Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Не уменьшая общности. множество М можно предполагать в дальнейшем ограниченным. Для вполне непрерывных операторов, которые отображают выпуклые тела банахова пространства в себя, Ю. Шаудером установлена теорема, обобщающая известную теорему Браувра о существовании неподвижной точки при непрерывном отображении выпуклого тела л-мерного евклидова пространства в свою часть.
Эта теорема Шаудера имеет многочисленные применения для доказательства существования решения различных уравнений. Трн леммы. Лля доказательства теоремы Шаудера установим предварительно трн вспомогательные леммы. Пусть М вЂ” множество элементов банахова пространства и 1А„) — последовательность операторов, вообще нелинейных, определенных на М. Будем говорить, что эта последовательность равномерно на М сходится к оператору Аз. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !Гл. щ если для любого числа е ) О найдется номер и, зависящий лишь от е, такой, что )) Аих — Аох)) < е нри и) по и для любого х~ М.
Лемма 1. Если последовательность (А„) вполне непрерывных на М операторов равномерно сходится на етом множестве к оператору Ао, то Ао также вполне непрерывен на М. Докажем сперва непрерывность оператора Ао на М. Пусть (х„) ~ М сходится к хо~ М. Имеем )) Аох — Аохо))-< Аохм — А„хм))+ + )) А„х — А,хо))+)(А„хо Аохо)) В силу того, что последовательность операторов (А„) равномерно на М сходится к оператору Ао, для заданного е ) О Найлстеа НОМЕР По таКОй, Чта ПРИ П)~ло ))Аьхга '1охт)) < З ° )(Апхо — "1охо)) < З . Фиксируем такое и.
Так как оператор А, ненрерывен, то найдется номер то такой, что при т )~ то будем иметь ))А.х.— А.- о()< 3. Но тогда нри т )~ то ))Аох — Аохо)) < е, т. е. оператор Ао непрерывен. Докажем компактность оператора Ао, для чего покажем, что л!Ножество Ао(М) компактно. Для заданного е ) О выберем по так, чтобы ))А„,х — Аох)) < е для всех х ~ М.
Это можно сделать в силу равномерной сходимости последовательности (А„) к Ао. Пусть О!'= А„,(М). Множество И компактно и является е-сетью для множества Ао(М) (см. доказательство теоремы 2 ф 1). Отсюда следует, что Ао(М) компактно. Итак, Ао — непрерывный и компактный оператор, и лемма доказана. ПРИИПИП ШАУДЕРЛ И ВГО ПРИМЕНВНИЯ 299 .Чемма 2 ((О. Шаудера). Всякий оператор А, вполне непрерывный на множестве М, есть равномерный предел на етом множестве последовательности )А») непрерывных конечноме рных операторов (отображающих М в «онечномерное подпространство пространства Е).
Так как Л вЂ” вполне непрерывный оператор, то А(М)— компактное множество. Возьмем последовательность положительных чисел )е ), сходящуюся к нулю, и для каждого й построим е»-сеть лг )у!ю у!»! у!»!) для множества А(М), состоящую из точек этого множества. Определим на Л(М) оператор Р,, полагая для уЕ А(М) ы» „!ю (у) у(ц Р» (у) .—— г=! где / е — )) у — у'.»!)), если )) у — уы')) ч, е», )»! !(у) = О, если )! у — у!»')) ') е . Равенство (1) имеет смысл для любого у ~ А(М), так как все (!)»>(у))~0, и )ь!»!(у) » О по крайней мере для одного !. Оператор Р» (у) непрерывен на А (М).
Это следует из того, что все р!»'(у) — непрерывные функции, а следова- ы» тельно, ~~~~ р!»>(у) — также непрерывная функция от у. Кроме г=! ы» того, ~ч~ р!»!(у) ) О для каждого уЕ А(М). откуда вытекает г=! непрерывность частного и! !(у) »!» И!)»!(У) /=! ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. Ч1 а, следовательно, и выражения 2И д Х»~" (у) у[1"1 1=! ддд ~ »[[д! (У) 1=! т.
е. оператора Рд(у). Далее, „[д[(у) у[т ! у— ддд Х ~ю()(~- )") 1=1 »'ю(у) [[у — у"'[[ < Х»)ю(у) 2~ »11д[(у) 1=1 16 д Х »'," (у) 1=! <ед =ед, Фи 1 Х»[ю(у) 1=[ так как если для некоторого [ имеем (! у — у[д! (! )~ е„, то соответствующии коэффипент»[ю (у) равен нулю, Полагая теперь для х П М Адх = Рд (Ах), получим последовательность конечномерных операторов [АД таких„ что [[Ах — Адх[[ = [[Ах — Рд(Ах)[[ < ед для любого х ЕМ, и лемма доказана. Замечание. Так как элементы у[,'! принадлежат множеству А(М), то значения операторов, построен- ных в лемме 2, принадлежат выпуклой оболочке мно- жества А(М). В г1 ПРИНШ!П Ш4УДЕРЬ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ 291 Л е м м а 3.
Пусть последовательность (А„] операторов, вполне непрерывных на множестве М, равномерно сходится на етом множестве к оператору Ае. Пусть, далее, К,=Ал(М), п=0,1,2,..., тогда множество СО К=ЦК„ льа компактно. По лемме 1 оператор Аз вполне непрерывен. Так как последовательность (Ал( равномерно сходится к оператору Агл то для любого е ) О и любого у ~ Кл при п)~ па(е) найдется и ЕКь такой, что ((у — и(( ( е.
Это возможно в силу того, что если у — произвольный эле- мент из К„и х — один из прообразов у пр: отображении А„, то достаточно в качестве и взять и = Аь(х). л, Построим множество )ч'=ЦКл. Легко видеть. что оно л=ь компактно. Покажем, что вто множество есть е-сеть для К. Пусть у Е К. Если доказывать нечего. Если же у ~К, при и ) и, то, как показано выше, сушествует и ~ Кз такой, что ((у — и(( ( е. Следовательно, М является компактной е-сетью для множества К, и потому множество К компактно.
Принцип неподвижной точки Ю. Шаудера. Т е о р ем а 1. Если вполне непрерывный оператор А отображает ограниченное замкнутое выпуклое множество 8 банахова пространства Е на свою часть, то существует неподвижная точка втого отображения, т. е. тикая точка хЕ8, что Ах =х.
Возьмем последовательность положительных чисел (ел), сходящуюся к нулю, и построим согласно лемме 2 последа- ВпОлне нРпРЕРызные ОпгРАТОРы 1гл. РГ вательность непрерывных конечномерных операторов А„, равномерно сходящихся на множестве 5 к оператору А. По замечанию к лемме 2 и в силу того, что 5 выпукло, А„х ~ 5 для любого х ~ 5.
Пусть Е, — конечномерное подпространство, в котором расположено множество А„(5). Рассмотрим оператор А„на множестве 5„=5ПЕ„ подпространства Е„. Ясно, что 5„— также выпуклое замкнутое множество. Так как А„(5)~5 и А„(5)г=Е„, то А, (5) с5л, А„(5„) с 5„. и тем более Таким образом, оператор А„, рассматривземый на конечно- мерном пространстве Е„.
отображает замкнутое выпуклое множество 5„этого пространства в себя, и потому по теореме Воля — Брауэра (см. пополнение 1!1) существует неподвижная точка этого отображения, т. е. такая точка х„Е5„, что А„х„= х„. ?1о так как 5„г=5. то х„является неподвижной точкой оператора А„и при отображении этим оператором множества 5. Так как каждое х„б А„(5). то последовательность )х„) принадлежит множеству В силу леммы 3 множество 5 компактно. Тогла из последовательности )х„) можно выделить сходящуюся подпослеловательность (х„1 и предел ха этой подпоследовательности будет принадлежать 5 в силу замкнутости 5.
Покажем, что ха есть неподвижная точка оператора А. а з) ПРИНШ4П ШАУДЕРА И ЕГО ПРИМЕНГНИЯ 223 Имеем [! 4хо — х'о[[ < .< (~ 4хо — Ахпс ~~+- (( А ха, — А„,хп (~+ (~ А„,х„, — хо (~ = = [[ Ахо — А ха, () + (( Ах„, — Апх„~~ + )! х„, — хо (~. Лля заданного е ) О выберем сперва и' настолько большим, что при и, )~ и' [[хп,— хо~~ < 3 и [[Ахо — Ахл,[[< 3 ° Затем выберем пн настолько большим, что при нс) яп !)Ах — А„х ~~ < 3 равномерно на о и, в частности, для всех х„. Тогда для "с' и, ) я =шах(н'. лп) будем иметь [!Ахо — хо~! < Так как е ) О произвольно, то вто возможно, лишь если Ахо= хо, т. е.
если хо есть неподвижная точка оператора А. Принцип Шаудера доказан. В качестве примера применения принципа Шаудера докажем известную теорему Пеано о существовании решения обыкновенного днф еренцнального уравнения. ео рема 2. Пусть срункция у (О х) непрерывна по совокупности переменных в области [т — Га [< а, [х — ха [< Ь, и Р— максимум [/(с, х) [ в втой области. Если Л т!я~а, — ), то на отрезке [Га — Д, та+ А[ существует хотя бы одно решение уравнения — =/(с, х), дх дг (2) удовлетворяющее условию .«(Га) = ха (3) Уравнение (2) вместе с начальным условием (3) зквнвалентно интегральному уравнению х (О ха+ ~ у (т, х (т) ) дт. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ (ГЛ. У! Рассмотрим оператор А, определенный равенством Ах = хэ + ~ г (т, х (т) ) с/т са на шаре 11х — х«11(Ь пространства С [сэ — й, /э+ Ь).
Покажем, что оператор А вполне непрерывен на этом шаре. Прежде всего, если последовательность [х„(С)), принадлежащая шару 11х — хэ11( Ь, равномерно сходится к фуйкцни х(т), очевидно, принадлежащей тому же шару, то в силу непрерывности функции у (й х) будем иметь у (с, х, (с) ) ь у (с, х (с) ). равномерно на [сэ — Ь, /э+ Ь). Отсюда в силу возможности предельного перехода под знаком интеграла цри равномерной скодимости Ах„-ь Ах, т. е. оператор А непрерывен на шаре 11х — хэ11~ Ь. Далее, для любого элемента х(!) шара 1[х — хэ[1~Ь имеем сА Фс(с,сс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
