Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Этот предел обозначим через Ах. Пусть (С„(<=1'.— другая последовательность, сходящаяся к х. Имеем, очевилно, ((х„— ф„(! -«О, откуда ((Аох„— АД„!! -«О. Следовательно, АД»-«Ах. Это означает, что оператор А определен на элементах Е„ однозначно. Если х ~ С, берем х„ = к для всех и, и тогда Ах=!ипАохь= 4ок. Построенный оператор А аддитивен, так как А (х, + хг) =1!щ Ао(х~„"+ х~~!) = и = 1! щ А,х„+ !ин Аох'„' = Ах, + А ха. (и и ограничен, так как из неравенства ((Аоки((~(((Ао((с((х (( ЛИНЕИНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ переходом к пределу получаем !!Ах!) 4)(Аа(~г()х((.
Из этого же неравенства следует, что !! Азе„(~~Аь'аг. Так как при продолжении оператора норма, очевидно, не может уменьшиться, то !!А~~в„= ~~Аз~~с и теорема полностью доказана. Указанный процесс распространения оператора называется продолжением (или расширением) оператора по. иепрер ы в ности. ф 3.
Линейные функционалы Если значениями оператора являются вещественные числа, то, как сказано ранее, оператор называется функционалом. Функционал Г'(х), определенный в линейном топологическом пространстве, называется линейным, если 1) ~(х,+хг)=у(х,)+у (хг), 2) У(х„) — ь г'(х), когда х„— ь х в смысле сходимости в линейном пространстве Е. Так как множество й вещественных чисел есть пространство типа В, то для линейных функционалов сохраняются все определения и теоремы, проведенные выше для линейных непрерывных операторов. Т е о р е м а 1'. Аддитиеный функционал /(х), определенный на линейном пространстве Е и непрерывный е одной точке этого пространства, непрерывен всюду но Е и, следовательно, линеен.
Теорема 2'. Линейный функционал однороден. Теорема 3'. Для того чтобы аддитиеный функционал, определенный на линейном нормированном пространстве Е, был линеен, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен: ~у'(х)~ ц, М~)х)1. Наименьшая из постоянных М, удовлетворяющих этому неравенству, называется нормой функционала и ЛИНЕЯНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 11'л.
На обоаначается [!у!!. Итак, !У(х)!([Ф![! !!. Наконец енр !у (х)!. Н х !!:: 1 или, что все равно, !!.г'!! = внр '!!„ Примеры. 1. Пусть Е = Ар [О, 1], тогда 1 у(х) = ~ х(!) с! е есть линейный функционал. В самом деле, то, что у (х) имеет смысл для любого х~Ер [О, 1), вытекает из неравенства Гельдера 1 1 1 1 1Г ' '[ х(!)и <(~!х(г)!Рлт~ ! [ Ст) !)х)1. о 1О о Из этого же неравенства вытекает ограниченность у(х)! адаптивность у (х) очевидна. 2.
Пусть Е есть Е», то есть й-мерное евклндово пространство. )(ля элемента х = [С1) етого пространства положим У(х) сД,+сД,+ ... +сД», где сь с„..., с» — некоторые константы. Алдитявность функционала у(х) снова очевидна. Так как х„-ьх означает, что С)1»1-ьа! для всех 1' 1, 2, ..., », то »» Ин! У (х ) = Иа ~я~~~ с Д11"! = ~~~', сД! = У (х), я я 1=1 и непрерывность у'(х) доказана. Норме линейного функционала можно дать геометрическое истолкование. Так как в й-мерном евклидовом пространстве уравнение плоскости сД1+сДя-!-... + сД» = — с можно записать в виде у'(х) = с.
ПРОСТРАНСТВО ЛИНЕИНЫХ ОПЕРАТОРОВ 145 а 4! то по аналогии назовем гиперплосностью в произвольном линейном пространстве Е совокупность точек этого пространства, удовлетворяющих уравнению У'(х) = с, где у — линейный функционал на Е. Гнперплоскости у(х)=с, и у'(х)=с, естественно наввать параллельными. Гиперплоскость у (х) = с делит пространство на два полупространства: совокупность точек х, в которых у(х) (с, и совокупность точек х, в которых у (х) )~ с. Назовем условно первое из этих полупространств лежащим влево, второе в лежащим вправо от гиперплоскости )'(х) = с. Гнперплоскость у'(х)= !!у!! обладает тем свойством, что весь единичный шар !!х!! (! лежит целиком слева от этой гиперплоскости (ибо для точек шара !(х)! (1 мы имеем У (х) (!!У!!). С другой стороны. никакая из параллельных гнперплоскостей / (х) = !!)'!! — е этим свойством уже не обладает.
По аналогии с теорией выпуклых тел й-мерного евклидова пространства мы назовем гнперплоскость / (х) = (!/!! опорной н шару ))х)((1. 9 4. Пространство линейных ограниченных операторов Мы уже видели, что всевозможные линейные ограниченные операторы. определенные на одном и том же линейном пространстве Е, с областью значений, расположенной в линейном пространстве Е, образуют линейное пространство (Е» -ь Ег). Если дополнительно предположить, что Е и Š— нормированные пространства, то в пространстве (Е» — ь Е ) такя4е можно ввести норму. В самом деле. для каждого линейного ограниченного оператора А, отображающего Е„в Е, определена норма (указанным в $2 способом). Нетрудно показать, что эта норма удовлетворяет трем аксиомам нормы.
1(ействительно, !) !!А!!= зпр !!Ах!1~~0. Если !!А!1=0 (т. е. Впр !!Ах!!=0), !!»В<! !!»ИК4 то !!Ах!!=О для всех х таких, что !!х!!(1. Но тогда. 1гл. Ен ЛННЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ и силу однородности оператора, Ах = 0 для всех х, и, следовательно, А = О.
2) !!ЛА!! = Ецр !!ЛАх(! = (Л! Ецр !(Ах!! = !Л!!!А!!. Цк! ж! Цкни! 3) !!А+В!1= знр !!Ах+Вх!!( Енр 1!Ах!!+ зпр !!Вх!(= Ц к Ц,! ЦкЦК! Цкп ь! = ~,А!!+!!В!!. Таким образом, пространство линейных ограниченных операторов есть линейное нормированное пространство. В частном случае, когда Е = !с' — множеству вещественных чисел, т. е. когда мы рассматриваем пространство линейных функционалов, определенных на Ек, это пространство линейных функционалов называется пространством, сопряженным с Ек, н обозначается Е„. Теорема 1. Если Е„полно, то пространство линейных ограниченных операторов дудел! также полным пространством и, следовательно, пространством типа !В). Пусть дана последовательность линейных операторов 1Аи), сходЯщаЯсЯ в себе по ноРме в пРостРанстве линейных опеРатоРов, т.
е. такаЯ, что !!Аи — А !!-«О пРи п„т — «Оо. Тогда для любого х ~( Аих — А,„х ~( ~((~ Аи А (!!) х () -«О прн и, т-«ОО. Поэтому для каждого фиксированного х последовательность !А„х) элементов пространства Е„сходится в себе. В силу полноты пространства Е„последовательность !А„х) имеет некоторый предел у.
Итак, каждому х ~ Ек ставится в соответствие у Е Е„. и мы получаем некоторый оператор А, определяемый равенством у=Ах. Этот оператор аддитнвен: А !хг+х ) =!!щ А„!хг+ хз) =!1гп А„х, +1ип А„х! = и и и = Ах, +Ах!. Покажем. что А — ограниченный оператор. По условию 11А„— А ~~- О $41 ПРОСТРАНСТВО ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 147 при и, т-4 Оо.
Отсюда ! !) А л (! — )! А,„)! ) -ь О пРи и, т -4 со. т. е. числоваЯ последовательность 111 Ал111 сходится в себе и, следовательно, ограничена. Поэтому существует такая постоянная К, что 11А„~) ( К для всех и. Отсюда !)А„х(( (К)(х~( для всех и. Следовательно, )! Ах ~! = 1пп (! А их )( ( К)! х ((, л н ограниченность оператора А доказана. Так как А, кроме того, аддитивен и однороден, то А — линейный ограниченный оператор.
Докажем, что А есть предел последовательности 1Ал) в смысле сходимости по норме в пространстве линейных операторов. )Гля любого е > О найдется номер пе такой, что ((Ал+рх — Алх)) ( е (1) для и> пе, р ) О и всех х с нормо» 11хЗ (1. Переходя в неравенстве (1) к пределу при р-4 Оо, получим, что ()Ах — А„хЗ (е с нормой, не превосходящей единицы. зпр 11(А„— А) х1! (е.
йлп <! для и )~ пз и всех х Поэтому для п)~пз зАл — Аз Следовательно, А =11т Ал л в смысле сходимости по норме в пространстве линейных ограниченных операторов, и полнота этого пространства доказана. С л ел с тв и е. Гу рост ранство Е*, сопряженное с линейным нормированным пространством Е, есть банахово пространство. Равномерная и точечная сходимость операторов. Будем называть сходимость последовательностл линейных ограниченных операторов в смысле сходимости по норме в пространства 148 ЛИНЕППЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1гл.
Пп линейных операторов равномерной сходилзостью. Это название оправдывается тем, что если А„— «А в смысле сходимости по норме, то А„х -« Ах равномерно во всяком шаре ()х((~(г. В самом деле, для заданного е ) О выберем пе так, чтобы при п)~аз ((А„— А() < †. Тогда ((А„х — Ах(( <((А„— А() (, 'х)(< — г = е для всех х Е У(0, г), и требуемое доказано. Обратно, если А„х — «Ах равномерно на некотором шаре ))х() <г, то А„х-«Ах равномерно и в единичном шаре, а отсюда, как только что было показано, следует )) А„— А () — » О.
В пространстве (Е, — «Е„) линейных ограниченных операторов мы вводили и другую сходимость последовательности операторов. Именно, последовательность линейных ограниченных операторов (А„) называется точечно сходящейся к линейному оперзтору А (в себе), если для каждого фиксированного х последовательность (А„х) сходится к Ах (в себе). Очевидно, что из равномерной скодимости последовательностии (А„) следует точечная схолимость этой последовательности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
