(Раич+ о 1.1о„ о +~~(ра.
ч)('йИП. е о„ Учитывая достаточную гладкость границы области 0', можно показать, что шея 0»-РО при й-РО. Тогда в силу абсолютнои непрерывности интеграла Лебега будем иметь а(й) = ~ ~ )(р($, т1))вй$йт1-РО < о„ при й -ь О. Лемма 2. Яля любой функиии (р(х, у)~Ь (О) ири И -ь О (((р» — (р))А -ь О. ововшенныи п»оизводныз Пусть сперва ф(х, у) непрерывна в области О и, следовательно, равномерно непрерывна в любой ее замкнутой подобласти. Имеем для любой подобласти 0'~0 ~ ~ ) фа — ф(» Нх ну= о ~ ~ фа — ф 1» с(х Фу + ~ ~ ! ф„— ф !» г(х ау.
о;,о По неравенству Минковского и учитывая предыдущее заме- чание, будем иметь 1 )(~ь — ~г'.е<(( ~)~ьг~.о)'чо,о ( ~о,а +1 / /!ф!»~хе(У~~ <2» / ~ ~ф~»Нхс(у+у(д). (2) ~о~а / о;о 2 ~ /!ф(х у)~ ахоу< 4 о',о Фиксировав 0', возьмем Ье такое, что при И < ле е» т(и)< 4 / /!ф(~ у)!'с' ау< 2 о,о Тогда С другой стороны, взяв третью область О", О'сО"сО. такУю, что О'сО", 0»г=О, и полагаЯ и < Ле настолько малым, что О () Оа не выходит за пределы области 0", будем где у (е) -ь О при й -ь О.
Пусть задано произвольное число е > О. Выберем сперва О' так, чтобы )04 линейные нОРмиРОВАнные пРОстРАнстВА !Гл. и иметь мР. и — и . Р)=~ / ) .( . л ь еаза. ч л~п— КА — / / ю„(х, у; $, т))<р(х, у) лгас(т! К, < / / !гР(ь т!) — Ф(» У)!ЫА(х У; Ь, Ч)г(ай~ < «(1пак!<рЯ, т!) — ~р(х„у) ! < КА (2 вез 0)Р в силу равномерной непрерывности функции ф(х, у) в об- ласти О", если И <)ге достаточно мало. Отсюаа / !ял(х, У) — <р(х. У)!РдхИУ < —, а Из (3) и (4) следует ~~!фл(х, У) — ф(х, У)!2х (У<е'.
о И так как е)0 произвольно, то для случая непрерывной функции <р(х, у) лемма доказана. Если теперь ф(х, у) — произвольная функция из !.„(О), то найден сперва такую непрерывную в О функцию ф что ф!!АР< 3 ' Тогда !! ф — 'РА !!СР < !! Р— ! !!АР (- !! ф — фл !!АР+ +!!ф,— фй!!АР < !!ф — ф.!!„++. е так как в силу леммы 1 также !!<рл — ф„!! Лалее по уже доказанному мы можем выбрать Ь настолько малым, что прк й < Ь !!ф — 4 !!< т(' овоещенные производные ям Тогда лля таких и будем иметь й~р — <рл~) (е, и лемма полностью доказана. Локажем теперь эквивалентность двух определений обобщенной производной.
Пусть ф си(х, у) — обобщенная производная ~ре(х, у) в смысле первого определения. Поэтому найдется последовательность (~р„(х, у)) непрерывно днфференцируемых до с-го порядка функций такая, что й ~р„— Цс -ь О и ! а'р„ — <ри Гв(х, у)~( — ьО при ~-ьоо.
Ьх| ср Переходя к пределу в равенстве / / ф„(х, у),, с(х ау= о' а~р„ = ( — ))' / ~ ,т" , ф (х, у) (х,(у. а где ф (х, у) — любая ( раз непрерывно дифференцируемая функция. обращающаяся в нуль на границе области 6, мы получим, что ~ фе(х, у),, а~хФу= д!ф ах' ау' а =( — ))'~~ рс с1(». »ф(.. » 1. ° *).
о и <РА. сн(х, У) есть обобщеннаа пРоизводнаа ~Рз(х. У) н смысле второго определения. ') Из неравенства Гельлера легко следует, что ~ а, (х, у) р (х, у) лх лу -ь ~ / ар (х, у) р (х, у) сгх лу, о о если йа„(х, у) — ае(х, у))) -ьо и р(х, у) — любая ограняченная ср измеримая функция (нлн если ()(х, у)Еьа Ф)). 106 линейные нОРмиРОВАннын пРОстРАнстВА (гл.
ы д 'Ро (х. у) П> сть ~' ' У = )((х, у) есть обобщенная пронзводдхь дуь ная функции гре(х, у) в смысле второго определения. Рассмотрим средние функции <ре «(х, у). Имеем д~теа(х, у) / /' дгеа(х. У~ 1 Ч) дхьдуь .!, l дх" ду' КА Лд'е (х 1 ) 1) У гг д 4'д А Фе(А' т))с%г(Ч (б) к„' Фиксируем произвольную подобласть О' области О такую, что 0'~0, и пусть л настолько мало, что круг радиуса Ь с центром е точках области 0' остается внутри области О. Тогда еь(х, у; $. ц) можно принять за функцию ф(х, у), фигурирующую во втором определении обобщенной производной, и равенство (б) для точек (х, у)~0„можно переписать в виде =~ ~еа(х. у; ~. Ч)ХЯ, т))а'~дц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
