Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 42
Текст из файла (страница 42)
/снс,*!с!,1(!,сс-ссы. (э [с, Если т! и Сз — две любые точки отрезка [Сэ — Ь, /э+Щ то будем иметь с1 ся (сю! — «!«сск~/!«*«1са1кс~«-юс, сэ 1с, Неравенства (5) и (6) в силу теоремы стрцела показывают, что оператор А преобразует шар 1[х — ха 11< Ь в компактное множество. Покажем, наконец, что оператор А преобразует зтот шар в себя. В самом леле, ! ~а сй),~ ) /!(,, (,)) К!В Ч! — -« Ь о = р Таким образом, оператор А удовлетворяет всем условиям теоремы Шаудера. Поэтому существует неподвижная точка этого оператора, т. е. такая функция х(С), что х (С) = ха + ~ у (т, х (т) ) с(т. % 11 ПОЛНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОПЕРАТОРА ВЛОЖЕНИЯ 295 Это равенство равносильно двум равенствам: — =/(с, х(С)), х(те) =хе их(П йс Теорема Пеано доказана. При доказательстве теоремы Пеано мы прииенили принцип Шаудера к установлению существования решения интегрального уравнения(4).
Этотже принцип позволяет установить существование решений у более сложных нелинейных интегральных и интегроднфференциальных уравнений. 9 4. Полная непрерывность оператора вложения С. Л. Соболева Выше было показано (стр. 119), что из принадлежности функции ср(х, у) классу (Т' следует принадлежность этой же (о функции классу %'рн при й (С Введем оператор А, определенный для всех функций ср(х, у) ~ 1Р'р11 и переводящий ср(х, у) в эту же самую функцию, но уже рассматриваемую как элемент пространства !Р'„' ° с:) Ясно, что для разных й это будут.
по существу, различпь1е операторы. Оператор А называют оператором еложенил. Оператор А, очевидно, линейный и неравенство на стр. ! 19 показывает, что А ограничен. Докажем, что А является даже вполне непрерывным оператором. Полная непрерывность оператора А будет вытекагь из слелующей теоремы. Теорема (В. И, Кондрашова). Пусть 9)1 — ограниченное мнозссестзо в пространстве (Р'р~. Вели р 2, то множество А (И) компактно е смысле раекомеркой сходимости; если р ь,. 2, то А(9М) компактно е смьсгле метрики пространства 1. (О). По формуле С, Л.
Соболева 1-1 Аср=ср(х. у) = ~) ) С111",1А, (Р) / / ср(()) "А сс() + А=о А,+а,=а о ) ! А!ос (Р ()) д'т с,+с,=с о ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. Ч1 В силу непрерывности а а слагаемые первой группы длср» дхю дур' формулы (1) представляют собой интегральные операторы с непрерывными ядрами и, следовательно, будут вполне непрерывными операторами и в метрике С(0) и в метрике 1. (О). Необходимо поэтому исследовать лишь слагаемые последней группы формулы (1). Ядра Аб,(Р, 0) интегральных операторов, входящих во вторую группу слагаемых, имеют вид А(Р (,) В(Р 0) г или А(Р, (',1) =В(Р, 0)(а1пг+р). где В (Р, Я) — ограниченная функция ~ В (Р, Я) ~ ~( С. Докажем полную непрерывность интегрального оператора с таким ядром. Рассмотрим случай р ) 2 и ограничимся первым выра- жением для А (Р, Я). Имеем д1й ! / / А111(Р 0) Ф;)~ <С / / ~ ' У" ~ 1й~~ <с(О~ д', ~'сей~' - ср)'ч 1 ел р 122 1 1 <С~~сР1~ 1о ~ ~ г-ее'Фгг(0) <СК(2П)2 (В)ч.
(2) 2Г ТО О Здесь К вЂ” константа, ограничивающая нормы функций ср(х, у) Р в пространстве (гр~'. и  — аначение интеграла ~ г-ч'' с(г, о который сходится, если о < 2, т. е. если р ) 2. Далее, вводя для сокрашения обозначения ф(Р)= ~ 1' А1",1,(Р, Я), ~, 1Я. дх" ду' полная непгегывность опеелтогл вложения 2йт будем иметь ИхР+АР) — ф(РН ( <с( / / ) — — ( '~, (~ч.ь -П„,' .~,',"., "+П„'.~.,.'„.~"~ где Ое обозначает часть области О, состоящую из точек.
удаленных от точки Р менее чем на 2Ь. Будем считать, кроме того, что расстояние от точки Р до точки Р+ АР ие превосходит Ь. 1 В силу всего этого — под знаком первого интеграла. гр стоящего в фигурных скобках. будет непрерывной функцией, и потому первое слагаемое будет сколь угодно мало при достаточно малом АР. Что касается второго слагаемого, то для него, вводя полярные координаты с центром в точке Р+ЬР, получаем оценку .~У„,.'„~.'"., ~"- О Г"'~'Ф "-'" ~'")' 1 1 <К(2н) ~~ ~ гаг) <К(2п)г 2 „(ЗЬ) и правая часть этого неравенства может быть сделана при достаточно малом Ь сколь угодно малой, если только д ( 2, т. е. р ) 2. Аналогично оцениваем третий интеграл. и равно- степенная непрерывность функций ф(Р) доказана, а вместе с тем доказана и первая часть теоремы. $41 ПОЛНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОПЕРАТОРА ВЛОЖЕНИЯ Щй где Р†диаме области О. Из полученного неравенства видно, что можно сделать сколь угодно малой.
если б достаточно мало, Совершенно так же оценивается норма третьего слагаемого формулы (3). Таким образом. $ф(Р+АР) — ф(Р)й -РО при АР-РО. Аналогичными вычислениями показывается равномерная ограниченность в среднем функций ф(Р). Но тогда по теореме Рисса функции ф(Р) образуют компактное семейство. Теорема доказана. Для доказательства полной непрерывности оператора ало>кения достаточно теперь применить доказанную теорему к формуле С. Л.
Соболева. выражающей й-е обобщенные производные через 1-е обобщенные производные прн и (1. Мы ограничились случаем функций двух независимых переменных, Случаи функций большого числа независимых переменных, а также более сложных областей рассмотрены в книге С. Л. Соболева [30). Приведем пример применения теорем вложения к задачам уравнений математической физики.
Пусть 6 — область на плоскости рассматриваемого вида. Покажем, что существуют значения Л такие, что уравнение Да+АР=О вяутри й имеет нетривиальное решенве, удовлетворяющее условию т!г = 0 à — граница 0 (собственные функции задачи Дирихле). Мы сРазУ же ослабим втоРое Условие: вместо Равенства в 1г б мы будем требовать, чтобы 1ГСФз — подпространству пространА11) ства ЕГ1з11, состоящему из функцвй, являющихся пределами в смысле метрики етого пространства последовательностей функций, обра щающихся в нуль в некоторой (своей для каждой функции) граничной полосе области О.
ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ (гл. и! Рассмотрим в (ру'(б) функционал Этот функционал ограничен снизу и, следовательно. на функциях <Р(х, у)~ )ллтн таких, что ~ фл(х, у)2(хну 1, С он имеет нижнюю точную границу Лл. Очевидно, что Л, > О. Покажем. что точная нижняя граница функционала У достигается на некоторой функции ео(х, у)ЕФ~~'. Пусть (вл (х, у)) ~ с: Ф(П вЂ” минимизирующая последовательность. т. е, такаи, что г (тл) Лл ь Лл.
Ил йщ 1. (4) Так как (!Р. ~(',„П- йф. ((' +У(ф.) 2 22 и [1(рл)) как последовательность, сходящаяся к пределу, ограничена, то (Чгл) есть огРаниченнаЯ последовательность пРостРаиства В"), В силу полной непрерывности оператора вложения (фл) компактна в пространстне Ле Отбрасывая, если необходимо, некотоРые члены последовательности, мы можем ВРедполагат2ь что мининизиРУющаа последовательность (Рл) сходитсЯ в пРостРанстве Лм Повтому для любого е > 0 найдется номер пл такой, что при и> лл И,— ф 'вы<с Далее !! ~~л+~Рм !!' ( !! Вл — фм !!' Отсюда Так как Лл = !и( У (ф), 2 ' (ч "Ы то в силу квадратичной однородности л (р) будем иметь !я( 2 !п( У ('Р) лл У (в) ч(аг'," <'Р Нс е(К", (ч(х,-г 4 О) ПОЛНАЯ НГПРЕРЫВНОСТЬ ОПЕРАТОРА ВЛОЖЕНИЯ ЕЩ Позтому у(ф» Ао!~ф 6Р и, з частности, у(~.~~ )>А ~)ф.+ф (( >Ло(( — 4).
Выберем и и т настолько большими. чтобы .о (1Ро) < Ао+ з "1 (ф~) < До+ е. Тогда 2 ) 2 (ф")+ 2 (фоо) ( 2 < ~о+ Хо(1 ) 1! А ) т. е. у(ф" ф")- о при и, т-ьсо. Тогда формула (5) показывает, что ие только Ь~.— Р.!!„- О, но и !!ф — ф !! П- О зг) при и, т -э со. В силу полноты пространства (Р(п существует фо (х, у) е йг(з'~, являющаяся пределом в пространстве (р1з" после. довательности (1Р„).
Очевидно, что 1Ре (х, у) Е йг(з" !! ф. !!~,- ' Из неравенства ! 1 ! ! 1 у(ф) — у(ф)' ! <(/(ф — ф))~. справедливого для любых ф, фч йг(зп, следует, что ! 1 1 ! 1 У(фо) — У(фо) !<(Г(фо — фо)! <!(ф» — Р (! (ц. у (фо) -ь l (фо) при и -1.со. Так как, с другой стороны, о (1Ро) Ь ).О то о (фо) = )о ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ (гл. чй и существование в (Р'т ' функции, реализующей минимум /(ф) при условии йфйс — — 1, доказано. Покажем теперь, что предельная функция фр(х, у) удовлетворяет уравнению Лапласа. пусть й(х, у) — произвольная функция из (Ра~, обращающаяся в нуль в некоторой граничной полосе области О.
Имеем при любых вещественных значениях Г у( +1~) >л (ф +г(Ц, откуда У(фр)+21 / Г й — — + — — рдалр)+(РУ(Ь)> I 1 дфр д( дфр д~ 1 ,I ( дх дх ду ду ) а >ь~»вцрр / /~.арра.ю~р~рр-~*ирц] Учитывая, что л (фр) =Лр и 11фр йх,=1, получаем а — ьО в )р(р.р/~р~р)р.Р Р(ц — 1,црийьр. а Отсюда обычным рассуждением получаем, что а — Л. ~'„~'ф (ЬП)(а Ч)дйдП=О.
(б) а Пусть ф(Г) — функция, удовлетворяющая следующим условиим: 1) ф(Г) 1 для О~Г~ —,; 1. 2' 2) ф(г) О для Г.р. 1; Г1 3) ф(Г) монотонно убывает иа отрезке —,, 11 4) ф(Г) имеет непрерывные производные любых порядков на (О, со). Очевидно, что такие функции существуют. Пусть, далее, Ур ()г Лрг) = Х(г) — бесселева функция нулевого порядка второго рода. Как известно [33), йХ(г)+Л Х(г) = О, я а! полная нят!нвнывность опвидтопа вдожнммя й(ц и Х(г) имеет одну особенность логарифмического типа при г=О. Положим «-»=[ ( — ')- Я 1 При г < р, = — ш!и (йь Лт) имеем ф(„') р („') = ! — ! =О„ и при г ~ р, = шад (Ьь Ь,) ф ( —,') =ф ( — „') =О. ~ ( Фэ(б1+Да1) (с«Ч=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
