Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Определим сложение этих операторов посредством формулы (А + В) х = Ах + Вх и умножение линейного оператора на число — посредством формулы (ХА) х = ХАх. Очевидно, что при таких определениях все необходимые аксиомы будут выполнены и рассматриваемое множество линейных операторов будет линейным пространством. В частности, нулем етого пространства будет такой оператор О, что для любого х~Е имеем Ох=О.
Определим в линейном пространстве операторов предел последовательности, полагая, мапример. что А„— «А, если для любого х ~Е» имеем 1!ш А„х = Ах. Л ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Мы рассмотрим более подробно это пространство несколько позже при некоторых дополнительных предположениях относительно пространств Е и Еж Кольцо линейных непрерывных операторов. Возьмем теперь некоторое линейное пространство Е и рассмотрим множество (Š— ь Е) всевозможных линейных непрерывных операторов, определенных на Е, с областью значений, расположенной в этом же пространстве. Как показано выше.
эти операторы образуют некоторое линейное пространство. Определим произведение операторов А и В из (Е-ьЕ) формулой (АВ) х = А (Вл). Легко видеть, что это снова линейный непрерывный оператор. По индукции определяется произведение любого числа операторов. В частности, пишут АА= Аз АзА=Аз и т. д. Легко видеть, что (АВ)С= А(ВС), что (А+В)С= = АС+ ВС, а также С (А+ В) = СА+ СВ и что существует единичный оператор 1, определяемый равенством 1х=х для любого х и такой, что А17= 1А = А для любого оператора А. Таким образом, множество (Е -ь Е) образует кольцо с единицей. причем некоммутативное, так как, вообще говора, АВ + ВА. Пример.
Пусть Е= С(0, 1). Рассмотрим операторы 1 у(г)= ~ (зх(з) Из=Ах и у(г)= гх(г)= Вх. е )28 (гл, ги ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Имеем АВх= ~ Геях(г) аз =1 ~ з'х(з) аж е О 1 1 ВАх= Г ~ Гах(з) ба = В ~ зх(з) аз. Таким образом, АВ чь ВА. Весьма важным является понятие обратного оператора. Согласно общему определению обратного элемента кольца линейный непрерывный оператор В называется левым обратным для линейного оператора А, если ВА =1. Точно так же линейный непрерывный оператор С называется правым обратным для оператора А, если АС=1. Если оператор А имеет левый обратный В и правый обратный С, то онн равны, так как В = В (АС) = (ВА) С = С.
В этом случае говорят, что оператор А имеет обратный оиератор, который обозначают А . Таким образом, если А существует, то АА = А А =1. К понятию обратного оператора мы вернемся снова несколько позже. Функция оператора. Опер" гор А"=АА... А » р»з представляет собой простейший пример функции от оператора.
Эта функция от оператора есть частный случай более общей функции, а именно многочлена от оператора р» (А) = ае1+ а, А+ аз А'+ ..+ а»А». Определение функций от оператора 1(А), более сложных, чем многочлены, может быть осуществлено различными способами. Пусть, например, Е есть л-мерное евклидова пространство и Л вЂ” оператор, отображающий Е в себя, заданный симметрической Патрнцей 11. Приведем матрицу 2( к диагональному виду с помощью 120 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ % 0 унитарного преобразования и! ими ' л где Пусть теперь у (т) — произвольная функция вещественной переменной й определенная на отрезке [и, М), где и ю!плат М юах А!.
Полагаем ! [у<л) о о ... о о у(лт) о ... о ! о о о ...у<л) у<я)-и-'у<л) и. Таким образом, каждой функции У(!) вещественной переменной т, определенной на отрезке [и, М), ставится в соответствие функция от матрицы у(й). Очевидно, что функции у <!) — 0 ставится в соответствие нулевая матрица, функции у (!)~1 ставится в соответствие единичная матрица и функции у (!) =(и — магри ца Е(и. Далее, если у и) л (и+ л и), У(~) Л (Н)+Л(Е(), то и если е(!)=Л(!)Л(!), то ~р(ц) Л(Е!)Л(Х). Эти равенства следуют нз того, что для двух любых матриц В и С имеем и <в+ с) и-' = иви-'+ иси-', и <вс) и-' = (иви-') (иси-'), и из того, ч то у(л) =Л <л)+Л(л), ч~(л) =Л(л)Л<л». Можно построить теорию функций от матриц н другим способом, переходя от многочленов от матриц к степенным рядам от масрицы.
Однако таким путем можно определить лишь аналитические ' функции от матриц. Глубокие исследования в этом направлении были проведены А. И. Лаппо-Данилевским, который применил затем аналитические функции от матрац к изучению систем дифференциальных уравнений [!9[. Построение жз функций от -! )г, О 0...0 О А О ... О О О О ... Е„ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1гл. Ен матриц с помощью приведения матрицы к диагональяому виду было обобщена на случай бесконечных матриц, а затем и на произвольные самосопряжеиные операторы в гильбертовом пространстве в спектральной теории этих операторов (см. б 5 гл.
Ч!!). В качестве второго примера рассмотрим функции от опера- В тора дифференцирования. Пусть Е С[0, Ц и 1) = — — опера- Ж тор дифференцирования, относящий непрерывно дифференцируемой функции х (Г) производную этой функции Рх (1) — х (Г). ~й Для и-кратно непрерывно диффзренцируемых функций имеют смысл выражения ,(» (!) (и» (Г) р„(0)»(Г) апх(1)+а1 — „+ ... +ап ! где р„(з) — любой многочлен и-й степени от аргумента з. Для не- огранйчеино дифференцируемых функций имеет смысл выражение ~ а„о"х (1) ~~~ ап п з и з если только ряд, стоящий в правой части равенства, сходится н его сумма принадлежит С[0, Ц. В частности, это будет иметь место, если х (1) есть многочлеи степени и, так как тогда Оп»(г) 0 для и > и и ряд обращается в конечную сумму. Многочлены от оператора дифференцировании находят при- менение в теории линейных дифференциальных уравнений.
Про- стейшим иэ зтих применений является так называемый символи- ческий метод решения уравнений с постоянными козффициентачи. Более глубокие применения функций от оператора дифференциро- вания к линейным дифференциальным уравнениям — обыкновенным и в частных производных — содержатся в так называемом опера- ционном исчислении [1Ц, Формальные операции с рядами и полученными с помощью рядов функциями от оператора дифференцирования широко при- менялись в первой половине Х1Х века для получения некоторых формул в теории квадратур, интерполяции и т. д. Поясним сказан- ное примерами. Прежде всего заметим, что оператор йзрз ьз1)з дпрп у+А()+ — + — + ...
+ — + ... 2! 3! '" и! в применении к функции х (1), ноторую будем считать аналити- ческой, дает х (г + И). В самом деле, дз алпх(1) х(1)+Ах (1)+ — х'(1)+...+ — х!"1(1)+ ... х (1+ Л). линвныые опврлтовы Производя формальное обращение степенного ряда, найдем Лп ЛО-1п(у+Л„) = '«'( — П"-' ". а ' и=! Мы получили формулу Грегори, выражающую оператор дифференцирования через оператор взятия разности. Рассмотрим далее оперзторы ух(1)= ~ х(1+т)бт и Вх(Г) ) с!х(С+т!), л где ~Ч~~~ с! 1. Нетрудно убедиться в том, что операторы У и 8 к=! можно представить как функции от оператора О. Именно то е о у=/е Фт= —, О о 5=~~) с;е ' . Отсюда Но хео' е* — 1 является производящей функцией для многочленов Бернулли: хео' м! л" — = ~ — Ва(о). кт — 1 2я Л! Поэтому, если мы обозначим через Ьа оператор взятия разности с шагом Л, бах (1) = х (1 + Л) — х (1), то а х (Ф) = х (1+ Л) = х (1) + Ьах (1) (У+ Ьа) х (т), или /+ба =е ЛННЕЙ1!ЫЕ ОПЕРАТОРЫ (ГЛ.
Пг Мовтону предыдущая формула примет вид с-~ с)з с-в с[с-Х'„(» — 'в,с„!)] 1л'( з! а о л .о ъч ьч 0" — у ~„с1 л — Вз(т,) лзл Л! с ибо сгВв (т1) лв сс й со1 Так как 1 У(()ах(()! / х(м (г+т) сгт х!з '1(!+1) — х!" '! (>), о то мы приходим к обобщенной формуле Эйлера — Маклорена: х (г+ т) ст'т У с;х (1+ тй— о 1 ! со (' л — Л(З',,~в' *'~! '-~сч-с! — *'- вл. а! Зо! 1о! В частности, при ! = 0 получаем х (т) с(т о л со Г л =~'сх(') — У ~'~ с "" (х!а-!)(()-х!з-!!(О)ф — ( 1 с=! Зо! 11 Приведенный вывод формул Грегори и Эйлера — Маклорена может считаться обоснованным, если функция х (Г), к которой прилагаются зги формулы, является многочленом. В етом случае бесконечные ряды превращаются в конечные суммы, и все формальные преобразования, проделанные нами, язляютгя законники.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
