Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа (1134949), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Следовательно, из всякого покрытия мгюжества Р можно выделить конечное покрытие, и необходимость доказана. Достаточность. Предположим, что из всякого покрытия множества Р можно выделить конечное покрытие. Пусть М вЂ” подмножество множества Р, не имеющее ни одной предельной точки. Тогда для каждой точки х ~ Р найдется окрестность 5 (х, е ), не содержащая, кроме, может быть, самой точки х, ни одной точки из !И. Эти окрестности образуют покрытие множества гИ.
Выделим из него конечное покрытие З(х!, е,), О(хг, е,), ..., 5(х„, ел). Так как все множество М размещается в этих окрестностях и так как в каждой окрестности может содержаться не более одной точки множества М, то множество М должно быть конечным. Следовательно, всякое бесконечное подмножество М<=Р должно иметь предельные точки, т. е. Р компактно.
Система множеств называется цен три рованной, если любая конечная ее подсистема имеет непустое пересечение. Т е о р е м а 5. Для того чтобы замкнутое множество Р метрического пространства Х было компактным, необходимо и достаточно, чтобы любая центри- 233 опвьдьльния. оьщие твольмы Оа, Ои,..., Ои и Так как ЦО,,~Р, то !=! и и П Ри,— — СЦОи, .СР.
(2) Но, с другой стороны, Ри с=Р, и потому и ПР, Р. (3) Ю=! л Из (2) и (3) следует, что ПР,,= О, что противоречит 1=1 предположению, что (Р,( — центрированная систеиа. Необходимость доказана. достаточность. Пусть любая центрированная система замкнутых подмножеств Р имеет непустое пересечение. Рассмотрим любое покрытие (Ои( множества Р открытыми множествами. Введем Р, = Р ~, О, = Р П СО,. Множества Р, замкнутые. и П" = — "'0О«=О.
Поэтому система (Ри( не пентрированная, и, следовательно, существует подсистема Р„, Р„, .... Ри с пустым ") СА означает дополнение множества А. роеанная система замкнутых подмножес!пе множества Р имела непустое пересечение. Необходимость. Пусть Р компактно в себе н (Ри( — пентрированная систена замкнутых подмножеств множества Р с пустым пересечением. Введем О„=.-.
СР, е). Тогда ΄— открытые множества, и ЦО„= СП Ри=Л'. а ч Поэтому система (О,( образует покрытие Р, и нз этой системы можно выбрать конечную подсистему, покрывающую Р: 1гл. и КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА пересечением. Тогда для соответствующих множеств имеем л л 0'«, "' Пр.,=р Таким образом. показано, что из произвольного покры- тия 1«1,) множества Р можно выделить конечное покрытие. Те о р ем а 6. Всякое компактное в себе множество метрического пространства есть непрерывный образ канторова совершенного множества. Пусть К вЂ” компактное в себе мно)кество метрического пространства Х. Рассмотрим последовательность )е„), схо- дящуюся к нулю, и для каждого а=1, 2, 3, ...
построим конечную ел-сеть )х)"~), 1=1. 2, ..., тл, для К. Путем добавления, если необходимо, дополнительных точек мы л 11) можем всегда считать, что т«=2 ". Рассмотрим шары 8) радиуса е, с центрами в точках х; . Множество К распо- (1) ложится целиком в этих шарах. а тем более в замкнутых шарах о) ). Пусть Кб =К П511,), 11=1,..., тн Мы получили, что множество К представлено в виде суммы т, замкнутых множеств диаметра, не превосходящего 2ен Как замкнутая часть компактного в себе множества каждое Кб есть снова компактное в себе множество.
Повторяя предыдущее по- строение, мы представии каждое Кб в виде суммы тг замкнутых множеств Кб;. 1, = 1, 2...., )и,, диаметра, не превосходящего 2ег, и т. д. Все этн множества можно считать непустыми. Обратимся теперь к канторову совершенному множеству Р, Это множество лежит целнкои на отрезках 121-го ранга Гь) 1 . 1, 11 = О, 1, а также целиком на отрезках Г 2'"" «, (1«1+Па)-го ранга, Л1 1 1 и т. д. Перенумеруем '" «2 отрезки й)-го ранга слева направо и обозначим их Л),, 11=1. 2, ..., т,=2 '.
На каждом отрезке й)-го ранга Ь), лежит 2"'= тг отрезков (й)+)22)-го ранга. Перену- меруем их снова слева направо и обозначим Ъ),1,, 12 = 1, 2, ... тз и т. д. Мы получим взаимно однозначное соответ- опоеделения, овшие теооемы ствие межлу вамкнутыми множествами Рг1 ...1 простран- 12'" л ства Х и отрезками Лг 1 ; отрезка [О, 1).
1 г'" 'л Возьмем произвольную точку 1 ~ Рз. Она однозначно опРеделЯет системУ отРезков Ьгл Лг,го Ж,1,1, ° ° ° ее содержащих и стягивающихся к ней. Рассмотрим соответствующую систему замкнутых множеств Кг,, Кг,г,, К1,1,1,. (с теми же индексами, что и отрезки). Так как каждое следующее множество влогкено в предыдущее и диаметры множеств стремятся к нулю, то существует единственная точка хЕК, принадлежащая всем этим множествам, которую н ставим в соответствие точке Е Е Рз. Покажем, что каждая точка х ~ К является образом некоторой точки 1ЕР2.
В самом деле. х~Кг, для некоторого значения индекса 11 (этот индекс определяется вообще неоднозначно, так как множества Кг, могут пересекаться). аналогично х~К1,1, и т. д. Множествам К1,, К1,1, соответствуют отрезки Ьг,, Ьг,гн ... Точка ~, принадлежащая всем эгим отрезкам, имеет образом расслгатриваемую точку х. Итак, определено однозначное отображение х =гр(1) канто- рова совершенного множества Рз на компактное в себе множество К. Покажем, что это отображение непрерывно. Пусть хе= гр(С2) н 8(хв, е) — окрестность точки хв. Возьмем такое множество Кг г ., 1 из системы, стягиваю- 1 2"' л шейся к хв, диаметр которого меньше е.
Тогда Кг 1, г с" 12' л ~5(хь, е). Обозначим через Ь расстояние от 12 до ближайшего копна отрезка 611 1, соответствующего множеству 1 2"' л К11 ..1. Если )~ — 12) (б, то 1ЕЬ11 „1, следовательно, 2 л о х = гр (7) б Кг, 1,...1 1= 8 (хы е), и потому р(х, хв) С е. Теорема полностью доказана. Рассмотрим теперь отображения у компакта Х в метрическое пространство 1'. Т е о р е м а 7. Непрерывный образ компакгпа есгпь колгпаклг. В самом деле. пусть )ул) есть произвольная последовательность из 7'(Х)г=Г. Для каждого ул возьмем один из его прообразов хл. Так как [х„) ~Х и Х компактно. то иа компактные множества 1гл т )х„) можно выделить подпоследовательность (хььД), сходящуюся к хоЕХ, Так как 1(х) непрерывно, то У(х"ь)=У"ь >Уз=У(хо) Е.с (Х).
Таким образом любая последовательность из у'(Х) содержит сходящуюся подпоследовательность, причем предел такой нодпоследовательности принадлежит у (Х). Следовательно, у (Х) — компакт. Эта теорема в сочетании с теоремой 6 дает полное описание всех компактов. Именно, метричесссое пространство К является компактом тогда и только тогда, когда оно есть непрерывный образ кантороеа совершенного множества. 0 2. Критерии компактности множеств в некоторых функциональных пространствах Критерий компактности в С(0, 1).
Функции из некоторого множества М называются равномерно ограниченными, если существует такая постоянная с, что )х(с)) ~(с для всех х(г)~ М при любом 1~(0, 1(, и называются равностепенно непрерывными, если для любого е > 0 существует б ) О, зависящее только от е, такое, что для любых 1, и Гг из (О, 1(, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ НЕРаВЕНСтВУ )1, — Гг) ч. бг, И ДЛЯ ЛЮбОИ функции х (1) из рассматриваемого множества имеет место соотнощение )х(г,) — х(1,)) ~~е. Т е о р е м а 1 (А р ч е л а).
Для осого чтобы множество Кс:С(0, 1) было ссомпактным, необходилсо и достаточно, чтобы Функции х(1)~К были равномерно ограничены и раеностепенно непрерывны. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть К компактно. Равномерная ограниченность функций х(с)~К вытекает из следствия 3 теоремы 3 предыдущего параграфа. Докажем равностепениую непрерывность функций х(1)~К. Построим для заданного е ) 0 конечную — сеть )х,(г), хг(1), ..., хь(1)) для К. Так 3 как функции хс(с) непрерывны на (О, 1(, то они равномерно непрерывны на атом отрезке.
КРИТГРИИ КОМПАКТНОСТИ йзт Для каждой функции хг(1) подберем число Ьг так. чтобы [хг(~г) «г(гг)[ < з для )1, — Га[ < бп каковы бы ни были Гг н Фя~ [О, 1[. Пусть б — наименьшее из чисел Ьн 1=1, 2, ..., л. Если теперь [[, — гя( < 6. то имеем для любой функции х(1)ЕК [х(г,) — х(1,)[ < ~(шах [х(1) — х,(1)[-+[х,(Гг) — х,(1я)[.+ шах [х,(Г) — «(Г)[< оСгсг о~г<г < 2о (х. х,) + — . 3' Если выбрать х,(Г) так, чтобы е р(х. х,) < —, то [х(11) — х(гя)[ < е Так как е ) 0 произвольно и полученная оценка не зависит от положения точек Гг и Гя на [О, 1[ и от выбора функции х(1) в К, то равностепенная непрерывность функций.
принадлежащих множеству К, доказана. Д о с т а т о ч н о с т ь. В силу условий теоремы для любого числа е ) 0 можно подобрать такое число б) О, что [х (Г,) — х (гя)[ < е при [1, — Г,[ < Ь для любых гп Га~ [О, 1! и любой функции 1 х (Г) ~ К. Возьмем натуральное число и такое, чтобы — было л меньше, чем б. Разобьем [О, 1[ на л равных частей — — и = О, 1, 2, ..., и — 1. Тогда [х (1,) — х (Гт)[ < е для любой функции х(1) ~ К и любых гп ге~ [О, 1! таких, что [Гг — гя~ <-„ 1 в частности, для Г, и гз, принадлежащих одному и тому же ГА' а+11 частичному отрезку ~ —, [л' л комплктныв множества 1гл. т Отнесем каждой функции х(г) непрерывную функцию х„(г) такую, что 1) х„( — )=х( — ) для Й=О, 1, ..., л — 1; га а+1т 2) на отРезках ь1 —.
— „1 фУнкциЯ х„(г) линейнаа. Таким образом, график х„(Г) есть ломаная с и звеньями. вписанная в график х(1). Пусть .И)= (Ю га Тогда вследствие линейности х„(Г) на [ —, ~ имеем х ~ — ) <х„(г) <х( — +), откуда — е < х (1) — х1 ) < х (Г) — х„(г) ~( х (Г) — х1 — ) < е. /а+1~ /а~ Если же "Ж -. (-.") то получим — е < х (г) — х ~ — ) < х (г) — х„(г) < х (г) — х ~ ~ < е. /а+1~ Следовательно, [х(1) — х„(Г)[ < е для всех ГЕ [О, 1[, т. е. р(х, х„) < е. Значит, множество М функций х„(Г) образует е-сеть для К. Далее, в силу равномерной ограниченности множества К [х„ (Г)[ ~( [х (г)[ + [ х (г) — х„ (1)[ < с + е = сн т. е. множество Ф равномерно ограничено. Отнесем каждой функции х„(Г) ЕМ точку (п+ 1)-мерного пространства Х, имеющую в качестве координат ордннаты вершин ломаной — графика х„(Г). Это соответствие, как легко видеть, взаимно однозначно, а также взаимно непрерывно в том смысле, что если последовательность КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ функпий (х<~>(~)( сходится к х>е>(1) в смысле метрики пространства С [О, 1[, то последовательность точек (х<ю( сходится к точке х<з> в смысле иетрвки пространства Е„~>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
