Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Лу" есть такой линейный функционал ф на Е. что ф (х) = ЛУ (х). Понятие сопряженного оператора А* к оператору А из (Е-+Е) переносится и на случай комплексных пространств: А' есть оператор из (Е'-РЕ') такой, что (Ах, г)=(х, А'У') при любых х ~Е и ~~Е'. 212 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 1гл. Еч Все свойства сопряженных операторов переносятся непосредственно на комплексный . случай с одним изменением: теорема об ортогональности собственных элементов хь и /з операторов А и А', где Ахе = )"эхе А Уе = роУе имеет место, если Ларрь. В 4. Слабая сходимость последовательностей функционалов и элементов Пусть Š— линейное нормированное пространство.

Последовательность [Я линейных функционалов из Ь" называется слабо сходящейся к линейному функционалу )з~ Е', если ~„(х)-«Уе(х) для любого х~Е. Таким образом, для линейных функционалов понятие слабой сходимости совпадает с понятием точечной сходимости операторов. В терминах слабой сходимости теоремы 1 и 2 из начала этой главы могут быть сформулированы так: Теорема !. Последовательность линейных функционалое [Я, слабо сходящаяся е себе. слабо сходится к некоторому линейному функционалу )е.

Т е о р е м а 2. Для того чтобы последовательность [Я линейных функционалов слабо сходилась к линейному функционалу Уе, необходимо и достаточно, чтобы !) последовательность [[1У„[[[ была ограничена; 2) У„(х) — «~з(х) для любого х иэ некоторого множества М, линейные комбинации елемектое которого лежагп всюду плотно е Е. Отметим еше, что из теоремы ! вытекает слабая полнота пространства Е'. сопряженного к банахову пространству Е. Применение к теории квадратурных формул [13[.

Рассмотрим в пространстве С[0, Ц функционал у(х) = / х(г) «о (г), е слАБАя сходнмость 21З тле о(!) — некоторая неубывающая функция. Наряду с /(х) рассмотрим последовательность функционалов вв /„(х) = ~~ с!"зх(гзв!), л = 1, 2, ..., в=! где с!ли! выбраны так, что /(х) и /„(х) совпадают для всех много- членов степени. не превосходящей и: /(х) =/в(х), если х(г) ~ч', а е. р=е Построенные таким образом функционалы /„ применяются для приближенного вычисления функционала /.

Приближенное равенство / (х) т /„(х), являющееся точным для всех многочлепов степени ~ и, называется квадратуркой формулои. Пусть мы имеем последовательность квадратурных формул /(х) т /„(х), и = 1, 2, ... Естественно поставить вопрос: будет ли последовательность выражений /„(х) при и -асс сходиться к значению / (х) для произвольной функции х(!)СС(0,!).

Другими словами, будет ли последовательйость функционалов (/„) слабо сходиться к функционалу /. Теорема 3. Для того чтобы имела место сходимость иоследовательности квадратурных формул, т. е. чтобы вл ! !зпз ~ч, с'„юх(6л"'~= ~ х(г) до(г) л в=! е для любой непрерывной функции х(г), необходимо и достаточно, чтобы вч чз ~ с~" ~ ~(К= сопя! а=! для всех зь По определению функционалов /„мы имеем, что для всякого многочлеиа х(!) степени л /т (х) /(х) при т > и. Далее, очевидно, !) /„!! = ~ ! с(лю ~ ж: К. а=! 214 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. 1У Таким образом, последовательность функционалов (ув) сходится к функционалу у иа множестве всех многочленов, всюду плотном в пространстве С (О, 1), н нормы функционалов ув ограничены.

Но тогда доказываемая теорема непосредственно следует из теоремы 2 настоящего параграфа. Теорема В. А. Стеклова. Если все коэффициенты с1ьл1 квадратурных формул положительны, то последовательность квадратуряых формул У(х) т Ул (х), и =1, 2, ..., сходится для любой непрерывной функции х(Г). В самом деле, для любого и н хо (Г) =1 имеем Э в (хо) = у (хо) Поэтому «л в„ 1 '5 ) с!в"') = '~~~ сгь"1 — — ~' до= в(1) — о(0), ь=! В=1 о и мы находимся в условиях применимости предыдущей теоремы. Слабая сходнмость элементов пространства. Введем теперь понятие о слабой сходимости элементов линейного нормированного пространства. Пусть Š— линейное нормированное пространство, (х„)— последовательность элементов из Е и хо в элемент того же пространства.

Если для любого линейного функционала у ~ Е* будет У (х„) †«,У(хо) при и -« со, то говорят, что последовательность (х„) слабо сходится к влемекту ха, и пишут ол х„— «х. Говорят также, что хо есть слабый предел последовательности элементов (х„). Покажем, что одна и та же последовательность ие может слабо сходиться к двум разным пределам. Допустим, что х„— "-«хо н х„— "-~Эв, т. е.

для любого линейного функционала у ~ Е* у (х„) -«г (хв) и у (х„) -«у ($ ). Следовательно, / (хо) = у(эв) или /(хв — йа) = О, откуда следует, что, хо=$в. Легко видеть, что если х„— '".«ха, то и любая подпоследовательность (х„) слабо сходится к хв. Сходимость вел 215 сллзля сходимость по норме в данном пространстве будем теперь называть сильной сходимостью. Очевидно.

что из сильной сходимости последовательности )х„) к элементу хь следует слабая сходимость этой последовательности к тому же элементу. Обратное утверждение неверно. Последовательность мозгует слабо сходиться к некоторому элементу, но не сходится к нему сильно. Например, рассмотрим в Ц [О, 1] последовательность элементов [з!и илГ). Вводя обозначение х„(Г) = з!п ипЕ имеем для любого линейного функционала ! (х„) = ) з! и ипГ и (!) йг.

о где п(Г) — функция с суммируемым квадратом, однозначно определяемая по функционалу Г". Очевидно, у(х„) есть и-й коэффициент Фурье функции а(!) по системе )з!пипГ). Следовательно, у (х») — «О при и — «со. Отсюда вытекает, что х„— '»-» О при и -«со.

С другой стороны, легко видеть, что )х„) не сходится силыю. В самом деле. 1 ))х„— хт))'= ~ [з!пинг — з!поги(]тбГ=1. о Однако имеет место Теорем а 4. В нонечномерном пространстве сильная сходамость совпадает со слабой. Достаточно доказать, что в конечномерном пространстве из слабой сходимости последовательности к некоторому элементу вытекает сильная сходимость ее к тому же элементу.

Пусть Š— конечномерное пространство и пусть дана последовательность )х„), х„ †"-«хе. Так как Е конечномерно, то существует конечная система линейно независимых элементов ео ем ..., е» такая, что всякий элемент х ~ Е может быть представлен в виде х = З,е, + $зез + ... + $»е», где $, — вещественные числа. Пусть х — ~!»!е [ $т)е + +1!»!е хе «! е1+ьз ез+ ''' +ь» е» 216 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [гл. [ч Рассмотрим функционал 7! Е Е' такой, что . у! (е,) = 1, 7" (е )= О для /+ Е Имеем 7 [х)=1(«з и Л(х)=Ь(а! [=1, 2, ..., й. Но так как 7(х„) — «7'(хе) для любого линейного функционала г", то и 7'((х„)-«7((хе), т. е.

~(т «жо! [ 1 2 д Но в конечномерном пространстве покоординатная сходнмость влечет за собой сходнмосгь по норме. Следовательно, х„ -+хе сильно. Существуют и бесконечномерные пространства, в которых сильная и слабая сходимости совпадают. Таково, например, пространство [ последовательностей Д(, Эг, ..., эь. ° ° ° ) таких, что ряд ~ ) э„~ сходится. и=! М. И. Калеку принадлежит следующий интересный результат: Если пространство Е сенарабельно, то в нем можно ввести такую эквивалентную норму, что в новой норме иэ слабой сь слодимости х„— «хь и [(х„[[ -«([хь[[ следует сильная сходимость последовательности (х„) к х . Теорема 5. Если последовательность [х„] слабо сходится к хе, то существует последовательность Ьь ь«бишь[а;),дч ь=! ся к хе.

Иными словами, хе принадлежит замкнутому линейному многообразию, порожденному элементами хп хг, .... х„, ... Предположим противное, т. е. что хе не принадлежит замкнутому линейному многообразию Е, порожденному элементами х,, х,, ..., х„, ... Тогда по второму следствию из теоремы Банаха — Хана (стр. 177) существует линейный функционал 7 ~ Е* такой, что 7'(хе) = 1, 7 (х„) = О для и = — 1, 2, ... Но это означает, что у(х„)-ра 7'(хе), что ротиворечит условию х„— '«хе.

Теорема 6. Пусть А — линейныи ограниченный оператор, определенный на линейном нормированном пространстве Е„, с областью значений. расположенной. в линейном нормированном пространстве Е„.' 217 слльля сходпмость Если последовательность )хь) с= Е слабо сходится к ха~ Е, то последовательность )Ахь) с Е слабо сходится к Ахос Е». Возьмем любой функционал гр ~ Е, Тогда ф (Ах„) = у (хь), где 7 Е Е . Аналогично гр (Ах„) = » (х ). Так как х„-'-'-ьхе, то Г (х„) — ь 7' (хь), т. е.

ф (Ах„) — ь ф (А хо). Поскольку ф — произвольный функционал из Е, то Ах„— "".ь Ах„. Таким образом, всякий линейный ограниченный оператор является не только сильно, но и слабо непрерывным. '1'е о р ем а 7. Ес ьи последовательность )х„) слабо сходится к хз, то нормы элементов этой последовательности ограничены. Будем рассматривать элементы х„, и = 1, 2, ..., как элементы пространства Е'*.

Тогда слабая сходимость последовательности )х„] к элементу хе означает, что последовательность функционалов )х„) с= Е** сходится к функционалу хь~ Е** для всех элементов У Е Е*. Но тогда в силу теоремы Банаха — Штейнхауса последовательность норм )))х,))1 ограничена, что и требовалось доказать. Замечание. Если хь есть слабый предел последовательности [х„), то )) хв!) ~ (пп !) хл!) ' О причем существование конечного нижнего предела выте- «ает иэ предыдущей теоремы.

218 линеиныв егнкционллы 1гл. ьт В самом деле, допустим. что !!хе!! ) 11щ !!х„!!. и Тогда существует число с такое, что !!хе!!) с)!пп!!х„!!. и Следовательно, найдется такая последовательность 1х„,), что !!хе!!) с) )!х„,1!. Построим линейный функционал ге такой. что Щ!=1, Уо(хе)=!!хо!!) с. Тогда для всех Р. Следовательно, Уо(хл)тл Уо(хо) что противоречит условию. что х„ †'"-«хе. Возможны случаи.

когда осуществляется строгое неравенство !!хе!! С1ип !!х,!!, как вто видно нз следующего примера. В пространстве (т (О, 1! рассмотрим функции х„(Г)= ~/2 а1плпГ. Имеем !! х„!! = 1, так что и ! ип !! х„!! = 1. л С другой стороны, для любого линейного функционала у получаем 1 у'(х„)= р'2 ~ аЯа1плпсг(Г= у' 2 с„, е сллвля сходимость 219 где с„— коэффициенты Фурье функции а11) ЕАт10, Ц.

Таким образом, г (х„)-«О при и-«со для любого линейного функционала у'. т. е. х„— '-'-«О. Следовательно. хе=О и )1 хе 11 = 0 < 1 = 11т 11 х„11. Т е о р е м а 8. Для того чтобы последовательность (х„) слабо сходилась к х, необходимо и достаточно, чтобы !) последовательность (~)х„11) была ограничена; 2) у(х„) — «у(хе) для любого г" из некоторого множества Г линейных функционалов, линейные комбинации злементов которого лежат всюду плотно в Е'. Эта теорема представляет собой частный случай теоремы 2 настоящего параграфа. Чтобы убедиться в этом, следует только заметить, что слабая сходимость последовательности (х„) с= Е к элементу хэ Е Е, очевидно, равносильна слабой сходимости этой же последовательности, но рассматриваемой как последовательность линейных функционалов, определенных на Е*, к хе, также рассматриваемому как линейный функционал на Е*.

Слабая сходнмость в конкретных пространствах. Слабая сходимость в Теорема 9. Для того чтобы последовательность 1х„) влементов х„=(Цт) из 1„слабо сходилась к хе=($<9~) Е1, необходимо и достаточно, чтобы 1) последовательность 111х„~() была ограничена; 2) ЦЮ-«$Я при п-«оо для всех 1 (вообиье говоря. неравномерно).

Для доказательства заметим, что линейные комбинации элементов Л= 10, О, ..., О, 1, О, ...), 1=1, 2, ..., лежат « всюду плотно в 1е=1р. Поэтому в силу общего критерия. для того чтобы х„— '-'«хь, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось первое условие и чтобы г гх ) цп) «г (») ~(О) для любого 1, Можно сказать, таким образом, что слабая сходимость в 1 означает сходимость по координатам в соединении с ограниченностью норм.

Характеристики

Список файлов книги