Главная » Просмотр файлов » Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа

Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 16

Файл №1134949 Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа) 16 страницаЛ.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949) страница 162019-05-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

я или все равно функции >рэ(х, у), мы можем записать в прежнем виде ововщвннын производныв где пол знаком суммы стоят теперь обобщенные произволные 1-го порялка функции фе(х У). Итак, если функция фф'д (х, у) ~ 1. (О) есть обобщенная р производная 1-го порядка от функции ~рз(х, у)~рр(0), тз существует в 0 последовательность непрерывно дифференцируемых до 1-го порядка функций фз(х, у), сходящихся в среднем с показателем р к <ре(х, у) и таких, что послелогд'р„(х, у) вательность р ", ', ~ также сходится в среднем с покадхл ду" зателем р к грн»ьн(х, у). о' Из определения обобщенной производной вытекает ее однозначность как элемента пространства 1.„(0).

Если функция щ (х, у) ~ 1р(0) непрерывно лифференцируема в 0 до 1-го порядка включительно в обычном смысле, можно взять последовательность (ф„(х, у)), в которой ф„(х, у).= — Фе(х у) для всех и, и, следовательно, дР о дР~р„ = йр'»Рд(х, у) = дхл дуа " дхл ду" т. е. в этом случае обобщенная производная совпадает с обычной производной. Часто дается другое опрелеление обобщенной производной. Пусть сперва ф(х, у) и ф(х, у) имеют непрерывные производные до 1-го порядка в О, причем ф(х, у) обращается в нуль в некоторой граничной полосе 0р, состоящей из точек области, отстоящих от ее границы на расстоянии, не превышающем р.

Тогда, применяя несколько раз формулу Грина, будем иметь /,, ~р (х, у) дх ду = д 1р о д'р =( — 1)' / / ф(х, у),, дхду. а Пусть теперь ф(х, у) — произвольная функция пространства 1. (О). Если найдется функция у(х, у)Е1р(0) такая, чро для всякой функции ф(х, у), обладающей указанными 98 линеиные ноэмияов»нные пгостя»яств» (гл, п выше свойствами, справедливо равенство , ф( ° у)~ у= /' дгф дхй дуп = ( — 1)' ~ / ф (х, у) у (х, у) а~х г(у, о" то функцию )((х, у) будем называть обобщенной производной 1-го порядка функции ф(х, у). Эквивалентность двух определений обобщенной производной.

Чтобы доказать эквивалентность этих двух определений, нам понадобится ряд вспомогательных понятий и теорем. Обозначим, как обычно, через г расстояние между точками Р(х, у) и ЯЯ, Ч). Функция ге» (х У' ь Ч)= 0 . г)~Ь, как функция от х и у непрерывна, имеет непрерывные производные всех порядков и обращается в нуль вне круга К„ радиуса Ь с центром в точке ЯЯ, Ч). В силу симметрии гв»(х, у; $, Ч) относительно точек Р и Я все вышесказанное остается верным, если рассматривать ге»(х, у; $, Ч) как функцию от а и Ч в круге К» с центром в точке Р(х, у). Заметим при этом, что дифференцирование ы» по х можно заменить дифференцированием по $, с заменой знака на обратный, и то же самое для у и Ч. Выберем, наконец, постоянную с» так, чтобы Так как ~ ~ ю„(х, у; 9, Ч) щ агЧ= с» ~ ~ е'*-"' а~г(Ч= «» «» за» » и =е» ) гИ~е'г»' г Иг= 2пс» ~ е' " Иг. е о 0 овоащенныв пяоизводныи то получим ! //.,!., м ь я~а.

пм!~п~< яе ! ((Л!фб, Ч)! $~Ч'~'~лы.(х, У; '! ль / !! Яе ! ~( ~ ~ ~!рЯ, Ч)~ с!$г!Ч ~ ~ г» (х. у, '! о / !Яе 1 -!т~ьД/ .(* ю ь е'а!~ч)! 1 да ! $. Ч)'с$с(Ч ' ~( ! $ Ч) "Ъ'Ч а последний интегРал в силУ огРаниченности !за(х, У; $, Ч) можно сделать сколь угодно малым при достаточно малом Ь ~разу для всех положений точки Р (х, у) на плоскости. откуда видно, что выбор с„ при данном /! не зависит от положения точки Р (х, у) на плоскости.

функция двух пар переменных х, у и С, Ч с описанными свойствами называется усредняющим ядром. Функция гзь(х, у; $, Ч) представляет собой олин из примеров усред- няющего ядра, Пусть !р(х, у) — произвольная функция из Ь (О). До- определим ее во всей плоскости, полагая !р(х, у)=0 для Р (х, у) ~ О. Функция 'Рл(х У)=ХХыь(х У' ь Ч)ф(ь Ч)6%!тЧ кл называется средней функцией от функции ф(х, у). Нетрудно проверить, что интеграл, определяющий функ- цию ф„(х, у), равномерно сходится во всей плоскости, Б самом деле, если /се — круг радиуса 6 с центром в какой.

либо точке плоскости, то, полагая 100 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГГЛ. Ц Аналогично доказывается равномерная сходимость интегралов / г дхг'дуц при любых ( и ), + )т —— ). Отсюда следует, что ф„(х. у) есть бесконечно непрерывно лифференцируемая функция. Заметим также, что если )ф„(х, у)) принадлежат ограниченному множеству пространства Е (О), то, как показывают предыдушне опенки, средние фуйкг1ни )ф,(х, У))А = ) ) ыа(х. У; С, Ч)<Р„(С, Ч1йайЧ будут равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. Докажем две леммы о средних функциях..

Лемма 1. Для любой функции ~р(х. у)Е ь (0) и при любом И ) 0 )! та !! . ~ )! Р !!АР' Запишем уа (х, у) в виде 1 ! ~ра(х, у)=~ ) ыа(х, у; $, Ч)игр($, Ч)ы„(х, у; С. Ч) г(айЧ. КА Применяя к интегралу неравенство Гельдера, будем иметь (=Ф) р ~, А! < () ),~, и ь ч~~ч, чг~гм)'х (,к,', ! х((( .<, х ь чисп)'- 'А к„ ! =(((~Р. х г.

ч~еч, ч~ ~и~)'. \,КА (о) ововшннныв пгонзводныв так как / ~ юи(х. у; $, и))((С(()) равен единице. Возвышая и обе части неравенства в степень р и интегрируя по О. найдем У У ! ри(х, у)! а)х с(у < а <) ) () ) ъ( ): (, ()(и((, и)('<((и)< (). Так как вне Ки функция (аи(х, у; $, и)) равна нулю, а вне О функция ф(а, ))) равна нулю, мы можем область интегрирования во внутреннем интеграле принять равной О, после чего в силу теоремы Фубини переменить порядок интегрирования.

Будем иметь Внутренний интеграл снова равен единице и, следовательно', ! ! ! фи(х у) !'~х (у < ! ! ! ф6. Ч) !'с% ПЧ, откула и вытекает требуемое неравенство. Замечание. Пусть О* — подобласть области О. Тогда ~ ~ !(р„(х, у)!" с(х((у < ~ ~ !ф(х, у)!" ((х с(у+а(л). а* а* тле а(Л)-+О при И-»О. если граница области О» достаточно гладкая. 102 линепныв ИОРмиГОВАнныв пРОстРАнстВА 1гл.

ы В самом деле, как и при доказательстве леммы, находим ( ~( ((р„(х, у) (Р йх йу ~С ц(п" * " » »"")'"" о* к„ Пусть 0*„— совокупность точек области 0'~ 0", отстояших от границы области 0' на расстоянии. не превышаюшем й. Тогда .Ц о <1) ( 1')' .(. < (, чм~е, ю('л<()и Ф(< о о 1..1о„ < (((~((. и(('((~ .(, < ь еа о)((<(= о" () о„ "» ) /(р(с тр(гйсйч= / ~(р(а ч)(Раич+ о 1.1о„ о +~~(ра.

ч)('йИП. е о„ Учитывая достаточную гладкость границы области 0', можно показать, что шея 0»-РО при й-РО. Тогда в силу абсолютнои непрерывности интеграла Лебега будем иметь а(й) = ~ ~ )(р($, т1))вй$йт1-РО < о„ при й -ь О. Лемма 2. Яля любой функиии (р(х, у)~Ь (О) ири И -ь О (((р» — (р))А -ь О. ововшенныи п»оизводныз Пусть сперва ф(х, у) непрерывна в области О и, следовательно, равномерно непрерывна в любой ее замкнутой подобласти. Имеем для любой подобласти 0'~0 ~ ~ ) фа — ф(» Нх ну= о ~ ~ фа — ф 1» с(х Фу + ~ ~ ! ф„— ф !» г(х ау.

о;,о По неравенству Минковского и учитывая предыдущее заме- чание, будем иметь 1 )(~ь — ~г'.е<(( ~)~ьг~.о)'чо,о ( ~о,а +1 / /!ф!»~хе(У~~ <2» / ~ ~ф~»Нхс(у+у(д). (2) ~о~а / о;о 2 ~ /!ф(х у)~ ахоу< 4 о',о Фиксировав 0', возьмем Ье такое, что при И < ле е» т(и)< 4 / /!ф(~ у)!'с' ау< 2 о,о Тогда С другой стороны, взяв третью область О", О'сО"сО. такУю, что О'сО", 0»г=О, и полагаЯ и < Ле настолько малым, что О () Оа не выходит за пределы области 0", будем где у (е) -ь О при й -ь О.

Пусть задано произвольное число е > О. Выберем сперва О' так, чтобы )04 линейные нОРмиРОВАнные пРОстРАнстВА !Гл. и иметь мР. и — и . Р)=~ / ) .( . л ь еаза. ч л~п— КА — / / ю„(х, у; $, т))<р(х, у) лгас(т! К, < / / !гР(ь т!) — Ф(» У)!ЫА(х У; Ь, Ч)г(ай~ < «(1пак!<рЯ, т!) — ~р(х„у) ! < КА (2 вез 0)Р в силу равномерной непрерывности функции ф(х, у) в об- ласти О", если И <)ге достаточно мало. Отсюаа / !ял(х, У) — <р(х. У)!РдхИУ < —, а Из (3) и (4) следует ~~!фл(х, У) — ф(х, У)!2х (У<е'.

о И так как е)0 произвольно, то для случая непрерывной функции <р(х, у) лемма доказана. Если теперь ф(х, у) — произвольная функция из !.„(О), то найден сперва такую непрерывную в О функцию ф что ф!!АР< 3 ' Тогда !! ф — 'РА !!СР < !! Р— ! !!АР (- !! ф — фл !!АР+ +!!ф,— фй!!АР < !!ф — ф.!!„++. е так как в силу леммы 1 также !!<рл — ф„!! Лалее по уже доказанному мы можем выбрать Ь настолько малым, что прк й < Ь !!ф — 4 !!< т(' овоещенные производные ям Тогда лля таких и будем иметь й~р — <рл~) (е, и лемма полностью доказана. Локажем теперь эквивалентность двух определений обобщенной производной.

Пусть ф си(х, у) — обобщенная производная ~ре(х, у) в смысле первого определения. Поэтому найдется последовательность (~р„(х, у)) непрерывно днфференцируемых до с-го порядка функций такая, что й ~р„— Цс -ь О и ! а'р„ — <ри Гв(х, у)~( — ьО при ~-ьоо.

Ьх| ср Переходя к пределу в равенстве / / ф„(х, у),, с(х ау= о' а~р„ = ( — ))' / ~ ,т" , ф (х, у) (х,(у. а где ф (х, у) — любая ( раз непрерывно дифференцируемая функция. обращающаяся в нуль на границе области 6, мы получим, что ~ фе(х, у),, а~хФу= д!ф ах' ау' а =( — ))'~~ рс с1(». »ф(.. » 1. ° *).

о и <РА. сн(х, У) есть обобщеннаа пРоизводнаа ~Рз(х. У) н смысле второго определения. ') Из неравенства Гельлера легко следует, что ~ а, (х, у) р (х, у) лх лу -ь ~ / ар (х, у) р (х, у) сгх лу, о о если йа„(х, у) — ае(х, у))) -ьо и р(х, у) — любая ограняченная ср измеримая функция (нлн если ()(х, у)Еьа Ф)). 106 линейные нОРмиРОВАннын пРОстРАнстВА (гл.

ы д 'Ро (х. у) П> сть ~' ' У = )((х, у) есть обобщенная пронзводдхь дуь ная функции гре(х, у) в смысле второго определения. Рассмотрим средние функции <ре «(х, у). Имеем д~теа(х, у) / /' дгеа(х. У~ 1 Ч) дхьдуь .!, l дх" ду' КА Лд'е (х 1 ) 1) У гг д 4'д А Фе(А' т))с%г(Ч (б) к„' Фиксируем произвольную подобласть О' области О такую, что 0'~0, и пусть л настолько мало, что круг радиуса Ь с центром е точках области 0' остается внутри области О. Тогда еь(х, у; $. ц) можно принять за функцию ф(х, у), фигурирующую во втором определении обобщенной производной, и равенство (б) для точек (х, у)~0„можно переписать в виде =~ ~еа(х. у; ~. Ч)ХЯ, т))а'~дц.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
9,47 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее