Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(6) По лемме 2 из равенства (6) следует, что — Х(х. у) дхь дуь — л=2, 3, а а — 1' Формулы преобразования координат будут а у = у г а х = — х а — 1 прн й-РО для любой подобласти 0', лежащей строго внутри области О. Для того чтобы перейти к самой области О, необходимы более сложные рассуждения [29). Не уменьшая общности, можно считать, что начало координат лежит внутри О. Обозначим через О„области. полученные из 0 преобразованием подобия относительно начала с козффи- циентом 1от ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ $ б! и легко видеть. что каждой функции /(х, у) ~ь (О) будет соответствовать функция Л (х, у)=У(:х.:, у) Е1 (Оа) и наоборот.
Пусть функция ф(х, у) Е ьр(0) имеет обобщенную производную 1-го порядка в смысле второго определения )((х, у) й 1р(0). Тогда, замечая, что для любой 1 раз непрерывно дифференцируемой функции ф(х, у) имеем д~ф ( а ~~ д~йа(х', У') дхь дул 1Л вЂ” 1/ дхн'ду'И из равенства о =( — 1)' / / Х(х, у)ф(х. у) с(хну о заменой переменнык получаем о„ =( — 1)' ~ ~ Ха(х', у')фа(х', у')Их'Фу', 'о откуда следует.
что фа(х, у) имеет обобщенную производ- нУю 1:1 Ха(х, У) в смысле втоРого опРеДелениЯ. Покажем. что в 0 при л-РОО функции фа(х, у) сходятся д'ф„ (х, у) в среднем к ~р(х. у), а функции " ' сходятся в среддхд ду" д~ф нем к дхд ду" В самом деле, / / ~ р(х, у) — фа(х. у)1РйхЫу= а = / Д ф (х, у) — ~р ~х — —, у — в ) ~ йх ду. о )ой линриныв норммровлнныя пространства ~гл. п и стремление к нулю интеграла в правой части равенства есть не что иное, как непрерывность в среднем функции Ч(х, у)Е~,(О).
Далее 1 < /' ~'~ д~~р(х, у) дьра(х, у) ~Р ~с / дхк дуп дхп дул с(хор ~ о ! =(/ / )х(, и — ( —,) х ~, ж>( ~ Ф) < ~ о ! <! -(*.'Й(!У~ ( —." -тл'".")' "- о ! -~(/ ) х~*. я — х( — ~, ~ — р)) а Ф~)'. Снова второе слагаемое справа стремится к нулю в силу непрерывности в среднем функции ((х, у) е). Что касаетсл первого слагаемого, то множитель ~$ — ~ — ~ ~-+О, а ин) тегралы, входящие в зто слагаемое, ограничены в совокупности, так как являются нормами сходящейся в среднем последовательности функций ()(„(х, у) ). Так как при каждом фиксированном л О~Ою то по доказанному выше в О при й -+ 0 дама(х, у) д%а(х у) (рма(х. у)-Ф%ь(х у) с — э с с дх" ду' дх'ду' С другой стороны, как только что показано, в 0 при з -э.
со дара (х, у) ~ра(х, у) — э <р(х, у), ~,, -ь)((х. у). дх" ду" Отсюда легко видеть. что найдется последовательность (<рм» (х, у)) ! раз непрерывно дифференцируемых функций. сходящаяся в среднем в области 0 к ф(х, у), производные ') См. Дополнение й ововшвнные пгонзводныв 1-го порядка которой сходятся к Х(х, у). т.
е. Х(х. у) будет обобщенной производной в смысле первого определения. Из второго определения обобщенной производной можно получить: а) если д'Е (х, у) дай (х, у) д~ "е(х, у) У б) обобщенная производная не зависит от порядка дифференцирования, в) операция обобщенного дифференцирования является дистрибутивной операцией. Можно также доказать, что для обобщенных производных верна формула дифференцирования произведения.
Формулы С. Л. Соболева. Существование обобщенной производной не вытекает из существования производной по пи всюду в обычном смысле. Это'показывает следующий пример (С. Л. Соболев). Пусть ф(х) задана на отрезке (О, 1], и предположим. что она имеет иа этом отреаке обобщенную производную )((х). Тогда для любой функции ф(х). непрерывно дифференцируемой и обращающейся в нуль на конпак отрезка. вместе со своей производной, будем иметь ~ <р(х)ф'(х)дх= — / )((х)ф(х)дх. Ф О х Пусть сз(х)= ~ )(($) п$.
Имеем, очевидно, а — ~ )((х) ф(х) г(х = ~ га(х) ф'(х) дх, откуда ~ (ф(х) — ы(х)) ф'(х) дх=О. е 1!О линсиные ноРННРОВАнные пРОстРАнствА [гл. н Так как ф(х) — произвольная непрерывно днфференцируемая функция, обращающаяся в нуль на концах отрезка, то из последнего равенства следует, что ф (х) = ы (х) + с. а так как «)(х) есть неопределенный интеграл от суммируемой функции, то ы(х) абсолютно непрерывна. Теперь, чтобы получить требуемый пример, достаточно взять любую не абсолютно непрерывную функцию, имеющую почти всюду производную. Легко привести пример функции, имеющей обобщенную производную высшего порядка и не имеющую обобщенной производной низшего порядка.
Пусть г (х, у) = у(х)+,у(у), где у (х) — функция, не имеющая обобщенной Производной. Тогда Р(х, у), очевидно, не имеет обобщенных производных первого порядка. Однако Р(х, у) имеет обобщенную производную второго порядка. В самом деле, для л)обои функции ф (х, у) с необходимыми свойствами ~ )Р(х. у) — нх~гу= дев дх ду о у(х) д д нхИу+ ~ / у(у) — с)хну. о о Но ,/,I ~( ) дхд а чь 1л) ь ~ у( ) / — Ра(ус(~= / /(~) Я и~=О, ч е цо Ю в, ьо так как ф„' (х. ф)(х))= ф'(х.
ф (х))=0, где ф,(х) и ф (х)— граничные значения ординат области О. Аналогично ~ / У(у) — с(хну О, а ововщвнные пвоизводные и потому Дий / Р(х, у) — бхбу=-О= / / О ф(х, у)~1хду, и о дяр т. е. б О существует и равна тождественно нулю. к у Значительно более глубоким является следующий факт: если функция г(х, у)~Ар(0) имеет все обобщенные производные 1-го порядка, то она ииеет также все обобщенные производные (1 — 1)-го порядка. Для того чтобы установить этот факт, нам понадобятся некоторые предварительные рассмотрения. г Пусть и (х, у) непрерывна в области 0 вместе с производными до 1-го порядка включительно.
Выведем ангаегральнуо Гл-9 формулу С. Л. Соболева, выражающую и(х, у) через произ- Рис. 2. водные 1-го порядка этой функции. Рассмотрим на плоскости две точки: Р(х. у) и 0 (ь т)) 1рнс. 2), Обозначим через г расстояние между этими точкамн. а через Π— угол, образованный радиусом-вектором, идущим от точки Р к точке О, с положительным направлением оси х. Имеем, очевидно.
$=х+гсозО, т)=у+г51пО. Поэтому и(с, т1) =и(х+г сов О, у+г з|пО) =о(х, у, г, 0), нли, короче, и(0) =о(Р, г, О). Ясно, что Выберем произвольную внутреннюю точку области 0 за начало декартовой системы координат. и пусть Ки — круг некоторого радиуса Й с центром в этой точке, расположенной 112 линеиные нОРмиРОВАнные НРостРАнстВА !Гл. !! целиком внутри области О. Введем функцию се л ". если г ( )т', (г'=~'+Ч') О, если г )~ )с.
езл(О) =- Константу с выберем так. чтобы ) ) е'л ((ч) пь с(Ч = 1. Кл Отметим, что гвл(Я) — бесконечно непрерывно дифференцируемая функция. Рассмотрим интеграл / / и(О)ыл(О) гй;). Кя / / ыя (сг) и (сс) !йе = ~ ~ ыл (Я) и Я) гйе = К!; а ~ уп(Р, г, 0) О (Р, г, О) ай с(Ч = о о о Заметим, что фактически все интегралы у пас собственные. Обозначим — ~руп(Р р О)!(р 7 и преобразуем его с помощью некоторого интегрирования по частям.
Пусть Р (х, у) — другая произвольная точка области О. Заменим в интеграле и(Я) через о(Р, г, О), гелЯ) — через у„(Р, г, О) и перейдем к полярным координатам с центром в точке Р и полярной осью, направленной по оси х. Получим ПЗ ововшннные пгонзводныв через х (г). Функция х(г) будет первообразной для г/(л(Р.
г, О) и, интегрируя внутренний интеграл по частям, получим / / ыл (Я) и (О) аЧ~ = ки =/ о..В) и( — / ' ' ~ (~д /шВ= о о зз ОО 1 = /' о(Р, О, О) / р)(,(Р, р, О) /р~ /О+ о о 2_#_ со ОЭ ч-/ / ''' /ех(Р.а,ВФ~»)а. о о Г Но о(Р, О, О) = и(Р), за оо ~ ру, (Р, р, О) Фр с/О = // о1л(Я) Ж) = — П о о и мы находим и(Р)= / / и((с)аи((е) ~й~— о —./У"". "ф-." "1 "- о о г или и(Р)= / / и(Я)вил) г/(~— — О' ',о' — ',Г/ги( ..о)е1 о. Полагая для сокращения записи — / р)(,(Р. р, О) (р= С (Р, ()), Г 114 линейные нОРмиРОВАнные пРОстРАнстВА 1гл.
1г будем иметь и(Р)= ~ / М) л(сг) М+ / / ди — С(Р, г;г) д1~. Функция С(Р, О), очевидно, ограничена для Р, 1',) ~ О, и нетрудно видеть, что она непрерывна при РФЯ, а при Р— ь Я имеет различные пределы в зависимости от величины угла 8. Так как — = — соз (г, х) + — сов (г, у), ди ди ди дг дх ' ду то предыдущая формула принимает вид ы(Р)= / ~ иЯ)гял(Я)гйг'+ + / / г(АЦ(Р, Я) — +Ааг'(Р, Я) — ~ й~. (7) о здесь Аг',г',(Р, Я), гн 1з=О, 1, имеет вид А 7~, (Р, Я) = — В)',), (Р, Я), ди /' Р ди ,—.
=~'~' —,.Ы,М)Ы+ о + / 7' ~ Ага (Р' Я) д ' + Ааг ( ' Я) дхду ~ гиг' о ду =,/,7' ду "л('с) 1+ + / ~ (Аге'(Р. Ф ~„,~ +Аег(Р Ф д г ~ ~Я о (8) (9) где Вг(Г,(Р, 1;1) — ограниченные функции. Прйменим выведенную формулу вместо функции и (Р) ди ди к ее частным производным — и —. Получим две формулы дх ду ' ововшвнныв пгонзводныв где В(Р, (,!) — ограниченная измеримая функция. Пусть о(Р)= ) ) А (Р, (Е) и Я) с((Е. Тогда из сходимости о в среднем )) и„(Р) — и(Р)))с -2.0 вытекает сходимость в среднем о Р ( Р ) Ф ( Р ) ) ) с е О В самом деле, для первого случая имеем ! „(Р) — (Р)) < М ~ ~ ) „((;)) — (О)). — д() = о 1 ) = М ) ~ ) и,(Я) — иЯ))г Рг е,й~ < ! 1 <и(!" !" ~ .(о)- (ч)!"- ч')Р(!")" - /ч)'. 'ч о / )(о Здесь М = зпр) В(Р, ('!)).
о Вводя полярные координаты с полюсом в точке Р, нахо- дим. что с ! -'/Ч)' <(2 2)7, где с( — диаметр области О. Таким образом, ! 1 ! „(Р) — (/)(<Н()з/)1(!'!"(..(Ч) — (и"-<Ч)2. (, о Отсюда ~ ~) „(Р) — (Р))едР < о <н(2.2)') ) !) ) (,(ч) — (ч)/ '/ч)/Р о ! о =Я(2. )2) ) $/ .(Ч) — (0)!' ) ) -'/Р)/Ю о о 118 лннеиные нормированные прострлнствл [гл. и и снова ~ ~ г 'АР(2ллс. если ввести полярные координаты, но теперь уже с полюсом в точке ф Таким образом, / ~ ) о„(Р) — и (Р) ~Р с)Р ( о р,с (сИ(2л4о ~ ~ ~ир(с)) — иЯ)1рдС~, (12) о и лемма доказана.
Аналогично проводится доказательство для функции А (Р, 1;С) второго нида. Пусть теперь функция ср(Р) имеет все обобщенные производные 1-го порядка, Найдется последовательность 1 раз непрерывно дифференцируемых функций (ср (Р)) такая. что ср (Р) сходится в среднем к ф(Р), а ™ сходятся в средд чсрс длс дусэ нем к — для всех 1н 1а=О. 1, ..., А 1с+1а=1. По д~сг длй ду' формуле С. Л.
Соболева с-1 д"и р (Р)=~~»» с),"сс(Р) / / р ((с) д л, сс+ рос,+с,а а + ~~~~ ~' ~ ссС дсясщ с,+с,=с а В силу леммы мы можем перейти к пределу под знаком интегралов, входящих в зту формулу, и будем иметь с-1 д"со ср(л, у)= ~~~с,» Сс",с',(Р) ~ ~ ср(С~) — с', С)+ а=о с,+с,=а о +,"»', ~~Ас',с„(Р, ()) —,',,', а~. (1З) с,+с,=с о Таким образом, мы распространили формулу С. Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
