Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Теорема 4. Если А — вполне непрерывный оператор, отображиющий Е в Е„, то сопряженный оператор А', отображающий Е е Е, также вполне непрерывен. ![остаточно доказать, что образ А (8~) единичного шара 8„ пространства Ез компактен. Оператор Ял отображает Е в конечномерное пространство Е„ И ПОТОМУ ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВЕН. ПРИ П-ьОО ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ операторов Ял точечно сходится к единичному оператору Е который не является вполне непрерывным. Т е о р е и а 3.
Область значений вполне непрерывного оператора А сепарабельна. В самом деле, пусть множество К„является образом шара ()х[) (и. Так как А вполне непрерывен, то ʄ— компактное, а следовательно, и сепарабельное множество (см. стр. 230). Пусть ҄— счетное множество, всюду плотное в К„. Так как область значений оператора А есть К= О К„, то ВПОЛНР НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Рассмотрим образ А (5„) замкнутого единичного шара пространства Е„, Так как А — вполне непрерывный оператор то А(5 ) — компактное множество. Будем рассматривать на атом иножестве линейные функционалы, принадлежащие 8». Если у~8», уЕ А(5„), то ) У (у) ) ( (Щ ) ) у ! ) = ) Щ ( ( Ах (! ( 'ЕЩ () А (! )) х 'й' ( 'а А а, так как а»~! (1, (!ха (1. Следовательно, функционалы из 8 на множестве А (Як) равномерно ограничены.
Далее, для у1 угу АА)»»ЕЕ» 1У(у1) — У() )! = !У(у — ут)! (1!Л Ь вЂ” Ы (Ь вЂ” Ы! и, следовательно, на А (8к) функционалы из 5» равностепенно непрерывны. В силу обобщения теоремы Арчела (гл. Ч. стр. 2240) множество Б» компактно в смысле равномерной сходимости на А (5,). Рассмотрим теперь произвольную последовательность 1А г„)с=А (5»).
Так как множество 8» компактно, то из последовательности )у„) можно выделить подпоследовательность )ук,), равномерно сходящуюся на А ф ): еир )Ук (Ах) — У„(Ах)) — «О кеа "l ПРИ и,, Л -«СО. Но ацр )У', (Ах) — ~„»(Ах)) = апр ) А'(Ук, — ук»)х) = ке ак .ке ак =) А*ущ — А*у„Д Поэтому последовательность (А*у„,) сходится по норме в пространстве Е и компактность А (8») доказана. Аппроксимация вполне непрерывного оператора в банаховом пространстве с базисом конечиомернымн операторамн.
Рассмотрим вполне непрерывный оператор А. отображающий банахово пространство Е с базисом само в себя. Пусть 5 — елиничный шар зтого пространства и К-совокупность влементов вида у = Ах, где х ~ 8. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [Гл. Р1 Так как А вполне непрерывен, то К вЂ” компактное множество. Тогда по теореме 3 5 2 гл. Ч для любого числа е > 0 найдется номер и=п(е) такой, что з)с„у(~ (е для всех у ~К. Фиксируя это и, получаем Лх = У = о„у + гг„у = 8„(Ах)+ Л„(Ах) = А,х+ А х, где А, и Аз, очевидно, линейные операторы.
При этом, полагая у = ~~'., П,ен будем иметь А,х = Я„у = ~~~~ тьен откуда видно, что оператор Л, — конечномерный в том смысле, что для любого х злемент А,х принадлежит ковечномерному подпространству, определяемому базисными элементами ен ез, ..., е„. Далее зпр 1~Азха =впр~~й„у~~ < е, «сз ген откуда следует, что )(А,1(< ж Итак, вполне непрерывный оператор А мы разложили на сумму двух операторов, из которых один конечномерный, а норма второго не превосходит наперед заданного числа, которое можно выбрать сколь угодно малым. Поэтому иногда говорят, что вполне непрерывные операторы в пространстве с базисом почти конечномерны.
$ 2. Линейные операторные уравнения с вполне непрерывными операторами В этом параграфе мы рассмотрим линейные операторные уравнения с вполне непрерывными операторами. Как было показано Ф. Риссом, на такие уравнения переносятся основные результаты теории линейных интегральных уравнений Фредгольма.
5 21 линейные опввлтовньш ьвлвнвния Две леммы. Пусть А — вполне непрерывный оператор, отображаюший банахово пространство Е в себя. Рассмотрим уравнение Ах — х=у или Тх= у, (1') где Т= А — Е Одновременно с уравнением (1) будем рассматривать уравнение (2) А'У вЂ” У = в' или Т*(= д, (2') где А* — оператор, сопряженный с А и действующий в пространстве Е'. Как было показано, А* также вполне непрерывный оператор. Лемма 1.
Пусть М вЂ” подпространство нулей оператора Т, т. е. совокупность элементов х таких, что Тх = О. Тогда М вЂ” конечномерное подпрострапспгво пространства Е. Пусть М вЂ” произвольное ограниченное множество из М. Для любого х ~ М имеем Ах = х, т. е. оператор А оставляет инвариантными элементы подпространства М и, в частности, множество М переводит само в себя. С другой стороны, А как вполне непрерывный оператор переводит М в компактное множество. Следовательно, всякое ограниченное множество Мс=М компактно, откуда в силу теоремы 4 й 2 гл. Ч следует конечномерность надпространства М.
3 а м е ч а н и е. Элементы подпространстз М являются собственными элементами оператора А, соответствующими собственному знзчению ). = 1. Формулировка теоремы и ее показательство остаются справедливыми, если 1 заменить любым другим собственным значением Х, отличным от нуля. Таким образом мы доказали, что вполне непрерывный оперитор А может иметь лить конечное число линейно независимых собственных элементов, соответствующих одному и тому же собственному значению. Лемма 2.
Пусть Е= Т(Е), пп е. Е есть совокупность элементов у~Е, которые могут быть представлена в вйде у=Ах — х. Тогда Ь вЂ” надпространство. То, что Š— линейное многообразие, очевидно. Необходимо доказать лишь замкнутость Е. 270 вполне напвгвывныв опввлтогы 1гл. ьч Покажем сперва, что существует константа а. аависяшая лишь от А, такая, что всякий раз, когда уравнение Тх= у (1') разрешимо, по крайней мере для одного из его решений выполняется неравенство ))х)! 4а))у)!.
(3) Пусть хе — одно из решений уравнения (1'). Тогда любое другое решение этого уравнения имеет вид х=хе+х, где я — решение однородного уравнения т (х) = О. (1') Рассмотрим функционал р(е) =))хо+я)! ° Это — ограниченный снизу, непрерывный функционал. Пусть а=(п(ф(я), н )г,)с=И вЂ” минимизирующая последовательность, т. е. р(з.)=)!хо+Я.)! Х (4) Последовательность )!)хе+ а„)!) как имеющая предел ограничена. Но тогда ограничена и последовательность )))г„)!), нбо )! зл !! = !)(хл+ хе) — хе)!.~4 )! хл+ хе!)+ )! хе!! Таким образом )г„] есть ограниченная последовательность конечномерного пространства и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Отбрасывая, если необходимо, лишние члены в последовательности )ав).
мы можем считать без ограничения общности, что г„-ьге. Тогда (5) Ч'(зв) -+ 'р(зе) Из (4) и (5) следует, что Ф(го) =))хе+ ао))= ~. % т1 ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 271 Следовательно, в случае разрешимости уравнения (1') оно всегда имеет решение «=ха+.о с минимальной нормой.
Покажем, что для этого элемента справедливо неравенство (3). Рассмотрим отношение ~1 х1 ~! У!! и предположим, что это отношение не ограничено. Тогда существуют последовательности ул и хл такие, что 11 хл1 1! ул!1 Так как Лул соответствует, очевидно, минимальное решение Ххл, то без ограничения общности мы можем считать, что З х ~( =1; тогда (~ у„((-+ О.
Так как последовательность 1хл) огРаничена и опеРатоР А вполне непРеРывен, то последовательность 1Ахл) компактна и, следовательно, содеР- жит сходящуюся подпоследовательность. Снова без ограничения общности можно считать, что Ах„-+ хо. (6) Но тогда, так как х„= Ах„— ул, будем иметь х„-+ хе и, следовательно, (7) Ахл — л Ахз. Из (6) и (7) следует, что Ахо= -"о т. е, ха~И. Но тогда, в силу минимальности нормы решения хл, будем иметь ((хл — хе(!')~(,'х„(~= 1, ЧтО ПРОтИВОРЕЧИт СХОДИМОСтн (Ал) К ХЗ. [гл. ш ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Итак, — ограничено, и если ПхП ПуП ПхП, а= звр — ', ПуП ' то требуемое неравенство доказано.
Пусть теперь дана последовательность (ул) ~ Е, сходящаяся к уо. Переходя, если необходимо, к подпоследовательности, можно считать, что Пу — уо!! < — „ 1 откуда Ь. — у.П< 2 . 1 Пусть хо — минимальное решение уравнения Тх = у, и х„, н = 1, 2, ..., — минимальное решение уравнения Тх = ул+, — ул. Тогда 11 «11 < ПУ«+1 У«11 < 2« ° Из этой оценки вытекает, что ряд ~~'., хл сходится, и если х— «=1 сумма этого ряда, то л л Тх = Т ( 11 ш ~'„х,) = 1нп ~ Тх, = (л о=о л л:=о ч« =11ш (У,+ лг (Уь 1 — У„)1=1нпУ«„,=Уо, л « =! л и мы получили, что уог Е. Лемма полностью доказана.
Теорема 1. Для того чтобы ира данном уЕЕ уравнение (1') было разрешимо, необходимо и достаточно, чтобы у (у) =-О для любого линейного функ1(ионала у такого. что А'у — у =О. (2*) Необходимость. Пусть уравнение Ах — х=-у разрешимо, т. е. у может быть представлен в виде у = ьл линейные опеРАтоРные уРАВнения 273 =Ахо — хо для некоторого хоЕЕ. Возьмем произвольный линейный функционал / такой, что Тогда 7 (У) =- У(Ахо †.ео) = У (Ахо) У (хо) = А ~(хо) г (хо) = =(А'7' — 7) х =О, и необходимость доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
