Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Нетрудно показать теперь, что в строго нормнровщ!пои пространстве наилучшая аппроксимация определяется однозначно. В самом деле, если существуют две линейные комл и бинации ~, Л,х, и ~ р;х, такле, что $=1 С=с л х — ~ Л;х,. ~ = х — ~с 1ссхс = с1, 1=1 с=! КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ а где (!=в!и х — ~~,', Л(х( ) О. то 1=! л х — ~~Лх( + а ът Х вЂ” ~ Р(Х, а так как л то *1-' л х — (+ Р( 2 Следовательно, Отсюда в силу строгой нормированности пространства Если бы а~1, то х было бы линейной комбинацией эле- МЕНТОВ ХР Хеа ..., Хл, ЧтО ПО ПрЕдПОЛОжЕНИЮ ИСКЛЮЧаЕтеа. Поэтому а=1. а тогда л ~ч.", (Л( — р() х, = О. 1=1 ! +— 2 = —:(!+ — л(=л(. 1 ! 2 2 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА [гл. ч откуда в силу линейной независимости элементов хп х, ..., х„ следует, что )ч — — [ьи 1=1, 2, ..., и, и требуемое доказано. Примерами строго нормированных пространств могут служить Ер [О, 1[ и [р для р ~ 1.
Пространство С[0, 1[ не является строго нормированным. с!тобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть две неотрицательные линейно независимые функции х(1) и у(1)ЕС[0, 1[, имеющие максимальные значения в одной и той же точке отрезка [О, 1[. Для таких функций, очевидно, )) х+ у)1 =)) х))+)) у)). хотя у~ах. Читатель легко может убедиться, что 1[0, 1[ и 1 также не являются строго нормированными пространствами. Слабая компактность, Нижеследующая теорема является весьма важной и часто используется в приложениях функционального анализа. Теорема 5.
Если пространство Е сепарабельно, то всякий шар в сопряженном пространстве Е* слабо компактен, т. е. из любой последовательности линейных функционалов )Г"„) с оераниченными нормами можно выделить подпоследовательность, слабо сходягцуюсн к некоторому линейному функционалу )ь. При рассмотрении пространства операторов было пока- вано, что это пространство полно в смысле точечной сходимости операторов. Так как для линейных функционалов понятия точечной и слабой сходимости совпадают, то пространство Е" линейных функционалов полно в смысле слабой сходимости, Поэтому достаточно доказать, что из всякой последовательности )у„) линейных функционалов с ограниченными нормами можно выделить подпоследовательность. слабо сходящуюся в себе.
Без ограничения общности можно считать, что )) ге)) (1. Пусть хп хю ..., х,, ... — счетное всюду плотное в Е множество. Так как ) /„(х,)) ()))'„)) )) х,)) ()) х,)), то )У„(х,)) — ограниченная числовая последовательность. КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ Поэтому из иее можно выделить сходящуюся подпоследовательность у >»(х>), >' <н(х,), ..., у >и(х,), ... Рассмотрим последовательность функционалов (у»>). ля Так как 1У„п> (Х2)! <1~~~~! то (У п>(х )~ — огРаниченнаЯ числоваЯ последовательность. ла Поэтому из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (2> (Х2), > >2> (Х2), ..., У >2> (Х2), Продолжая так дальше, можно построить последовательность функционалов (~ >з>П сходящуюся иа хз, и так далее.
При л> этом существенно отметить, что каждая следующая подпоследовательность является частью предыдущей и поэтому сходится на каждом элементе, на котором сходятся предыдущие подпоследовательности. Построим «диагональную подпоследовательность»: Ул>н У„>2> "" Ул>А> л л ля Легко видеть, что эта подпоследовательность сходится для любого х из рассматриваемого счетного всюду плотного множества. В самом деле, для этого достаточно заметить, что г' >и>, г' > ен, ...
есть часть последовательности >Г < ф ~а ла+> л» которая сходится для х по построению. Поэтому и вся последовательность (у Ы>) сходится для хм. ла Так как нормы функционалов последовательности (У >а>» ла ограничены в совокупности и эта последовательность сходится на множестве (Х>, хз, ..., Хл,... ), всюду плотном в Я, >о по теореме 2 Э 4 гл. 1Ч последовательность (у,а>) ля > слабо сходится. Теорема доказана.
КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА (Гл. ч Следствие. В пространствах 1р и Ее[0, 1] всякий шар слабо компактен. Это следует из того, что 1р — — 1,, Ер[0, 1] = Ц [О, 1] и 1, Е [О, 1] сепарабельны. Замечание. Легко убедиться в том, что всякий гиар в Е* слабо замкнут. Следовательно, если он слабо компактен, то слабо компактен в себе. ф 3. Универсальность пространства С [О, 1] В 1923 г. советский математик П. С. Урысон доказал, что существуют «универсальныеь сепарабельные мет рические пространства, т. е. такие, которые содержат части, изометричные любому сепарабельному метрическому пространству. Впоследствии польские математики С.
Банах и С. Мазур доказали, что одним из универсальных пространств является пространство С [О, 1]. Доказательство теоремы Банаха и Мазура связано со свойством слабой компактности сопряженных пространств. Т е о р е м а 1. Всякое сена рабельное пространство Е типа В изометрично и изоморфно подпространству пространства С[0, 1!. Пусть 5 — шар [[г" [].(1 в пространстве Е', причем за сходимость в В принимается слабая сходнмость линейных функционалов. В силу теоремы 5 9 2  — компактное в себе мно(кество. Пусть а,, а,, ..., а„, ... — счетное всюду плотное множество на единичном шаре [[х([(1 пространства Е.
Для любого функционала у ~8 положим )'[а») = », ]~»[-(1 й=! 2 Если у — ь«Уо [ул уоЕВ), то й» =у»[а») — «уз[и»)=ь». Таким образом, каждому /~5 соответствует элемент у= [ь»] я»=у'[а»)) пространства з и ӄ— "-«Уь влечет за собой ӄ— «Уе длн соответствУющих элементов пространства з. Пусть М вЂ” множество точек пространства з, соответствующих функционалам /~5. Тогда М есть непрерывный образ компактного в себе множества и, следовательно, также компактное в себе множество. Легко видеть, что обратное отображение М на 5 также однозначно и непрерывно.
В самом деле. пусть у [а») =(р [а»), й = 1, 2, ... УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ Г!РОСТРАНСТВА С !О,Н 257 Для любого х~Е, ЦхЦ (1, выберем аж так, чтобы Ц х — ааД ( е. Тогда ! ! (х) — 1р (х) ! (/ у (х — аАД + ! г' (аз,) — 1р (аж) ! + +(1р(х — аа,)! < 2е, откуда, в силу произвольности е, у (х) = 1р(х), т. е. ! = гр. Далее, если у„(а„) - /з(а„), и = 1, 2, ..., то в силу ограниченности норм функционалов (Цу„Ц, ЦЯ! ( 1) отсюда следует /„ †'-ь (з, и взаимная однозначность и непрерывность соответствия Я э М доказана.
По теореме 6 Э 1 1У' как компактное в себе множество метрического пространствз есть непрерывный образ канто- рова совершенного множества Р . Таким образом, каждоиу ! ~ Рз отвечает функционал /1 ~ 5, совокупность всех совпадает с 5 и у1 †" ь у1 при 1„ -~ !. Выберем произвольный элеиент х С Е. По определению слабой скодизюсти функционалов д (х).э у1(х) прн 1„ -ь !. При фиксированном х 11(х) есть, следовательно, непрерывная функция от !ЕР,, которую мы обозначим ср„(!)1 1Р (!) =- !',(х).
функцию 1р,(1), определенную на Р,, доопределии линейно и непрерывно на смежных к Рз интервалах. Теи самым получим непрерывную функцию гр (!), определенную на отрезке 10, 11, т. е. принадлежащую С(0, 1). По определению нормы в С(0, 1) имеем Ц р,~!с — — шах ~гр„(!)~. ож1<1 По вследствие линейности ф, (!) на интервалах, смежных к Ре, максимум ср (!) На!0, 11 совпадает с максииумом гр (1) нз Р . Поэтому !! гр Ц = 1пах ( 1р, (!) ! . 1ГР, С другой стороны, для ! СРз в силу (1) имееи (гр„(т)(=)~1(х)~ (Ц!Я ЦхЦ (ЦхЦ КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. Ч и, следовательно, шах)ф,(У))~~))х)! . СЕР.
(2) Далее, для данного х можно построить функционал Ге с нормой, равной единице. для которого г (х)=)!х!)е, Так как ~еЕЯ, то существует [ецРе, для которого УС,=Ь. Следовательно, у', (х) =))х,')е, ф. (Со) =)!х))е, т. е. и потому Снах ! Ср (г) ! )~ ! [ х ), 'е. СЕР Из (2) и (3) следует, что )! фл ! ! с = шах ! СР (Г) ! = !! х [! е. (4) СЕРа Из построения функции ф„(г) видно, что если х, Е Е соответствует ф,(г) и хгЕЕ соответствует ф,(с), то х,+х, соответствует ф, (г) + ф, (г) н Лх соответствует Лф (г). Следовательно, мы имеем изоморфное отображение пространства Е на часть пространства С [О, 1).
Так как в силу изоморфизма элементу х, — хг соответствует функция ф,,(г)— — ф„,(Г), то по формуле (4) получаем 3 х[ хг ))и )! фе, фх [[с т. е. соответствие пространства Е части пространства С [О, 1) не только изоморфно, но и изометрично. Теорема полностью доказана. Теорема 2 (Фреше). Всякое метрическое сепарабельное пространство Х изометрично части некоторого сепарабельного пространства типа В, Пусть СИ = [хе, хо ..., х„..., ! — счетное всюду плотное множество в пространстве Х.
Отнесем каждому элементу х Е Х точку у= [т[с! пространства т, где Чс — — р(х, хс) — р(хо, хс), [= 1, 2, 3, . ° ° УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА С [О,Ц 259 е Л В силу аксиомы треугольника !Ч, ! = !р (х, х,) — р(х,, х,)! ~~ р(х, х,), и, следовательно, (Ч,! — ограниченная последовательность. т. е. у действительно есть точка пространства ле. Пусть элементам х н х' из Х отвечают в нашем отображении элементы у = (Ч,! и у' = (Ч,'! из т.
Имеем !!у — у'!! = зпр !Ч, — Ч';! = = знр !(р(х, х~) — р(хе, х,)) — (о(х'. х,) — р(хе, х,))! = =енр !р(х, х,) — р(х'. х,)! (р(х. х'). (5) Пусть теперь е — произвольное положительное число. меньшее чем р(х, х'). Существует точка х„счетного всюду плотного множества М такая, что р(х, х„) ( —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
