Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Далее находам 1Г А АЯ Р ="й = — — (1-(- — + — -+ ...) — Л'(У+ ЛА+Л'А'+.. )' И И И я Ззяясгияя, что Алх = ~ Кр (Г, л) х (л) Пл о ЛИНРЙНЫР ОПЕРАТОРЫ (ГЛ. 1П где Кр(б 5) — р-я итерация ядра К(г, з). следовательно, имеем гг,г= — Лг(!) — Лз ~ К (1, 5) г (5) Яз — Л ~ Кз(г, 5)г(5) Яз— ! о Поэтому решением уравнения (11) будет 1 г (!) Р! ~ — — у) Л 1 ! = у (!)+Л ~ К (б 5) у (5) г(5+Лз / Кэ (б 5) у (5) 45+ . ° Таким образом, мы получили то же решение, что и в теории интегральных уравнений, именно: г(г)-уб)+л ~ Л(дз, л)у(5)лз, о где г( (б 5, Л) — резольвента ялра К (б з): гг (б 5, Л) = К (б 5) +~ К, (б 5) + ЛэК! (б 5) +...
Уравнения для резольвенты )Т(К з, Л), выводимые в теории интегральных уравнений, суть условия того, что )т! есть обратный Г справа н слева оператор для оператора ЛА — Е ф 6. Пространство Банаха с базисом Определения. Пусть Š— бесконечномерное пространство типа В. Последовательность элементов е,, ез ..., е„, ... из Е называется базисом этого пространства, если любой элемент л ~ Е однозначно представим в виде л = ~~„ен 1 ! ПРОСТРАНСТВО БАНАХА С В!ЯЗИСОМ $ 61 где в! — вещественные числа.
Однозначность представления. очевидно. равносильна условию. что тогда и только тогда, котла $1 = О для всех 1. П р и и е р ы. !. Пусть Е =! Тогда совокупность злементов е! — 11, О, О, О, ...), г! = 10, 1, О, О, ...1,... образует базис в 1, так как лля любого хЕ1р имеет место однозначное представление х = ~чз„а1е! ЕСЛИ Х 1С„С!...„Сю ...!.
В СаМОМ ДЕЛЕ, и'! Ьс1- Д1, ~„..., ~ю О, О, . „1, 1=1 и потому х — ~ч~', с1е! =1110, О, ..., О, С„+1, $„~„...)11= ! — 1 ! 1с! ~~ -эо как остаток сходяшегося ряда. Следователы<о, х иш чт в1е1= ~ч~ а1е1, 1=! Лалее если х = ~ч~~ а1е! = у с;е1, т. е. то 1=1, 2„ что и требовалось доказать. !гл, гп ЛИНЕПНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 2. Пусть В С(0, Ц. Рассмотрим в С(0, Ц последовательность элементов й 1 — 1, и„(1), и!о (Г) ин (1) иы (1), им (1), итт (1), ..., (!) где иы (1), й = 1, 2, ..., 0 4! < 2".
определяется следующим обра- ! ! 1-(-1! зом: иы(!) О, если ! находится вне интервала 1 4 Рис. 3. Рис. 4. а внутри этого интервала ил! (1) имеет график в виде равнобедренного треугольника с высотой, равной единице (на рис. ар дан график функции и„(1) ). Всякая функция х(!) ЕС(О,Ц представима в виде ряда о 2-1 л х(Г) = ао!+а! (1 — 1)+ ~ ~ аа!иа!(1), (2) а=о г=о где а,=х(1), а, х(0), а коэффициенты аа! находятся олнозначно геометрическим построением, указанным на рис 4. График частичной суммы ряда (2) г-! 2 -1 л ао1+ а, (1 — 1) + ~ чч ащиа! (1) л о!=о есть, очевидно, ломаная линия с 2г+1 вершинами, лежащими на кривой х = х (1) в точкак с равноотстоящими абсциссами.
Совокупность функций (1) образует базис в С[0, Ц. Если пространство Е имеет базис. то оно. очевидно. сепарабельно. Счетным всюду плотным множеством в простран- ПРОСТРАНСТВО БЛНАХА С БАЗИСОМ а »1 стве с базисом будет множество линейных комбинаций вида и ч~", г,е, с рациональными коэффициентами ги Естественно (=1 прелположить, что всякое сепарабельное пространство типа В имеет базис. Олнако, хотя для всех известных конкретных сепарабельных банаховых пространств базисы построены, суп(ествование базиса в произвольном сепарабельном пространстве типа В не доказано. Итак, пусть Е =Е„ — пространство типа В с базисом е,, ез , еи, ...
Рассмотрим линейное пространство Е„, элементами которого являются всевозможные числовые последовательности У = )!1И т(з, ..., т1„, ...) такие, что Рад ~ тйе! сходится. (=1 Введем в Е„ норму, полагая ((у(( = знр ~~„', (1!е! Покажем, что Š— пространство типа В. В самом деле, выполнение аксиом йормы проверяется без труда.
Пусть теперь лана последовательность (у») тЕ, у» = )(1(»!) сходяп(аяся в себе. Тогда для заданного е ) 0 имеем и 1(У вЂ” У»((=зпР ~(т((,."! — т1(»!)е, (е длЯ л(, й) тз(е), и ! (=! и, следовательно, ) (--(ч ~ лля л», й)~ где(е) и любого а. Отсюда и и-1 !) ((1(л(! 11(»!) е !! ~ ((1(и!! 11(»!) „, ~~~ (т((л!! (1(»() е л 1»-1 ( ~~'„) (т(((л!! — т((»!) в! ~ + ~ ~ ((1(!'"! — (1(!»() е, ~ ( 2е, 1=1 !-1 и потому и и 1(еи(1 !68 линеиные ОпеРлтоРЫ [ГЛ 1Ц для т, Д)~ те(е) и любого и. Слеловательно, числовая последовательность (!)~„1) схолится к некоторому пределу !)!е1, и это имеет иесто для любого л, л Переплем в неравенстве (3) к прелелу при и -ь со; получим л ~У (1)1 ' — т~"') е, ~(е (4) ! —. 1 для т ) те(е) н любого и. Положим л л з! л! ~~ !) л !е з!е! ''т !)!л!е !' ~"-1 1=! Учитывая неравенство (4), будем име1ь !! за"!!р — зйл1~! ~(1! зл! р — алло!~+2е для т ) те(е) и любых и и р > О.
Пусть теперь задано произвольное число Ь > О. Выберем Ь сперва е, а тем саиым и те(е), так, чтобы 2е( —,, затем, 2' фиксировав т )~ т„(е), возьмем ле так, чтобы 1~ зй",'р — "."" !~ < — ',, для а >ив и любого р > О (это возможно в силу сходи- мости ряда ~ !)!! 1е,). Тогла 1=1 11зТ!,— з'."!! <б для л)~ ле и любых р ) О, т.
е. ряд ~, т)!!"е. ! !=! схоаитсЯ, и, следовательно, Уе= (1)!!е1, т)!те1, ..., т)йп.. ~ Е е„. Так как, кроме того, из неравенства (4) получаем, чго л Зпр ~ (!)('л1 — 1)!1Е!) Е, (Е дпя т ) та, л 1=1 т. е. !1У,„— Уеб' (е дла т )~ те, то полнота пространсгва Е„доказана. ПРОСТРАНСТВО БАНАХА С БАЗИСОМ Очевидно, каждому х = ~~'> йге1 С Е„ соответствует единственный элемент у,=й ° 1а ""!'. )ЕЕ,. Обратно, каждому элементу у = (т)1! ~ Е соответствует един- ственный элемент х„ ~ Е,.
а именно: х = ть1ег ~=1 Таким образом, можно считать. что определен оператор х = Ау, взаимно однозначно отображающий Е„на Е„. Легко видеть, что оператор А линеен. Кроме того. оператор А ограничен. В самом деле, СЮ а !!Ау!! = !!х!! = Х тйе, (зпр,'Е Ч е = !!у!!. Следовательно, мы имеем линейный оператор А, отображающий Е на Е„взаимно однозначно. По теореме Банака существует обратный оператор у = А х, который также является линейным ограниченным оператором.
Пусть Х= „ЫЕ1 '\~~ 1=1 — любой элемент из Е». Определим функционал у», полагая у„(х)=й». Очевидно, функционал / аддитивен. Палее, ~ч,' $1е1 — ч,' $1е1 !У1 (т)! = !ье! — " ' " — ' < Зееа ~~Ее~~ 1 2,'!у~! 2)! А 1х(! 2(!А ')! ~И ' '1!(еей ~~ее!! Зе„~) йее~! 1=! 1ТО !гл, !и ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ откуда следует ограниченность и, следовательно, линейность )'а. а такм<е, что !1 еи 11 !!А Ч Строя для каждого й функционал уа, получим бесконечную последовательность линейных функционалов г!, /, ..., у'„, ... г=Е', причем любой элемент хцЕ можно записать в виде ии х= ~„/!(х) еп !=! Положим, в частности.
х=е . Тогда ( 1. если г=/, ~ О, если 1+/, т. е. 1 1, если 1=/. 1 О, если 1+ /. Таким образом, мы получили лве последовательности: элементов (е,1 и функционалов 1Я, удовлетворяющих равенствам (5). Такие лве последовательности называются био раогоналанмми. Возьмем теперь любой линейный функционал /~Е'. Так как и и х= ~ /'!(х) е, =!1щ ~ (!(х) ео г-! и !=! то у (~) =1!щ ~ у 1Л (х) ~,) = йщ ~~'., Л(~)/(~,)=~~ у,(х) г(~,). и !=! и ! ! ! ! Обозначим у(е!)=сп Тогла получим, что лля люоого линейного функционала У ЕЕ' имеет место представление у (х) = ~~'.~ с!у! (х).
!=1 или (б) пРОстРАнствО БАИАхА с БАзисом а б] 171 Представление (б), очевидно, однозначно. Ряд (б) сходится для каждого хЕЕ. Пусть снова х — любой элемент из Е; тогда СО и СО х= >', с!е7 — ~ а е7+,.,''.~ йуе.
1=! 7=! 7=и!-1 и каждому элементу х ЕЕ можно поставить в соответствие два однозначно определенных элемента Уи = ~~~~ $;Е7 И Яи = ~~Р~ а Е . /=! /=ле! Э!ими равенствами задаются два оператора у„= Я„х и хи= Е„х, определенные на Е, с областью значений в том же пространстве. Очевидно. Яи и Й„ — линейные ограниченные операторы при каждои фиксированном и. В самом деле, линейность нк очевидна, а ограниченность следует из неравенства и аналогично ((й„х!! 4 2~~А '~~ (~х~~. ГЛАВА 1Ч ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В втой главе мы рассмотрим подробно простейшие свойства линейных функционалов, определенных в линейных нормированных пространствах.
Напомним прежде всего несколько теорем, доказанных выше и имеющих место как для операторов, так и для функционалов. и ноторые мы здесь сформулируем применительно к функционалам. Те о рема (В а паха — Штейн хауса). Если последовательность линейных функционалов. определенных на банаховом пространстве Е, ограничена в каждой точке х~Е, то последовательность норм )))уи))) втих функционалов вгакже ограничена. Те о р ем а 1.
Если последовательность линейных функционалов )Ях)) сходится в себе в каждой точке банахова пространства Е, то сугцестеует линейный функционал у(х) такой, что у„(х) -+ г' (х) для любого х ЕЕ. Теорема 2. Для того чтобы последовательность )Я линейных функционалов сходилась в каждой точке х банахова пространства Е к функционалу )ь, необходимо и достаточно, чтобы 1. последовательность )))у'„))) была ограничена, 2. г„(х) — >га(х) для любого х из некоторого множества М~Е, линейные комбинации влсментов которого лежат всюду плотно в Е.
Теорема 3. Линейный функционал Уе, заданный иа линейном многообразии (., всюду плотном в линей- ч и ТЕОРЕМА ВАНАХА — ХАНА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ (тз ном нормированном пространстве Е, и ограниченный на нем, может быть продолжен на все пространство без увеличения нормы и притом однозначно. 5 И Теорема Банаха — Хана и ее следствия Нижеслелуюшая теорема показывает возможность продолжения на все пространство без увеличения нормы линейного функционала, заданного первоначально на линейном многообразии Ь линейного нормированного пространства Е. не обязательно всюду плотном в Е.
Теорема 4 (Банаха — Хана). Всякий линейный функционал у(х), определенный на линейном многообразии Е линейного нормированного пространства Е, можно продолжить на все пространство с сохранением нормы, т. е. можно построить линейный'функционал р(х), определенный на Е и такой, что 1) р(х)=г (х) для х ~ г., ~) !!р!<л= !!Лс Возьмем элемент хай и рассмотрим множество (й хо)= Е, элементов вида х+гхо, где хЕТ'., а г — любое вешественное число.
Очевидно, множество гч есть линейное многообразие. Докажем. что каждый его элемент олнозначно представим в виде х+ гхо. Допустим, что имеются лла представления элемента и Е ьб и = х, -+ 8,хо и и = хо+ 8тхо, причем г, + уз (в противном случае из х, + г,хо = хг+ г,хо получаем, что х, = хг, и представление единственно). Имеем х1 — хг — — (г — Ег) хо и х„= х,— х, Но это невозможно, так как хЯЕ, а х, и хо~(.. Итак.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
