Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Таким образом, формула (12) при произвольной фиксированной функции а(Е)~/. ]О, 1] дает общий вид линейнего функционала, определенного на /р(0, 1]. Нетрудно найти норму етого линейного функционала. Из (12) имеем ! ]/(х)] = ] х(/)а(/) !1/ ь ]е ! ! ! / 1 / ' '!е /' <~ ~ ]х(/) ~ !(/) ~ ~ ]а(/)] а!/~ =~ ~ ]а(/)] и~ ]]х]]. о а е Следовательно, ! / 1 ]]/]] < ~ / ] а (/) ] !1/) 0 (13) $2! овщии.внд линвиных екнкцнонллов 193 при лг -+ со. С другой стороны, /(х )-ь/(х). Но тогда получаем, что 1гл.
гч линвиныв еьнкционллы Сопоставляя (13) и (11). заключаем, что ! / 1 ~(/)(= ~ 1 ) а(Г) 1е с(Г) о Часто рассматривают пространство С [О, Ц функций, суммируемых по Лебегу, в котором ~~х'а= ~ 1х(1)~ с(1. о Общий внд линейных функционалов. определенных на Е (О, Ц. дается формулой ! у(х)= ~ х(г)а(г)п'Г.
о где а(Е) — почти всюду ограниченная функция и (! у 11 = чга1 !пах ~ а (Г) ~. 1О, П Общий вид линейных функционалов в гильбертовом пространстве. В гильбертовом пространстве Н рассмотрим линейный функционал у (х). Так как Н вЂ” комплексное линейное пространство, естественно предполагать, что у (х) может принимать комплексные значения. При этом комплексный функционал называется линейным, если он аддитивен, однороден и непрерывен (отметим, что для комплексных функционалов эти три условия независимы).
Пусть у (х) — произвольный линейный функционал, определенный в гильбертовом пространстве Н. Обозначим через Ь множество нулей этого функционала, т, е. совокупность элементов х ~ Н таких, что г(х)= О. Легко видеть, что !.— подпространство. В самом деле, то, что !. — линейное многообразие, следует из аддитивности и однородности функционала Г"(х), а из непрерывности у'(х) следует замкнутость !.. Возьмем произвольный элемент пространства Н, не принадлежащий Е, и обозначим через хе проекцию этого элемента на подпространство Н вЂ” !.. Пусть у (ха) = а, причем, ха х~ =— а Тогда ~(х,) =1. Если теперь х — любой элемент пространства Н и у(х) =и~ то мы имеем у' (х) — Р/ (х,) = 0 нли у (х — 13х,) = О, откуда х — рх,=х, где я~ь.
нли х=рх,+х. Это равенство показывает, что пространство Н есть ортогональная сумма подпространства б н одномерного надпространства, порожденного элементом хн Так как х, ) х. то мы имеем (х. х,)=р'й х,~~а. или, так как 13=)'(х), У(~) =(х — 1Р ) ° Обозначив элемент — ' через и, мы получаем равенство Цх, Ц' /(х)=(х, и), (14) т. е.
выражение произвольного линейного функционала /(х) в виде скалярного произведения элемента х на фиксирован- ный элемент и. Элемент и определяется по функционалу у однозначно, ибо если также у(х)=(х, о). (х, и — о)=О то лля любого х~Н. откуда следует, что и=о. Далее из равенства (14) получаем 1у(х)~ = 1(х, и)~ ~(~~х()~~и ~(, % а1 овщип вид линвиных окнкцнонллов 195 очевидно. а+ О. Положим 1гл. ш ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ откуда следует, что [Я < [[и[[. Так как, с другой стороны, ,1(и)=(и, и)= [[и[[я, то отсюда следует, что [[у[! не может быть меньше, чем [[и[[.
Итак, [[~[[=[[и[[. и мы получили следующую теорему: всякий линейный функционал у(х), определенный в гильбертовом пространстве, имеет вид у (х) = (х, и), где влемент и однозначно определяется функционалом г". При етом [[Я= [[и [[. (15) Легко видеть. что и, обратно, при любом иЕН соотношение (!4) определяет линейный функционал г'(х) с нормой (15), Таким образом. формула (14) дает общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве.
ф 3. Сопряженные пространства н сопряженные операторы Как уже было указано, совокупность всех линейных функционалов у'(х), определенных на линейном нормированном пространстве Е, образует банахово пространство Е', называемое пространством, сопряженным с пространством -Е. Пользуясь общим видом линейных функционалов, в некоторых случаях можно указать реализацию пространства Е* с точностью до изоморфизма.
1. Пусть Е = С [О, 1[. Рассмотрим множество функций й(1) с ограниченным изменением, определенных на [О, 1[ и обращающихся в нуль в точке с=О. Будем считать, что в точках разрыва т д(т) = и(т — 0). Очевидно. зто множество есть линейное пространство при обычном определении операции сложения. двух функций и умножения функции на вещественное число.
Введем норму для функций с ограниченным 19У а 31 СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 изменением. полагая [[и[[= Ч [д.]. Нетрудно видеть, что все о аксиомы нормы выполняются. Полученное линейное нормированное пространство называется пространством [г функций с ограниченным изменением. Рассмотрим, с другой стороны, пространство Е'=С* [О, 1] всех линейных функционалов. определенных на С[0, 1]. Как доказано выше. каждый линейный функционал у ц С' [О, 1] определяет однозначно некоторую функцию й'(Ф), у(О)=0, с ограниченным изменением и, обратно, каждой функции К(1), К (0) = О,с ограниченным изменением сооответствует функционал ) ц С*[0, 1]. Поэтому между множеством всех линейных функционалов из С'[О, 1] и множеством всех элементов пространства функций с ограниченным изменением существует взаимь о однозначное соответствие.
Так как очевидно, что сумме функционалов /1 +уг отвечает сумма иь + дг соотпетствующих функций и функционалу Ху соответствует функция ).д'(1), то соответствие между С*[0, 1] и пространством функций с ограниченным изменением есть изоморфизм. Так 1 как, далее, [[у[[= Ч [д] =[[у[[, то это соответствие будет о также изометрическим.
С точки зрения многих вопросов функционального анализа эти два пространства неразличимы; поэтому часто говорят, что пространство, сопряженное с пространством непрерывных функций, есть пространство функций с ограниченным изменением. 2. Пусть Е = 1. [О, 1]. Рассмотрим, кроме того, пространство 1. [О, 1], где ь! = †. Так как каждому функ- 1 е р — 1' ционалу / ~ Ьр [О, 1] однозначно соответствует функция п(Г)с !а[0, 1] и обратно. то межлу пространствами Ьр[0, 1] н Ь [О, 1] устанавливается взаимно однозначное соответствие. Как и раньше.
убеждаемся в том, что это соответствие изоморфно и изометрично, т. е. Ар[0, 1]= се[0, 1], понимая это равенство с точностью до изометрии и ивоморфизма, В частности. Яри р=2 имеем !о[0, 1] =11[0, !]. Поэтому нв ЛИНЕИНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 1гл. 1У пространство Е [О, Ц называется самосоаряженнмм простт ранс твом. Ф 3. Легко видеть, что [р —— [о и, в частности, 11=1; В Э 4 гл. П1, стр. 147 мы видели, что пространство, сопряженное с линейным нормированным, не обязательно полным пространством, есть банахово, т. е. полное линейное нормированное пространство.
Так как Ер[0. 1[ есть пространство, сопряженное с Е [О, 1[, — + — =1. и 1 — со- 1 1 о ' ' Р <7 ' Р пряженное с 1. то как следствие из 2 и 3 мы получаем новое доказательство полноты пространств Ер[0, 1[ и (р. 4. Линейный функционал в гильбертовом пространстве порождается элементом того же пространства.
Гильбертово пространство является самосопряженным. По той же причине и и-мерное евклидово пространство является самосопрян<енным. Рефлексивные пространства. Пусть Š— линейное нормированное пространство и Е* — сопряженное пространство. Так как Е' также линейное нормированное пространство, то можно построить Е**=(Е*)' и т. д. Рассмотрим подробнее Е . Это — пространство линейных функционалов Е, определенных на пространстве Е', элементами которого являются линейные функционалы. определенные на Е.
Рассмотрим линейный функционал г'(х). опрелеленный на Е. Здесь функционал / фиксирован, а х — переменный элемент из Е. Подойдем к выражению 7'(х) с другой точки зрения. Будем считать, что х ~ Š— фиксированный элемент. а г'— переменный элемент из Е'. Например, пусть 1 7'(х) = [ х И) (а И). о ФИКСИРУЯ Аг(~) И МЕНЯЯ Х(Е), ПОЛУЧаЕМ ПЕРВЫЙ СЛУЧай; фнксируя хИ) и меняя д(1). получаем второй. При фиксированном х и переменном 7' каждому элементу г цЕ' ставится в соответствие некоторое вещественное число. следовательно, выражение 7 (х) при фиксированном х и пеРеменном 7' можно РассматРивать как фУнкционал Рр, опРеделенный на пространстве Е'. Поэтому можно написать 7'(х) = Р,Щ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
