Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Но множество >Т>'= (х[ ограничено и, следовательно, компактно в Е„зи Поэтому множество >»' = (х„(~)[ компактно в С [О, 1[. Йтак, для любого е ) 0 можно построить компактную е-сеть для К. Но тогда в силу полноты С [О, 1[ и следствия 1 теоремы 3 прелыдушего параграфа К компактно. Доказанная теорема допускает обобщение на случай отображений компактных множеств в компакты. Пусть даны два метрических пространства Х и У и мно>кество Р отображений у пространства Х в пространство У.
Отображение у' ~ Р называется ограниченным, если для любого х с Х р(У(х), О) ~(сР где Π— некоторый фиксированный элемент пространства У и су — константа, зависящая, вообще говоря, от отображения г'. Отобра>кение у~Р называется разномерно нспрс)тызным, если для любого е) 0 найдется Ь) 0 такое, что р(г (х>), г" (хг«) ( е для двух любых точек х, и хг пространства Х таких. что р(х,, х,)(Ь Пусть М(Х, У) — множество всех ограниченных отображений пространства Х в пространство «'. Превратим М(Х, У) в метрическое пространство, положив р(у, >в) =вирр(г(х), >р(х)). хях Легко проверить, что все аксиомы метрики выполняются. Сходимость в пространстве М(Х, У) есть равномерная на Х сходимость последовательности отображений (у', (х)(г= М(Х, У) к отображению у'(х)С М(Х, «'). Если У вЂ” полное пространство, то М(Х, У) также полное пространство.
В самом деле, если р(У„. У ) — ь О, когда п и пг -ь со, то для любого е ) 0 найдется номер п,(е) такой, что р(/'„(х), г,„(х)).(е кОмпАктные множества 1гл. ч при и, т)~па(е) и сразу для всех хЕХ. Фиксируем х ~Х. В силу полноты пространства У последовательн гь (ул(х)), сходящаяся в себе, сходится к некоторому элементу у ~ У. Полагая у'(х) = у =1нп у'„(х), л мы получаем некоторое отображение пространства Х в пространство У.
Переходя в неравенстве (1) к пределу при т -+ Оо, получим, что р(у„(х), у (х)) < е при п)~па(е) и сразу лля всех хЕХ, откуда следует, что у~ М(Х, У) и что у„(х) — ьу'(х) равномерно на Х. Обозначим через С (Х, У) множество всех равномерно непрерывных отображений из М(Х, У). Легко убедиться, что предел равномерно сходящейся последовательности равномерно непрерывных отображений есть также равномерно непрерывное отображение, откуда вытекает, что множество С(Х, У) замкнуто в пространстве М(Х, У). Введем, наконец, еще одно определение.
Отображения У. входящие в некоторое семейство Я~С(Х, У), называются раеностепенно непрерывными, если для любого е ) О найдется Ь ) О, зависящее лишь от е, такое, что р (у (х,). у (х,) ) < е при Р(хн хг) < б сразу лля всех уЕ Я и независимо от выбора точек х, и ха~ Х. Теорема 2. Для того чтобы из семейства () непрерывных отображений компактного множестеа Х е компакт У можно было выделить равномерно сходящуюся последовательность, необходимо и достаточно, чтобы отображения семейства 9 были равно- степенно непрерывны. Мы докажем лишь достаточность сформулированного условия. Прежле всего аамечаем, что У как компакт есть ограниченное множество, и, следовательно, все отображения семейства (С равномерно ограничены.
КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ 24! Поэтому Яг"С(Х, )'). Так как С(Х, У) замкнуто в М (Х, У), то для доказательства компактности Я в С(Х, У) достаточно установить его компактность в М(Х, У). Для произвольного е ) О выберем Ь ) О так, чтобы р (г (хг) г (хг) ) ~ 2 (2) при р(х,, хя) (Ь сразу лля всех у'ЕЯ, что возможно в силу равностепенной непрерывности отображений. Возьмем затем 6 конечнУю — сеть хн хи ..., хл в множестве Х.
Введем множества Х,=В( „— ,') ЦЗ~, 9. )Ф~ Эти множества не пересекаются, дают в сумме все Х, и диаметр каждого Х, не превосходит Ь. Пусть, далее, уи е уз, ..., у„есть — -сеть для компакта У. Рассмотрим всевозможные функции л'(х) ~ М (Х, У), принимающие на множествах Х, постоянные значения у . Эти функции образуют конечную е-сеть для множества Я.
В самом деле, возьмем любое отображение у ~ Я. Для произвольного х ~ Х и любой л (х) имеем р(у(х), д(х)) ~(р(у(х), у(х;))+ + Р (У' (х,), е (х;) ) + Р (л (хг), Ь' (х) ), где х, выбрано так, что х ~Х,. Поэтому, в силу (2) и так как х и хг принадлежат одному и тому же Х,, р(У(х). У(х;))( —, р(л(л), д(хг))=-О, откуда рУ(х) К(х))( —,+р(г(х) К(;)). Выберем теперь л(х) так, чтобы л'(хг)=у. удовлетворяло неравенству р(у(х,), уу) ( —, Тогда для любого х Е Х р(у(х), Аг(х)) ( е КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 1гл, ч и, следовательно, р(Г, и)=вирр(г'(х), и(х)) ~(е, Как подмножество полного метрического пространства >ч[ (Х, У), имеющее конечную е-сеть, множество Я ком- пактно, и теорема доказана. Критерии компактности в кр [О, 1[. Пусть х (1) ~ Лр [О, 1[. Продолжим функцию х(1) за пределы отрезка [О, 1[, йолагая х(1) = О, если 1 лежит вне этого отрезка.
Тогда для любого отрезка [а, Ь[ числовой осн интегралы в в / [х(1)[й1 и [ [х(1) [ей1 е а имеют смысл. Признак компактности в се[О, 1[ (теорема М. Рисса). Для того чтобы семейство функций К[к(1)[(ге[0! было компактно, необходимо и достаточно, чтобы функции семейства были равномерно ограничена по норме и равностепенно непрерывны в среднем, и!. е. чтобы ! 1. ~[х(1)[ д1 <с', о ! 2. ~ [ х (1 + 1>) — х (1) [с >>1 с.
Ее и ри О < й с, Ь (е) сразу о для всех функций семейства. Необходимость. Необходимость условия 1 очевидна. Докажем выполнение условия 2. Так как К вЂ” компактное множество, то прн любом е > 0 для этого множества суще- ствует конечная — сеть х,(1), хз(1), ..., х„(1). Так как каждая функция из !'.р[О, 1[ непрерывна в среднем, то для любого 1 найдется Ь, такое, что ! / [ х (1+ й) х (1) [ й1 ( ( ) о КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ при О < Ь < Ьп Пусть Ь=т1пЬ,. Тогда ~ ! 1(~+~) "1(~И ~~<(З) о при О < Ь < 6 и для всех 1=1. 2, ..., и.
Возьмем произвольную функцию х (1) ~ К. Найдется функция х1(1) такая, что 1 / ) х(1) — х1(1)1яг(г' < ® о Имеем при О < Ь <О < 1 1 / )х(1+Ь) — х(1)~ г(1~ < о 1 1 < / 1х (1+ Ь) — х1(1+ Ь) 1Р 111 + 1О 1 1 1 1 /л 1Р ~ !х,(1+Ь) — х,(1)~ й( +~ ~ ~х,(1) — х(1)~ л11) < ~о о 1 1 < ~~х(1+ ) — х1(1+Ю + — ',.'. о Но 1 ! х (1+ Ь) — х, (1+ Ь) ~ Р Ш = / ! х (а) — х, (г) 1Р 11г ~( о а 1 </! () —,(и'~.<®' о (здесь мы воспользовались тем, что х(1) и х,(г) равны нулю вне (О, 11).
Из последних двух неравенств следует, что 1 < 1 ~ ~ х (1+ Ь) — х (1) )Р Л ) < е о 244 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. Ч при 0 < й <Ь, и так как х(т) — любая функция из К, то необколимость условия 2 показана. Достаточность. Рассмотрим срелние функции Стеклова ха (!) = — ! х (т) 1(т. ! 2Л,I Имеем ~ха(Г)) = — / х(т)1!т < ! 1 1 с '„~ ( «.) ( ( ~*<1~'е ~ < 1 г ! < (~! ) л ( ~ ! х (т) !л 1(т (3) о и ы и~о !+А !хл(!+ и) — хь(!)~ = — / х(т)с(т — / х(т)с(т = 1 1+и-О 1-А 1ЧВ !чо ! — О-'; 1~ — ! (+ 1-И 1-О 1+А < — ~ (х(т+ и) — х(т)! 1(т ~ ! 1-Л 1Ч» 1 ! —,!' <( —,„)'~ у'~ (+ ) — (и' ) < 1 1 ! -)'л ~<(2Л) ~/ !х(т+и) — х(т)!Е1(т) .
(4) о Из условий 1 и 2 и неравенств (3) и (4) следует, что при фиксированном й функции семейства (ха(!)) для х(!) Е К равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. Сле- 245 КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ довательно. семейство (ха(с)) компактно в смысле равномерной сходимости, а тем более в смысле сходимости в среднем с показателем р. С другой стороны, 1х(г) — х„(сИ ( — „ / 1х(г) — х(т)) с(т= 1 1-6 А 21 / !х(Г)х(1+т)!т< -А 1 ~(( — ) / !х(г) — х(г'+т)~~с(с -А Отсюда 1 л ,/ 1 10 — *,1ргл< —,„1 ! 1*1А — г-ь11'К ~л= о О -А А А Л~ ° 1 ° г 2л,1 ~д — /1х(с) — х(с+т)!Рис бт ч. — е" 1 с!Т=еп, 2И ) й 1 так как (в силу условия 2) / 1х(1+т)-х(1) !Рис ч. ЕР, если о 1Т) ( б. '!Таким образом, семейство (ха(1)) образует е-сеть для семейства К, и так как эта е-сеть компактна, то по следствию из теоремы Хаусдорфа компактно и само множество К. 11риведем без доказательства ен1е два критерия компактности множеств в пространстве Л (О, 1).
Теорема А. Н. !(олмогорова. Множество К~!. (О, 1! компактно тогда и толысо тогда, когда 11 нормы функции х (1) Е К ограничены а совокупности; 2) для любого е ) 0 найдется 6 ) 0 такое, что ,'(х — ха11 (е при и <6 сразу для всех функций х(с) ~К. КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА ьгл. ч Будем говорить, что семейство функций ььь = (х (1)) имеет равностепенно абсолютно непрерывные нормы, если для каждого е ) О можно указать б ) О такое, что !! (1)Х (1)!! ( ° всякий раз, когда <пезЕ(Ь (здесь уе(1) — характеристическая функция множества Е).
Теорема М. А. Крас носельского [!6). Пусть семейство К<=А [О. П имеет равностепенно абсолютно непрерывные нормы и компактно в смысле сходимости по мере. Тогда вто семейство компактно в смысле сходимости в среднем. Критерий компактности в пространстве <е. Рассмотрим совокупность кривых (д), ваданных уравнениями х = х (1), у = у (1), я = я (1), О ( 1 ( 1, (5) где х (1), у (1) и е (1) — непрерывные функции параметра. Если заданы две кривые ь) и р, то. записав их уравнения в виде равенства (б), будем относить друг другу точки кривых, отвечающие одинаковым значениям параметра.
Пусть а — максимум расстояний между соответственными точками обеих кривых. Число а зависит от выбора параметрического представления ь<ривых. Будем считать расстояние р(<), р) равным точной нижней границе чисел <1 при всевозможных параметрических представлениях обеих кривых. Легко проверить, что введенное таким образом расстояние между кривыми удовлетворяет всем аксиомам метрики. Полученное пространство будем называть пространстволь Это пространство играет важную роль в варнационноьь исчислении. Можно доказать, что Я вЂ” полное пространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
