Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Следовае тельно, р(х', х„) > р(х', х) — р(х, х„) > р(х', х) — — > О, и потому Ч~ Ч~ ! ! Р (Х Х) р (Х Х ) ! > р (Х Хе) 2 > е е > р(х, х ) — — — — =р(х. х) — е. 2 2 Отсюда !!у — у !! > р(х. х ) — . (6) Так как е > Π— любое, то из (6) следует, что !!у — у'!!)~р(х, х'). (7) Сравнивая (5) и (7), получаем !! у — у' !! = р (х, х'). (8) Итак.
расстояние между точками х и х' в Х равно расстоянию между соответствуюшими точками у и у' в ле, и, следовательно, пространство Х изометрично некоторой части б пространства ле, Очевидно, эта часть пространства ш сенарабельна. КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА !Гл. ч Пусть Š— подпространство пространства т, порожденное элементами множества Л. Тогда Е есть некоторое сепарабельное пространство типа В. Х изометрично части этого пространства, и теорема доказана. Теорема 3 [Ба паха — Мазура). Всякое метрическое сепарабельное пространство изозгетрично некоторой части пространства С[0, 1].
Доказательство непосредственно следует из теорем 1 и 2. Приведем в заключение еще одно свойство универсальности пространства С [О, 1] в несколько ином смысле. М. Г. Крейн в связи с некоторыми вопросами теории моментов и теории линейных интегральных уравнений построил теорию конусов в пространствах Банаха [18]. Конусом в пространстве Е называется замкнутое выпуклое множество К<=В, обладающее тем свойством, что если хЕК(хчь0), то ЛхЕК прн Л)~0 и ЛхмК при Л<0, и если х, у ~ К, то х+ у ЕК. Конус называется нормальным, если для любых двух элементов х, усК с ]]х])=)[У][=1 имеет место ([х+ у (! ) Ь, где Ь вЂ” фиксированное полоькительное число. Например, совокупность неотрицательных функций из пространства С [О, 1] образует в нем нормальный конус.
Имеет место следующая Теорел|а 4 (М. Г. Крейна [17]), Если К вЂ” портальный конус сепарабельного пространства Е, то существует взаимно однозначное линейное отображение пространства Е в надпространство пространства С[0, 1], пра копгорозь элементы из К и только они переходят в неотрицательные функции. Если Е не сепарабельно, то имеет место аналогичная теорема с заменой С[0, 1] на пространство СЯ) непрерывных функций на некотором бнкомпакте СС. ГЛАВА т71 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Я !. Вполне непрерывные операторы Определение. Линейный оператор А, определенный на линейном нормированном пространстве Е», с областью значе- ний, расположенной в линейном нормированном простран- стве Е, называется вполне непрерывным, если он отобра- жает всякое ограниченное множество пространства Е» в ком- пактное множество пространства Ег. Очевидно, всякий вполне непрерывный оператор является ограниченным.
Лалее, в силу теоремы 7 й 1 гл. Ч всякий линейный ограниченный оператор А отображает компактное множество в компактное. Свойство полной непрерывности является, вообше говоря, более сильным по сравнению с простой непрерывностью. Так, например. единичный опера- тор в бесконечномерном пространстве Е не является вполне непрерывным, поскольку он отображает единичный шар на себя, а он не компактен. Пример. Пусть Е» Е„С [О, 1[ и ! Ах = у (Г) = ~ К (б е) х (е) Ле, о где К(й е) — непрерывное в квадрате 0 < б е <1 ядро.
Локажем, что оператор А вполне непрерывен. Пусть (х(1)) — ограниченное множество функций из С[О, 1], ~[х[~~г. Очевидно, функции 1 у (Е) = ~ К (й е) х (е) и'з, о где х (Г) — функция из рассматриваемого множества, равномерно ограничены. Действительно, если К шах [К(й е) [, то [у (Е) [< Кг. Лалее, функции у(г) разностепенно непрерывны. В самом деле, пусть задано е > О. В силу равномерной непрерывности ядра К (А е) ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !Гл. ч! найдется такое Ь > О, что !К(г1, ) — К(г, вИ<— е г для ~ г,— г, ( < Ь и любых зЕ(О, 1).
Но тогда 1 ( у (г,) — у (гь) ~ < ~ ! К (гь е) - К (ен в) ! (к (з) ( сгз < з о всякий раз, когда )г! — гс! < Ь для всея рассматриваемых функций у (!) сразу, что и означает равностепеиную непрерывность функций у (!). В силу теоремы Арчела множество функций ( у(!)) компактно в смысле метрики пространства С (О, 1), и полная непрерывность оператора А доказана Лемма. Если последовательность (х„) слабо сходится к хе и компактна, то она сильно сходится к хь. Пусть это не так. Тогда найдутся число е ) О и неограниченно возрастаюшая последовательнбсть индексов пи п, ....
п„, ... такие. что ')хс хо~)~во Так как последовательность 1хч!) компактна. то оиа содержит подпоследовательность (хе! 1. сильно скодяшуюся к некото! ' рому элементу иа. Тем более х„— "ьиь. Так как в то же ~!! сл время х„— ьхз, то из=ха "!! Мы получили, что, с одной стороны. ~~х„, — хе(()~ее. )( х„, — хе )~-+ О.
а с другой> Это противоречие показывает лемму. Теорема 1. Вполне непрерывный оператор А отобрахсает слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся. ПУсть последоватеиьность (х,) слабо сходитса к хь. Тогда нормы элементов втой последовательности ограничены и (х„), как ограниченная последовательность. оператором А % и ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 263 переводится в компактную последовательность (у„), где у =Ах„. С другой стороны, по теореме 6 й 4 гл.
)с» с» у„= Ах„— + Ахо= уз. Но тогда в силу леммы у„— >уз, и теорема доказана. Пусть Л вЂ” вполне непрерывный оператор, отображающий бесконечномерное банахово пространство Е в себя и  — произвольный линейный оператор, действующий в том же пространстве. Тогда АВ и ВА — вполне непрерывные операторы. В самом деле, оператор В преобразует произвольное ограниченное множество М~Е в ограниченное множество В(М), и зто множество оператор А преобразует в компактное множество А (В(М) ). Следовательно, оператор АВ переводит любое ограниченное множество в компактное и потому вполне непрерывен. Аналогично показывается, что и оператор ВА вполне непрерывен.
Так как единичный оператор 1 не вполне непрерывен, то отсюда, в частности, следует, что вполне непрерывный оператор А не может иметь ограниченного обратного оператора А Наконец, очевидно, что если операторы А и В вполне непрерывны, то аА+ РВ также вполне непрерывный оператор. Те о р ем а 2. Если последовательность вполне непрерывных операторов (А»), отображаюигих пространство Е» в полное пространство Е, равнолсерно сходится и оператору А, гп.
е. ((А„— А~! — >О, то А также вполне непрерывный оператор. Требуется доказать, что А отображает всякое огранвченное множество пространства Е в компактное множество пространства Е„. Пусть М вЂ” ограниченное множество пространства Е, и г — константа такая, что !)х!) (г для любого х~М.
Для заданного е ) О найдем номер пь такой, что 'йА»,— Л~( ( —. Пусть А(М)=К и А,„(М)=Аг. Мгюжество И есть е-сеть лля К. В самом деле, взяв для любого у ~ К один из его ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. Ч! прообразов х ~ М и положив уе = А„,х Е М, будем иметь ~)у — уо)[= ([Ах — Ал х)[ ([[А — Ал,[[[[х[[ < — ° г = — е. Так как, с другой стороны, в силу полной непрерывности А„, и ограниченности М множество ЙГ компактно, то мы получаем. что К при любом е > 0 имеет компактную е-сеть и потому само компактно. Итак, оператор А отображает произвольное ограниченное множество в компактное и, следовательно, вполне непрерывен.
Теорема доказана. П р им е р. Покажем, что если Е„= Ет — — 11[0, 1], то оператор 1 Ах= у (г) = ~ К(б 5) х(5) Н5, е где [ ~ К'(б 5) лг лз < + вполне непрерывен. Предположим сперва, что К (б 5) — непрерывное ядро. Пусть М вЂ” ограниченное множество из Ьт[0, Ц и 1 ~ х1 (Г) и'Г (г2 е для всех х(Г)КМ. рассмотрим множество функций ! у(г) ГК(б 5)х(5)ла' х(г)Е о Докажем, что функции у(Г) равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. Отсюда будет следовать компактность множества [ у (!)) в смысле равномерной скодимости и тем более в смысле скодимостп в среднем квадратичном. Имеем ~ К (б 5) х (5) па е 1 1 1 1 12 / ~ Кт (С, 5) Ла 1 ха(5) !(5 ~ Кг. !ье е % Н ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 265 где К = щах[К(д 8)[, и, следовательно, функции у(!) равномерно г,к ограничены.
Далее 1 1 1 — 1 '!г !г (г,) ),(Г„)[<(~ [К(1„8) К(г„з)[2!Зз! ~ хг(з)2(з <а !ко о ири [г! — 82! < б, где б выбрано так, чтобы при [г! — 82! < ь было е [К(Г! 8) — К(81 з)! < —. г Оценка ! у (г!) — у (г,) ! < е не зависит от положения з! и з! на [О, ([ и от выбора функции у(!)~м; следовательно, функции у(г) равно- степенно непрерывны. Итак, в случае непрерывного ядра оператор А вполне непрерывен.
Предположии теперь, что К(П 8) — произвольное ядро с суммируемым квадратом. Возьмем последовательность непрерывных ядер [К„(ц 8) ), сходящуюся в среднем к К(д 8), т. е. такую, что 1 1 ~ [ К (г, з) — К„(П з) ) г г)Г 2(з -ь О, при л -ь со. о о Положим 1 А„х ~ К„(ц 8) х (з) !(з. о Имеем 1 1 1 2 1 ик. -к~!- !" [! к<кк*!кк* — ! к.(к ! к!к,] к'$- 1е [о о ! 1 1 12 1 ~ ~ / (К(Ц 8) — Кл(ф з)) х(з) гтз~ !И [о [о / 'г' < Х Х(К(П 3) — Кл (г, 8))!к(8Ххт (3) !(з 4тгг !о о о ! 1 1 ~ (К (г, 8) Кл (Г, 3) ) 2(Г пз [х[ [о о ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. У1 Следовательно, 1 1 [[А — Ал$< / ~ (К(г з) — Кл(С з))'йг "з ° е е откуда вытекает, что $ А — Ал(-эб при и-+со.
Так как все операторы А„вполне непрерывны„то по доказанной только что теореме А также вполне непрерывен. 3 а и е ч а н и е. Придел точечно сходящейся последовательности [А„1 вполне непрерывных олераторое л!ожет и не быть вполне непрерывным. В самом деле, в бесконечномерном пространстве Банаха Е с базисом [е!') рассмотрим операторы Яю заданные равенством дл» х = Х Й,е!. З„х=~ ~,~, л=! Т = Ц Т„будет счетным множеством. всюду плотным в К. л=! что и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
