Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Имеем для любого х ЕЕ ((АВх(! (((А((((Вх(( (((А(! ((В((((х((, откуда и следует наше утверждение. Пусть теперь Ал, А, Вл, В~(Š— Е) и А„— ьА, Вл-лВ в смысле равномерной сходимости. Тогда АлВ,-ьАВ. В самом деле, ((АлВл АВ((~(((А Вл АлВ((+ ((Ал — АВ((~ ~~((А„(( ((Вл — В(( + ((В (( (! Ал — А ((. Последовательность (((Ал ((( есть сходящаяся числовая последовательность и потому ограничена, а ((Ал — А ((-э О и ((Вл — В( — ьО. Поэтому (АлВл АВ(( +О Так как (! Аг ~ ~( (( А (г ИА" К И А(л, и аналогично и 1ребуемое доказано. Теоре ма 2. Оусть линейный ограниченный оператор А отображает Е е Е и (А( 4д( 1.
Тогда оператор /+А имеет обратный линейный ограниченный оператор. В пространстве операторов, определенных на Е, со значениями в том же пространстве, рассмотрим ряд А+ е Аг ( ! ( ))лАл ( ф) ОБРАТНЫЕ ОПЬРАТОРЫ 157 то для частичных сумм Вл ряда (5) будем иметь Р.+л — В.!! = — 1)л» ~л»+( !)«лгА «г ! ! ( 1)илрА« < !! А !!" » + ! А !/" "г -4- + !! А (!" +Р < < ~л + Ол" +... + д"" — О при и-ьоо, р Р О. Поэтому последовательность частичных сумм ряда (5) сходится в себе, а значит, в силу полноты пространства операторов и к некоторому пределу, т.
е. ряд (5) сходится. Пусть 8 — сумма ряда (5). Имеем В (1+ А) =! ! юп 8« (1+ А) = и = !нп(1+А + Аг-)-... + А" — А — Аг — ... — А" ») = и = й т (1 — А" ' ') = 1, л т. е. 8=(1+ А) Легко видеть, что 8 — линейный оператор. Кроме того. он ограничен, так как !!ВР < ~~У',(А!!л < Ъ й"= —,' л=л «=О Таким образом, (1 + А) — линейный ограниченный оператор, и теорема доказана. Тереома 3. Пусть оператор А~(ń— ьЕР) имеет обратный А ~.и оператор ЬА таков.
что !! ЬА /! < /! А Тогда оператор В=А+ЬА имеет обратный В ' причем )!В ' — А ')!.4 ! !!А '~ ° (6) 1 — !! А ' )!!! АА 1 В самом деле, А + ЬА = А(1 -(- А ЬА). 158 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. 1П Так как ~ А 'ЛА ~ < 1, то оператор 1+ А 'ЬА имеет обратный А- ~А~- ~ч;~ (' А- йА)« что и требовалось доказать. П р и м е р. Рассмотрим интегральный оператор 1 Ах=х(1) — ~ К(й з)х(з) с1з е с непрерывным ядром К(й з), отображающий пространство С [О, 1) в себя.
Пусть Кр(й з) — вырожденное ядро, близкое к ялру К(Г з) и Ар — интегральный оператор, соответствующий ядРу Кр (1 з): 1 Арх х(1) — ) Кр(й з) х(з) яз, (8) е Рассмотрим уравнения Ах у и Арх = у. Положим ы шах(К(й з) — К,(й з)!. (7') (8) Если ЬА А — Ар, то легко видеть, что 1АА)!~,рь Как известно *), решение уравнения (8) с вырожденным ядром сводится к решению линейной алгебраической системы. Предположим, что система имеет решение, и запишем его в виде А'р (1) = му «) См.
например (201. Тогда, очевидно. (1'+ А ОА) А есть оператор, обРатный опеРатоРУ А(1'+А-1ОА) А+ДА Дале~ ~(А+ЛА) ' — А ~ <)(А ~~)(У+ А ЛА) — 1( < 1 — 1А ~ЬА1 <„у', 6А '14" $!А '6= ~~' "1 1А 'П < < )АА) 1 11 1 — 1А ~) ЬА1 $ з] ОБРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ где й — оператор, определенный матрицей (гн). обратной к матрице вышеуказанной линейной алгебраической системы. Пусть г — норма оператора К Тогда если 1 ы( —, г то а силу доказанной теоремы интегральное уравнение (7) с невы- рожденным ядром имеет решение, и если х(т) — это решение, то ]] х (с) — х» (т) ) ~ г'. Если, наоборот, известно, что уравнение (7) разрешимо, то теорема может быть исйользоэана для доказательства существования решения у аппроксимирующего уравнения с вырожденным адрон и дая оценки погрешности приближенного решения.
В заключение докажем следующую теорему: Теорема 4 (Ванаха). Если линейный ограниченный оператор А отображает есе банахово пространство Е на все банахоео пространство Е„взаимно однозначно, то существует линейный ограниченный операпгор А ] обратный оператору А, отобрахсающий Е наЕ„. Необходимо доказать лишь ограниченность оператора А В силу леммы ф 2 настоящей главы пространство Е„ может быть представлено в виде »=~ где г'» — совокупность таких элементов у]ЕЕР, для которых 1! А-'у !! < йЫ], и по крайней мере одно из множеств 1» всюду плотно в Е„.
Пусть это будет множество г'э. Возьмем любой влемент у~Е„. Пусть ]]у]] =1; найдем у, Е уп такой, что 2' (Это можно сделать. так как Х(0. ») П Уп всюду плотно в 3(0. О и уЕ8(0. С).) Найдем далее элемент уа~)в ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !ГЛ, 1И такой, что Ь вЂ” У) — Ы! <2! Ы< —,' продолжая так далее, построим элементы у„~ Г, такие, что Ь вЂ” !у+у+ +ув)К вЂ”, Ы< — „, .
Таким образом, получим, что )! = !! !п ~ Л 1=1 Положим х„= А у„, тогда !! хд !!.4 л )! у„)! <— Последовательность (гл), гь = ~~ х1, ПРи 11 -ь со сходитсЯ 1=1 к некоторому пределу х Е Е„, ибо ььр (!г ер — г„!! =~ р х!!!< — „, !=ФЕ1 и Е» — полное пространство. Следовательно, ь Х = ! ИП Хит Х, = ~~', Хи ь ~=1 1=1 Далее л а Ф Ах=А !Пп ~~'„, х;) =йтх~! Ах,=!ил ~'„у! — у. 'ь ь 1=! в 1=-! л Отсюда ')А 'у~= (!х!! = !ип ~~ х!! < !ип «„(!х!,'( < л !! и в СО < ~ —,, = 2н1=2а!!у!~.
ъ'ч и! 2! Так как у — любой элемент из Е, то ограниченность опе- ратора А доказана. % з! 101 ОБРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Мы указывали, что бывают случаи, когда оператор, обратный к ограниченному линейному оператору, оказывается хотя н линейным, но определенныи не на всем пространстве Е„, а лишь на некотором линейном многообразии, н неограйиченным на этом многообразии. Точно так же операторы, обратные к неограниченному линейному оператору, определенному на некотором линейном многообразии, всюду плотном в Е .
могут оказаться ограниченными линейными операторами, определенными на всем Е . Детальное рассмотрение подобных случаев в произвольном банаховом пространстве выходит аа рамки настоящей книги, и мы ограничимся тем, что приведем два простых примера, подтверждающих сказанное. Примеры. 1. Пусть Е С[0, 1] н ! Ак= ~ х(т) ет. о Тогда А — ограниченный линейный оператор, но А у= — у(() л' е'т — неограниченный оператор, определенный на линейном многообразии непрерывно дифференцнруемых функций таких, что у (0) = О.
2. Пусть Е= С [0, 1] н Ах = — ~ р (() — ~ + л (Г) х — неограниченный оператор Штурма — Лиувнлля, определенный на линейном многообразии дважды непрерывно дяфференцнруемых функций таких, что х(0) =х(1) =О. Обратный оператор А 'у= ~ С(бт)у(т)~КТ, где б(б т) — функция Грина, есть ограниченный линейный опера- тор, определенный на всем пространстве С [О, 1]. Операторы, зависящие от параметра. Часто в различных разделах математики встречаются уравнения вида Ах — Ля=у или (А — Л/)х=у, (9) 162 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1Гл.
ьп где А — линейный оператор и Л вЂ” некоторый параметр. Наряду с уравнением (9) рассмотрим уравнение Ах — Лх = О или (А — Ль) х = О. (1О) которое называется однородным уравнением, соответствующим уравиеииай (9). Эго уравнение всегда; имеет решение х =О, которове иазывается пьривиалвным решением. Допустим, что для некоторого Л оператор А — Ль' имеет обратный (А — Ль) ' = В,. Оператор Яь называется резольвентны.в оператором для уравнения'(9). Тогда для этого Л уравнение (1) имеет при любом у единственное решение х = ьгь,у Однородное уравнение (2) имеет в этом случае только тривиальное решение х =О.
Такие аначения Л, при которых уравнение (9) имеет единственное решение при любом у. а оператор ьсь ограничен, называются регулярными значениями для уравнения (9) или для оператора А. Если уравнение (10) при данном Л имеет, кроме тривиального, некоторое другое решение, то такое значение Л называется собственным значением (или харакпьерисльическим числом) для уравнения (9) или оператора А, а нетривиальное решение называется собсльвенным влеменльом уравнения (9) илн оператора А. соответствующим данному собственному значению Л.
Если Л вЂ” собственное значение оператора А и уравнение (9) имеет решение при некотором у. то решение не будет единственно, так как если хо — решение уравнения (9), Ахо — 1 хо — — У и е †собственн элемент оператора А, соответствующий собственному значению Л, Ае — Ле= О, то А (хо+ е) — Л (хо+ е) = у и хо+е также решение уравнения (9). $ я! ОБРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Совокупность всех значений Л, не являющихся .регулярньпш, называется спекшроля оператора А. В частности, все собственные значения принадлежат спектру.
Из теорем 2 и 3 следуют предложения: Если Х таково, что — (~А ,'~ = д ( 1, то оператор 1 1Л! А — Ля' имеет обратный; при етом ,~ !( А„А ) Если Л вЂ” регулярное значение, то и Л+яяЛ при ! гяЛ ~ < (! (А — Л/) ' () также есть регулярное значение. Отсюда следует, что совокупность регулярных значений есть открытое множество и, значит. спектр — замкнутое. Пример. Рассмотрим в пространстве С(0, 1) интегральное уравненве 1 х(Г) у(Г)+Л ~ К(й л) х(л) лл, 6 где К(й л) — непрерывная в квадрате 0(й а(1 функция. Поло- 1 жим — = и и перепишем уравнение в том виде, в котором мы рас- Л смктрнвали выше операторное уравнение; получим 1 '~ К(Г, з) х(а) ятз — Их(я) — Иу(1), о я или, обозначая Ах= ~ К(1, л) х(л) я(л, о Ах — Их = — Иу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
